細線浮標最佳長度數學模型的建立

李成輝,喬萬亮,高淑清

(綏化水文局,黑龍江綏化 152053)

在河流測驗中,其中一個重要測驗項目就是斷面流向測驗。在河流某一河段上垂直流向布設一個橫斷面用來進行流量和沙量等測驗,這就需要我們首先要進行這一河段的流向測量,然后才能確定橫斷面的位置與方向。若對于已經布設好的某一測驗橫斷面,也要對其進行該斷面流向測驗校核。斷面流向是指水流方向與斷面線的垂直方向線之間的夾角。對于天然河流流向測量仍采用水面浮標方法進行,其中細線浮標法是一種簡便易行的用來進行流向變化測驗校核的有效方法。特別是對一些有過河索、纜道、纜車施測流量的水文站,非常適用。細線浮標的細線長度多長怎樣來確定為最佳長度?雖說《河流流量測驗規范》上明確給出是20 m,但是,對于不同寬度的河流來說只規定了這一數值是不充分的。本文正是從這種情況下進行了創建數學模型、深入進行分析研究和充分論證。

1 細線浮標

1.1 概念

細線浮標是在水面上一個已知長度的細線一頭連接到測速垂線的水面交界處,另一頭系一個浮魚隨水流自然漂浮在下游,用來進行測驗斷面流向的工具。

圖1 細線浮標測驗流向平面簡圖

1.2 應用

圖1就是細線浮標測驗流向的平面簡圖。圖中線段 L 1和線段L 2是一條河流的兩岸岸邊線,箭頭線代表水流方向,線段L是岸上所設基線,線段 L 3是流量測驗斷面線,斷面線上的D E長度為河寬,斷面線上的點1、2、3、…、i、…、n是測速垂線位置,也是細線浮標左右偏離角度測量的點。

利用細線浮標測驗斷面流向需要與經緯儀或全站儀等一起共同來完成。把經緯儀設在岸上基線與斷面線交點上,測出浮魚位置或視線與斷面線間的角度,就可算出流向與斷面垂直方向間的角度即流向偏角。

2 數學模型

2.1 模型創建

圖2 模型創建圖

根據圖 1的內容進行建模,見圖 2,其中 3條直線 L、L1、L2是互相平行的,直線 L3與 3條直線 L、L1、L2垂直相交,交點分別是E、D、C 3點。O點是線段E D中點,以O點為圓心以O C為半徑作圓,分別交直線L1、L2于A、B兩點,連接弦A B、C B、C A,這樣就有弦A B平行于L3。L是圓O的切線,而且C是切點。圖形建立起來之后,我們就此圖利用細線浮標施測流向作以說明:把L1、L2分別看作是河流兩岸的水邊線,圖上的箭頭指的是水流方向,L3是測驗水流要素的橫斷面線,水面寬為 E D線段,L可以看作是一條基線,C是水文測量高程基點,即架設經緯儀等儀器的固定點,而線段C B、C A是提供測量細線浮標兩岸水邊點視線。A B線段是細線浮標的浮魚測量每條線時經過平均位置的連線。A B線段可以沿上游或下游進行平行滑動,當滑動到某一位置時,使∠A C B最大,如果左右岸測量角度最大,確定浮魚位置其精度會最高。A E或 B D就是細線在其上面的投影長度,是浮魚所處位置到斷面E D最佳距離。如何證明A B所處什么位置能使∠A C B最大這個問題需要以下證明。

2.2 證明

1)當A B線段平移滑動到其左面A1B1位置時,構成了三角形A1B1C,如見圖 3。這里需要證明的是:∠A C B＞∠A1C B1是否成立?過A點作 A C1直線與切線L交于C1點,則

圖3 計算簡圖

∵ A1A∥C C1A C1∥A1C

∴ A C1=A1C A1A=C C1

連接線段B C1,

∵A1A∥B1B 且A1A=B1B

又∵A1A∥C C1且A1A=C C1

∴B1B∥C C1且B1B=C C1

也就是說,在平行四邊形B1B C1C中,有B1C∥B C1B1C =B C1

∵A1B1=A B

∴△A1C B1與△A C1B是兩個全等三角形

∠A C1B=∠A1C B1

只要線段A1B1與A B不重合,這就決定C點與C1點不是重合點,且C1點始終保持在切線 L上滑動,這就說明 C1點是圓外點,而C點是圓周上的點,則

∠A C B、∠A C1B都是A B弧對應的角,所以同弧的圓周角大于同弧所對應的周外角,即

∠A C B＞∠A C1B

故有∠A C B＞∠A1C B1結論成立

2)當A B線段平移滑動到其右面A2B2位置時,構成了三角形A2B2C,見圖4。

∵∠A C2B=∠A2C B2∠A C B＞∠A C2B

∴∠A C B＞∠A2C B2

根據①和②證明可知,無論在 A B左面平移滑動任意位置A1B1,還是在A B右面平移滑動任意位置A2B2,∠A1C B1、∠A2C B2都分別小于∠A C B,也就是說,A B所處其圓弧位置所對應的∠A C B是最大。

圖4 計算簡圖

3 細線浮標長度公式的推導

設河寬D E=B,儀器所處C點距最近河岸邊距離C D= K B,K是C D占河寬D E的比值,細線浮標長度A E=B D=L (嚴格說是細線在側向岸邊水平投影)(參見圖 1)。

∵O E=O D=0.5B 圓半徑O C=C D+O D=K B+0.5B

這就是求細線浮標最佳長度的公式。對于不同河寬、不同位置基線的河流斷面,其細線浮標最佳長度是不一樣的。

強調一點:如果考慮到斷面流向偏角 α,可以提前估計一個平均值,就可進一步精確算得細線長度,即 L/C O S α,但一般情況下,斷面流向偏角 α很小時,用L就可以滿足要求了。

4 結 論

利用細線浮標施測河流流向時,通過最大可視角原理,建立數學模型,并進行了充分論證。根據河流各種斷面特點及各種條件,從而可以找到對應的細線浮標的最佳長度。同時,對于普通的浮標測量及其斷面設施布設等工作也提供了重要的理論參考。總之,在水利工程測量和水文測驗中引用這一設計理念,會使設計更加合理完善、更加科學,對于提高測驗成果精度,增強可靠性等,在水文測驗中,該設計理念彌補了以往測量方面的不足,具有借鑒性。

[1] 水利部長江水利委員會水文局,中華人民共和國水利部.G B 50179-93河流流量測驗規范[S].北京:中國計劃出版社出版,1994.

[2] 水利部長江水利委員會水文局,中華人民共和國水利部水文司.S L 58-93水文普通測量規范[S].北京:中國水利水電出版社,1993.