Q(Qr)空間及其性質

黃利忠，羅 成

(1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009;2.內蒙古大學數學科學學院，內蒙古呼和浩特 010021)

20世紀早期，Banach給出了完備的賦范線性空間上的開映射定理和閉圖象定理[1].隨后，Robertso兄弟和V.Ptak等一批工作者對某些局部凸分離空間做了系統且深入的探討，給出了相應的閉圖象定理[2，3].在文獻[2]中關波對G(Gr)空間做了一定的研究.受此啟發，本文中，我們將qw*閉概念中的“θ點鄰域”用“包囿桶”來代替，提出了qw*閉的概念，進而提出了Q空間與Qr空間的概念，并對這兩個空間的性質做了簡單的探討.在本文中，若不加以說明，（X，T）均指局部凸Hausdorff空間(簡記為lcs空間).若無特別聲明，文中所用的符號均與文獻[2]保持一致.

1 預備工作

定義1[2]設（X，T）是lcs空間，共軛空間X′中的子集N稱為是aw*閉的，如果對于X中的每個θ點鄰域，B0∩N是X′中的弱*緊集.

定義2[2]稱lcs空間（X，T）是B完備(或稱全完備，空間是Ptak空間)，如果在X′上的每個aw*閉的線性子空間是弱*閉的;稱lcs空間（X，T）是Br空間(或稱inf ra-Ptak完備)，如果X′中每個弱*稠密的qw*閉的線性子空間是弱*閉的.

下面我們給出qw*閉的概念.

定義3 設（X，T）是lcs空間，共軛空間X′中的子集N稱為是qw*閉的，如果對于X中的每個包囿桶B，B0∩N是X′中的弱*緊集.特別地，X′是qw*閉的當且僅當對X中的每個包囿桶B，B0是X′中的弱*緊集.

從定義分析，我們不難得出下面幾條簡單的性質.

(1)若將定義中的包囿桶B換成θ點鄰域，則上述定義中qw*閉就是我們熟知的aw*閉的概念.顯然，qw*閉集是aw*閉的;

(2)由于包囿桶是桶，所以gw*閉集是qw*閉集也是Aw*閉集;

(3)qw*閉，gw*閉與Aw*閉都具有相容不變性.特別地，當（X，T）是桶空間時，X′中子集合的這三種閉性質和aw*是相互等價的;

(4)qw*閉集的弱*閉子集是qw*閉的.

引理1 設（X，T）是Mackey空間，則下列陳述是等價的:

(1)X是擬桶空間;

(2)X′是 qw*閉的;

(3)X′的每個弱*閉的線性子空間是qw*閉的;

(4)X′的每個弱*閉子集是qw*閉的;

(5)X′中的qw*閉集與aw*閉集是一致的.

證明(5)? (4)設X′上的qw*閉集與aw*閉集是一致的，N是X′的弱*閉集，由于弱*閉集一定是aw*閉的，所以N是aw*閉的，從而由條件知是qw*閉的.

(4)?(3)這是顯然的.

(3)? (2)設X′的每個弱*閉的線性子空間是qw*閉的.X′作為特殊的弱*閉子空間當然是qw*閉.

(2)? (1)設X′是qw*閉的，B是X中的任意包囿桶，由條件可得B=B∩X′是絕對凸的弱*緊集.因為X是Mackey空間，由Mackey-Arens定理，B00∈N(X)，又因為B是桶，由雙極定理可知，B=B00，于是B∈N(X).所以X是擬桶空間.

(1)?(5)設X是擬桶空間，即X中每個包囿桶都是X中的θ點鄰域，所以X′上的qw*閉集與aw*閉集是一致的.

下面我們在前面給出的qw*閉集的基礎上，給出Q空間及Qr空間的概念.

定義4 稱lcs空間（X，T）是Q空間，如果X′中每個qw*閉的線性子空間是弱*閉的;稱lcs空間（X，T）是Qr空間，如果X′中每個弱*稠密的qw*閉的線性子空間是弱*閉的.

從定義上看，Q完備空間一定是Qr完備空間.由于集合的qw*閉性質具有相容不變性，所以空間的Q(Qr)性質都具有相容不變性.

2 主要結果

定理1設（X，T）（Y，S）都是lcs空間，u:（X，T）→（Y，S）是連續線性算子且將X中的包囿桶映為Y中的包囿集，則u′保持qw*閉集.

證明 N是Y′中的qw*閉集，B是X中的任意包囿桶，令 A=B0∩u′(N).下證 A=u′?(uB)0∩N」.

設 f∈A，則 f∈B0且 f∈u′(N).由 f∈u′(N)存在g∈N，使得 f∈u′(g).對任意的 y∈u(B)，存在 x∈B，使得 y∈u(x).由于 f∈B0，有

所以

反之，任取g∈(uB)0∩N，x∈B，令 f∈u′(g)，則有

所以，f∈B0，f∈B0∩u′(N),

u′?(uB)0∩N」?A.綜上，

A=u′?(uB)0∩N」.

由于u將X中的包囿桶映為Y中的包囿集，所以u(B)是Y中的絕對凸包囿集，從而是Y中的包囿桶.而N是Y中的閉集，所以是Y′中的弱*緊集，又所以((uB)

)0∩N是Y′中的弱*緊集.u是連續的，由引理 u′是弱 * 連續的，于是 A=u′?(uB)0∩N」是 X′中的弱*緊集，所以u′(N)是qw*閉的.

推論設（X，T）（Y，S）都是lcs空間，u:（X，T）→（Y，S）是連續線性算子且將X中的包囿桶映為中的包囿集.若Y是Q空間，則Y也是Q空間

證明 N是Y′上的qw*閉的線性子空間，算子u′是u的共軛算子.由于u是T-S連續的線性算子且將X中的包囿桶映為Y中的包囿集，由引理1， u′保持 qw*閉集，所以 u′(N)是 X′中的 qw*閉的線性子空間.而X是Q空間，所以u′(N)是弱*閉的.由于 u是在上的，u′是單射，有而u′是弱*連續的，所以N是弱*閉的.因此Y也是Q空間.

[1]Taylor A E.Introduction to Fuctional Analysis(second edition)[M].New York:John Wiley&sons，1980.

[2]關波.G空間與開映射定理，數學雜志[J].1986，6(2):157-164.

[3]Kalton N J.Some Forms of The Closed Graph Theorem[J].Proc Cambrige Philos Soc，1971，70:401-408.

[4]Wilansky A.Modern Methods in Topological Vector Spaces[M].New York：McG-raw-Hill，1978.