具變號系數的四階非線性變時滯微分方程的振動性

郭 芳，朱紅霞 ，韓效宥

(1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009；2.河北廊坊師范學院數學與信息科學學院，河北廊坊 065000；3.北方工業大學理學院，北京100144)

對于不變系數的高階變時滯微分方程解的振動性研究已經有很多研究成果[1-3]．2007年，韓效宥和朱紅霞“用一種新的方法研究了具變符號振動因子的二階非線性時滯微分方程解的振動性[4]”．同時對二階非線性變時滯微分方程解的振動性也做了研究[5]．從此開始了變符號振動因子微分方程的研究．此后2008年，韓效宥又研究了具變符號振動因子的四階非線性微分方程解的振動性[6-7],結合上述幾篇文章的研究，本文研究具變符號振動因子的四階非線性變時滯微分方程解的振動性，并得到了該方程振動的充分條件.

本文研究方程:.

其中:p(t)，g(t)∈C（［t0，＋∞］，R），

則:方程(1)可寫為:

定義:稱方程(1)的解是振動的，是指它有任意大的零點且非最終恒為零;稱方程(1)是振動的.是指它的所有解是振動的.

1 主要結果

引理1若方程(1)滿足下列條件:

(a)存在常數l1，l2，使:

(c)p－（t）≥－e－t4;

(d)存在常數 σ＞0，使 g（t）∈C（［t0，＋∞］，R）滿足:t－σ≤g（t）≤t且g′（t）＞0．

則:當x（t）為方程(1)的非振動最終正解時，存在常數 λ0，λ1，λ2，λ3使得當x（t）為方程(1)的非振動最終負解時，存在常數λ使得:

證明:假設方程(1)是不振動的，則方程至少存在一個最終正解或最終負解.不妨假設方程存在一最終正解 x（t），則存在 t1≥t0,當 t≥t1時，有 x（t）＞0且 x（g（t））＞0（最終負解的情形可類似證明）．記:

(b)

則:z(4)（t）=－p－（t）f（x（g（t））），因此

對方程(2)從t1到t進行4次積分，得

其中:A0=x（t1），A1=x′（t1）令

所以存在t2≥t1，當t≥t2時，有x（t）≤z1（t），

且z1(4)（t）=－p－（t）f（x（g（t））），因此當 t≥t2時，有x（g（t））≤z1（g（t））≤z1（t）.

因為z1(4)（t）=－p－（t）f（x（g（t））），所以有

對上述不等式兩邊積分4次得

進行化簡整理得

又因為p－（t）≥－e－t4,記為常數),

因為

又有z(4)（t）=－p－（t）f（x（g（t）））＜－l2p－（t）x（g（t））＜－l2p－（t）z1（t），

所以存在t3≥t2，當t≥t3時，有z(4)（t）≤e－t(t充分大).

引理2 若方程(1)滿足上述(a)(c)和(d)條件,并且滿足下面條件時:

(e)對于任意N,存在b＞a≥N,使得對于 t∈［a，b］,有p－（t）≡0，其中則當方程(1)有非振動解 x（t）時,和y′（t），y′（g（t）），y?（t）最終均不變符號.

證明:因為（x（t）－z（t））(4)=－p+（t）f（x（g（t）））≤0，且不最終為零.因此當 x（t）＞0 時,有 x（t）－z（t），（x（t）－z（t））′，（x（t）－z（t））″，（x（t）－z（t））? 最終單調不變號,下面證明（x（t）－z（t）最終大于零.分以下兩種情況來證:

下面證明x（t）－z1（t）最終大于零，分兩種情況來證.

第一種情況:當 t′k＞ak+τ時,

易見存在N，當k≥N時，有x（t′k）－z1（t′k）＞0，即x（t）－z1（t）最終大于零.

第二種情況:當 ak≤t′k＜ak+τ時,

故x（t′k）－z1（t′k）＞0，即x（t）－z1（t）最終大于零.

綜上所述，存在t4≥t3,當t≥t4時，x（t）－z1（t）＞0，x（g（t））－z1（g（t））＞0．由條件(a)得

令y（t）=x（t）－z（t），則y(4)（t）＜－l1p+（t）y（g（t））＜0.

若y(3)（t）＜c＜0，兩邊從t4到t進行3次積分得

若y(3)（t）＞c＞0，兩邊從t4到t進行2次積分得

所以若 y″（t）＞0，則有 y′（t）＞0；若 y（t）″＜0，則有y′（t）＞0，(否則，y＞0，與y＞0矛盾）

綜上，當t≥t4時，有y?（t）＞0，y′（t）＞0，y′（g(t))＞0．

2 定理及其證明

定理 若方程(1)滿足上述(a)，(b)，(c)，(d)，(e)條件，則方程(1)是振動的.

證明:假設方程(1)是不振動的，則不妨假設方程存在一最終正解 x（t）,且 x（g（t））＞0.(最終負解的情形可類似證明)．由引理2知:y(4)（t）＜－l1p+（t）y（g（t））＜0，且有y?（t）＞0，y′（t）＞0，y′（g（t））＞0．

3 結論

當方程x(4)（t）+p（t）f（x（g（t）））=0滿足上述定理中的條件時，此方程的解是振動的．

[1]鄒杰濤,郭金花,侯艷紅，等.某類二階非線性時滯微分方程的振動性[J].數學的實踐與認識,2007,37(05):142-146．

[2]李宏飛,王志斌.變系數變時滯高階非線性中立型方程的振動性[J].工程數學學報,2000,17(3):121-124．

[3]楊軍,李靜,王春艷.變時滯高階非線性中立型微分方程的解的振動性、漸進性及分類[J].純粹數學與應用數學,2005,21(2):118-121．

[4]朱紅霞.幾類二階時滯微分方程的振動性研究[D].北京:北方工業大學,2007.

[5]韓效宥,石燕霞,莊需芹.某類系數變號的二階非線性變時滯微分方程的振動性[J].數學的實踐與認識,2007,37(15):155-159．

[6]韓效宥,郭芳,韓少偉，等.具變號系數的四階非線性微分方程的振動性[J].數學的實踐與認識,2008,38(11):168-172．

[7]郭芳,朱紅霞,韓效宥.具變號系數的四階非線性時滯微分方程的振動性[J].北方工業大學學報,2009,21(03):37-40．