基于雨流計數法和功率譜密度法的隨機聲疲勞應用研究

郭小鵬，沙云東，柏樹生，張東明

（1.沈陽發動機設計研究所,沈陽110015；2.沈陽航空航天大學遼寧省數字化工藝仿真與試驗技術重點實驗室，沈陽110136）

1 引言

未來飛行器和運載火箭結構將會承受巨大的熱載荷和聲載荷。飛行器和運載火箭結構由于受到強隨機聲激勵而產生疲勞破壞。聲疲勞是結構在高頻低幅值隨機載荷下，因結構中快速交變應力的作用而使結構產生聲疲勞破壞的現象[1]。國外自20世紀70年代開始在高超聲速運載工具的強度設計中進行聲疲勞研究，其研究成果集中在3方面：（1）載荷預報；（2）應力計算；（3）壽命估算。但對隨機疲勞壽命估算方法研究還很不夠。國內航空界在航空發動機噪聲及相關聲疲勞壽命問題的研究工作起步較晚，對考慮在隨機聲載荷作用下結構聲疲勞壽命估算方法的研究較少。西北工業大學強度研究所的徐緋等探討了結構聲疲勞壽命估算的功率譜密度法[2,3]；北京航空航天大學的金奕山等對航空發動機結構聲疲勞壽命估算方法進行了探討。沈陽航空航天大學動力與能源工程學院在燃燒噪聲載荷預報、聲激勵響應分析、隨機疲勞壽命估算等方面開展了大量工作，完成了航空基金等一系列研究項目，但主要是對基本問題的探索。

本文研究了聲疲勞損傷估算的2種方法：1種是基于傳統應力循環計數的時域分析方法，另1種是基于功率譜密度的頻域方法[4]。并將上述2種方法應用于某航空發動機火焰筒的隨機聲疲勞壽命預測。首先對雨流計數法計數得到的應力譜進行處理，考慮平均應力的影響，并結合Miner線性累積損傷理論和結構疲勞曲線（S-N）進行疲勞壽命估算方法研究，給出了雨流計數法估算疲勞壽命的方法。針對平穩Gauss隨機過程，提出由結構響應的功率譜密度函數直接計算應力峰值概率密度函數，并給出了疲勞損傷公式，使在頻域中進行結構疲勞損傷及壽命估算得以實現。算例中首先采用耦合的邊界元和有限元方法計算了某型航空發動機燃燒室火焰筒在隨機聲載荷作用下的振動位移和應力響應功率譜密度，然后分別采用上述2種方法進行疲勞壽命估算[5]。本文所完成的工作對燃燒室火焰筒結構疲勞故障分析和提高發動機的可靠性、耐久性具有一定參考價值。

2 基于雨流計數法的壽命估算

2.1 雨流計數法基本原理

雨流計數法是以雙參數法為基礎的1種計數法[6]，考慮了動強度（幅值）和靜強度（均值）2個變量，符合疲勞載荷固有特性，其主要功能是把實測載荷歷程簡化為若干個載荷循環，供疲勞壽命估算和編制疲勞試驗載荷譜使用。雨流計數法記錄了載荷塊的幅值和均值，能比較全面地反映載荷的真實情況，特別是對均值影響比較敏感的材料來說更是如此；其計數過程與材料真實應力-應變特性相符，可以推廣應用到更多的機械零部件疲勞壽命估算中。

常用的雨流計數法的計數規則如下。

（1）雨流在試驗記錄的起點和依次在每1個峰值的內邊開始，以最高峰值或最低谷值（視二者的絕對值哪個更大）為起點。

（2）雨流依次從每個峰（或谷）的內側向下流，在下1個峰（或谷）處落下，直到對面有1個比起點更高的峰值（或更低的谷值）停止。

（3）當雨流遇到來自上面屋頂流下的雨流時，即停止，取出所有的全循環，并記錄下各自的幅值和均值。

2.2 雨流計數法具體實現過程

首先通過峰谷值檢測壓縮數據，把原始的計算數據處理成便于計取循環數的數組，然后從壓縮處理過的數據中提取循環,并記錄其特征值,如峰值、谷值、幅值以及均值等，這就是1次雨流計數。1次雨流計數剩下的點構成的波形是1個標準的發散收斂型波形，這時按雨流計數法則無法再形成整循環,只能將其在絕對值最大的點處截開再進行首尾對接，將完成對接的波形繼續提取循環直到剩下3個點(即數組中最值構成的整循環)為止。通過雨流計數法處理應力時間歷程后，可以得到應力峰值Smax和應力谷值Smin。應力幅值Sa、應力均值Sm和應力比r為

由于應力均值對疲勞累積損傷也會產生影響，必須按等損傷的原則將非零應力均值的應力范圍轉化為零應力均值的應力范圍，本文采用Morrow疲勞經驗公式進行轉換，此時r=-1。

式中：S為等效零應力均值；Sf為斷裂強度，由試驗測得，在缺少試驗數據的情況下可由式（5）估算

式中：Sb為疲勞強度極限。

2.3 應力譜

雨流計數的結果可以用1個均值、幅值矩陣即載荷[7]來表示。對某型燃燒室火焰筒關鍵點測得的應力時間歷程結果進行雨流計數，并將得到的計數結果填入載荷譜表，就可以得到應力譜。由于應力譜中的數據數量過多，不能一一列出，圖1示出了節點920處（內壁摻混孔邊）應力-時間歷程經過雨流計數后的應力譜。

2.4 Miner線性疲勞累積損傷理論

由Miner線性疲勞累積損傷理論可以得到多個應力水平下、隨機載荷作用下的損傷公式

式中：nij為構件在第i級應力幅值和第j級應力均值載荷下的工作循環次數，由前面提取出的均值、幅值載荷譜得到；Nij為在存活率P下，在第i級應力幅值和第j級應力均值載荷下的構件疲勞壽命值，數據來源于S-N曲線；NT為所測得的載荷譜作用的次數；△t表示所測得的載荷譜作用的時間。

3 基于功率譜密度法的壽命估算

3.1 功率譜密度函數

功率譜密度函數（PSD）是穩態隨機過程的頻域描述[8]。PSD提供了有關隨機過程的大量統計信息，能夠考慮多模態復雜結構的噪聲響應，能夠實現頻域到時域的轉換。PSD曲線下的區域面積和代表時間歷程的均值。1個PSD的n階譜矩定義為

式中：G(f)為功率譜密度函數，假設實測應力-時間歷程為真實隨機過程的1個典型樣本，高斯過程的峰值概率密度函數可表示為

式中：erf（x）為概率積分（誤差數）；α為隨機載荷的不規則因子。

在式（10）中，當α分別等于0和1時，分別得到寬帶、窄帶隨機過程的峰值概率密度函數。

不論是窄帶還是寬帶，都用統一公式表示應力幅值概率密度函數為

根據Palmgren-Miner線性累積損傷理論，對于單向載荷可由隨機振動理論推導出累積損傷率

式中：E[MT]為應力循環的平均發生率。通常情況下，對于窄帶隨機過程，E[MT]為零穿越的速率E[0]=(m2/m1)0.5，而對于寬帶隨機過程，E[MT]為應力峰值出現的速率E[P]=(m4/m2)0.5；p(s)為應力循環的概率密度函數；K、b為材料S-N曲線中確定的材料常數；NT為構件發生破壞時的總循環次數。

3.2 疲勞壽命的寬帶修正

對于寬帶隨機振動，需考慮局部峰值對構件壽命的影響。P H Wirching根據應力響應不同功率譜密度形狀對疲勞壽命進行了修正，獲得了適用于寬帶隨機振動的壽命估算公式[9]

式中：NT1為修正后的總循環次數；λ為修正因子。

修正因子、材料參數和不規則因子滿足

式中：m為材料參數；α為不規則因子。

4 算例與分析

將疲勞壽命估算方法應用于某型航空發動機燃燒室火焰筒的聲疲勞壽命估算。火焰筒材料為GH536，密度ρ=8.23×103kg/m3，泊松比μ=0.3，彈性模量E=1.77×1011Pa;邊界條件：根據火焰筒兩端安裝固定形式頭部5處在X、Y、Z 3個方向約束，后端約束為除了軸向以外的全部自由度。本文對燃燒室火焰筒幾個關鍵位置節點的位移和應力響應進行分析。

4.1 聲激勵載荷

本文考慮的聲激勵載荷為有限帶寬高斯白噪聲載荷。這種載荷在其頻帶寬度范圍內，各頻率分量是均勻分布的。有限帶寬高斯白噪聲功率譜密度可表示為

式中：SPL為帶寬聲壓級；△f為頻帶寬度。取頻帶寬度為8～1024 Hz，步長為8 Hz，根據式（18）計算帶寬聲壓級分別為140、160 dB的有限帶寬高斯白噪聲功率譜密度，見表1。

表1 有限帶寬高斯白噪聲功率譜密度

4.2 S-N曲線擬合

本文依據Basquin疲勞壽命模型對材料GH536疲勞試驗數據進行曲線擬合，材料的疲勞實驗數據見表2。擬合計算得到的模型表達式為S1.8648N=107.9841,擬合過程的相關系數為0.9993，從其相關系數可以看出其擬合效果較好，證明采用Basquin疲勞壽命模型來估算結構疲勞壽命也是可靠的[10]。

表2 GH536疲勞試驗數據

4.3 火焰筒在有限帶寬白噪聲載荷下的響應計算

采用耦合的有限元和邊界元法計算火焰筒的聲疲勞位移和應力響應，得到了節點位移響應功率譜密度和應力響應功率譜密度。圖2給出了火焰筒有限元模型，圖中標出了要分析的典型節點位置。

節點920處(內壁摻混孔邊)在160 dB時X向位移響應功率譜密度和Von Mises應力功率譜密度曲線，分別如圖3、4所示。位移和應力均方值分別見表3、4。表、、中分別為X、Y、Z向的、、、位移均方值，分別為X、Y、XY向及Von Mises的應力均方值。通過分析節點920處位移和應力均方值可以發現，聲壓級從140 dB增大到160 dB，其均方值將減小約2個數量級。通過對計算的應力頻譜分析發現：（1）在所計算的頻帶內，火焰筒的應力響應有多個峰值，火焰筒的聲激勵響應有明顯的多模態特征（;2）位移和應力響應在基頻139 Hz處為極大值，說明火焰筒的基頻模態在聲激勵響應中起主導作用，因此，在抗聲疲勞結構設計中要考慮響應譜的頻率結構。

4.4 疲勞壽命計算與結果分析

根據本文論述的2種結構聲疲勞壽命估算方法，結合Basquin疲勞壽命模型，對燃燒室火焰筒進行疲勞壽命估算，2種方法計算結果見表5。從對燃燒室火焰筒結構典型節點位置的疲勞壽命估算結果可以看出，聲壓級從140 dB增大到160 dB，其壽命將縮短約2個數量級。對比雨流計數法和功率譜密度法計算得到的結果可以看出，功率譜密度法估算的結果比雨流計數法估算的結果偏保守，而估算的結構疲勞壽命更為可靠。火焰筒唇邊、加厚邊附近區域和孔邊處因應力較大，疲勞壽命相對較短，總體上看外壁比內壁的疲勞壽命長。在考慮抗聲疲勞設計中，一定要注意這些關鍵區域。由以上計算結果分析可以看出，采用雨流計數法和功率譜密度法估算結構疲勞壽命是合理的、可行的。

表3 火焰筒節點920處位移均方值

表4 火焰筒節點920處應力均方值

表5 燃燒室火焰筒聲疲勞壽命計算結果（周）

5 結束語

（1）應用雨流計數法對1個載荷譜段進行了雨流計數，然后按照各載荷循環被取出的自然次序形成計算譜，最后將先發散后收斂的殘余譜中的載荷循環取出，直接用于疲勞壽命計算。

（2）針對平穩Gauss隨機過程，提出由結構響應的功率譜密函數直接計算應力峰值概率密度函數，并給出了疲勞損傷公式，使在頻域中進行結構疲勞損傷及壽命估算得以實現。

（3）運用2種壽命估算方法對火焰筒結構進行了壽命估算，其中功率譜密度法估算的結果更保守。

（4）本文介紹的壽命估算方法可應用于結構在隨機載荷作用下的疲勞壽命估算，也可以為燃燒室火焰筒結構的設計和改進提供一定的參考。

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