單位圓內高階齊次線性微分方程解的復振蕩

金 瑾

(畢節學院數學系,貴州畢節551700)

1 定義

假設熟悉單位圓 Δ={z∶｜z｜＜1} 和全平面 C 上亞純函數的Nevanlinna值分布理論的基本結果[1－18],采用單位圓上的Nevanlinna理論研究單位圓上的一類高階高階齊次線性微分方程的解析性質并得到進一步的結果．本文采用m(r,f),N(r,f),T(r,f)等Nevanlinna理論的標準符號[3,5,6,11]．

定義1[4]單位圓Δ內的亞純函數f(z)的級定義為

對于單位圓Δ內的解析函數f(z),定義

其中M(r,f)是f(z)在單位圓Δ內的最大模．

定義2單位圓Δ內的亞純函數f(z)的超級定義為

定義3對單位圓Δ內的亞純函數f(z),如果

則稱單位圓Δ內的亞純函數f(z)為可允許的．

定義 4 對于圓盤 U(R)={z∶｜z｜＜R}內的亞純函數f(z),我們定義

如果U=U(r)=Δ時,記為A(r,f)．

2 證明定理所需的引理

引理 1 設 f(z)是單位圓盤 Δ={z∶｜z｜＜1}內的亞純函數,并且ρM(f)=ρ<∞,則對?ε＞0,存在集合

使得對?r∈E有

令

如果 r∈E,則

并且

所以由(1)和(2)式可知引理1成立．

引理2設f(z)是單位圓Δ內可允許的亞純解析函數,ε＞0,k,j是滿足 k＞j≥0 的整數．則至多除去一r值集

使得對?z∈Δ,｜z｜?E 有

其中C為正常數．

證明 根據文獻[18]的引理 5．1．5 及定理 5．1 的證明可知,存在一個常數C1∈（0，＋∞)和一個r值集

使得對?z∈Δ, ｜z｜=r?E,有

其中

顯然s1(r)＜s(r)＜r,又因為f(z)是單位圓盤Δ內可允許的亞純解析函數,故由(3)式可得

引理 3 設 f(z)是圓盤 U(R)(z∶｜z｜＜R＜＋∞)內的亞純函數,a1,a2,a3是復球面上三個兩兩不同的數,若f(z)在圓盤 U(R)內取值 a1,a2,a3的次數(不計重數)分別為n1,n2,n3．

則 A(r,f)＜n1+n2+n3+

其中H為一個正絕對常數．

證明(1)當a1,a2,a3中沒有一個為零或∞時．

① ｜a1｜,｜a2｜,｜a3｜中有兩個不超過 1 時．不失一般性,設｜a1｜≤1,｜a2｜≤1,｜a3－a2｜≤｜a3－a1｜．

再設

則｜h｜≤1,且 F(z)在圓盤 U(R)內取值 0,1,∞ 的次數分別為 n1,n2,n3(不計重數)．從(5)可知

因此對任意的 r和 ρ(0＜r＜ρ＜R)有

又

故由(6)(7)和(8)式可得

設 T0(r,f)為 f(z)的 Ahlfors－Shimizu特征函數．

則

由(9)和(10)可得

因此

由Ahfors不等式[17]可知

其中 H=28ed．

② (1)｜a1｜,｜a2｜,｜a3｜中有兩個大于 1．不失一般性,設｜a1｜＞1,｜a2｜＞1．再設和類似于(1)的論證可得,如果把f(z)和ai(i=1,2,3)用f1(z)和bi(i=1,2,3)來代替,仍然可得到

(2)當a1,a2,a3中有一個為∞時．不失一般性,假設｜a1｜≤｜a2｜,a3=∞．再設則有f(z)=類似于(6)(7)(9)的證明可得

其中H=28ed,d為一個正絕對常數．

(3)a1,a2,a3都是有窮復數時,且有一個為零時．不失一般性,假設a3=0．再設和類似于(二)的論證可得

其中H=28ed,d為一個正絕對常數．

綜上所述引理3成立．

引理 4 設 f(z)是圓盤 U(R)={(z∶｜z｜＜R}內的亞純函數,若存在一個 r0(0＜r0＜R),使得 A(r0,f)＞m≥2,那么對任意使得m≥4(7r-r0)(logH+1)/(r-r0)的r,圓盤{(z∶｜z｜＜r}為 f(z)的以(r-r0)m/4(7r-r0)－logH 為指數的充滿圓(其中H為大于1的正常數)．

證明 若存在一個 r(0＜r＜R),使得 U(r)={z∶｜z｜＜r}不是 f(z)以

為指數的充滿圓．其中H為引理3中的正絕對常數．則存在復數a1,a2,a3,他們間的球面距離超過e-m,f(z)在圓盤 U(r)={z∶｜z｜＜r}中取這些值至多 d 次．由引理3可知

又由于 A(r,f)＞A(r0,f)＞m,故

這與m≥2矛盾．因此引理4成立．

3 定理及其證明

定理 設Aj(z)(j=1,2,…,n－1)在 Δ 內解析,且σ0=max{ρM(Aj),j=1,2,…,k－1}＜ρM(A0)．

則微分方程

的不恒等于零的解f(z)滿足

進一步,若f(z)是微分方程(14)在單位圓盤Δ內可允許的亞純解,則在單位圓盤Δ內存在一個點列{zn},使得每個圓盤

證明 設實數 α 和β滿足 σ0＜α<β<ρM(A0),如果f(z)是微分方程(14)的不恒等于零的解，則有

由引理2可知,存在一個r值集

使得對?z∈Δ, ｜z｜?E1有

其中C為正常數.

又由引理1可知,存在一對數測度為無窮的r值集 E2,使得對?r∈E2, ｜z｜?E1,有

將(16)式和(17)式代入(15)式可得:存在一對數測度為無窮的r值集E?[0,1],使得當r∈E,且r→1-時有

即

從而可得

由β的任意性可知

進一步,若f(z)是微分方程(14)在單位圓盤Δ內可允許的亞純解,則

即

設

則對?a∈(0,1)有

否則,存在正數M和a∈(0,1),使得

則有

其中rn=1-an及rn+1=1-a(1-rn).

故

對?r∈(0,1),存在一個n,使得rn≤r

這與(18)式矛盾,故(19)式成立.

其中H是引理3中的絕對常數.

將 Γ(an,ρn)分成

個區域Dnj(j=1,2,…,Kn),這里

從(20)式至少可得一個j0(1≤j0≤Kn),使得

但

其中

為指數的充滿圓.

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Where the coefficients are analytic functions in the unit disc Aj(z)(j=0,1,2,…,k-1),and relations between the growthes of the solution and the coefficeient of higher order homogeneous linear differential equations are given out,and exist of the filling circle alignment of meromorphic permissble solution of higher order homogeneous linear differential equations are proved in the unit disc.

Key wods:unit disc;order;filling circle;permissble solution