有限元方法在“電動力學(xué)”教學(xué)中的應(yīng)用研究

張紅霞,杜永勝,張雪峰

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)數(shù)理與生物工程學(xué)院,內(nèi)蒙古 包頭 014010)

0 引言

“電動力學(xué)”課程的研究對象是電磁場的基本屬性、它的運動規(guī)律以及它和帶電物質(zhì)之間的相互作用[1］。在“電動力學(xué)”教學(xué)中,電磁問題具有幾種嚴格的求解方法。而實際問題中由于幾何形狀、邊界條件等的復(fù)雜性以及非線性等因素,只有很少一部分問題可用數(shù)學(xué)解析方法獲得精確解。現(xiàn)在,數(shù)值計算方法得到了迅猛的發(fā)展,如有限元法、有限容積法和有限差分法等,使電磁問題的求解方法有了更多的途徑。近年來,有限元方法作為一種設(shè)計工具,各種綜合性軟件(如ANSYS)已經(jīng)成為設(shè)計師應(yīng)掌握的常用工具。有限元模型的建立常用的方法有直接法、加權(quán)余數(shù)法和變分法等。其中變分法可將電場或磁場中的儲能選為目標(biāo)函數(shù),從而該方法的物理含義更為明確。

本文針對“電動力學(xué)”課程概念抽象、公式推導(dǎo)繁雜及實際問題理論求解困難的特點,引入“電動力學(xué)”的有限元數(shù)值計算環(huán)節(jié)。我們從“電動力學(xué)”教學(xué)實際出發(fā),首先針對“電動力學(xué)”中兩類典型的微分方程:拉普拉斯方程和泊松方程,利用變分法中的里海—里茲算法進行這兩類電磁場問題的數(shù)值求解,使學(xué)生對有限元方法有初步了解。本文以平行板電容器為例,使用有限元軟件ANSYS得到數(shù)值解。

1 拉普拉斯方程的數(shù)值求解

考慮一個典型的一維靜電場問題,設(shè)一個兩極間距為a的電容器,板間加有10V的直流電壓,該電場的描述方程為

將電場或磁場中的儲能選為目標(biāo)函數(shù),由于物理上能量總是趨于最小,則與儲能有關(guān)的一個泛函定義為

利用邊界條件,近似解可簡化為

對上式確定的泛函求關(guān)于待定系數(shù)C1和C2的偏導(dǎo)數(shù),令其為零滿足能量最小化,從而確定近似解φ=10x/a,與理論解相同。

2 泊松方程的數(shù)值求解

如果一個靜電場受到電荷的激勵,這種有源靜態(tài)場由泊松方程及相應(yīng)的邊界條件來描述。一個典型的一維靜電場問題可以用下列方程表示

取方程近似解為 φ=C1(x-x3)+C2(x2-x3)。利用邊界條件,求解可得C1=0.5,C2=-0.5。從而近似解 φ(x)=(x-x2)/2。

3 平行板電容器的有限元求解

有限元法是建立在變分原理及區(qū)域剖分和插值的基礎(chǔ)上,首先將求解區(qū)域離散化,將變分原理應(yīng)用于離散化后的每個子區(qū)域中,然后通過分區(qū)插值,把二次泛函的極值問題化為一組多元線性代數(shù)方程來求解。有限元方法需要很強的數(shù)學(xué)計算能力,而有限元軟件ANSYS即可避免繁雜的計算,同時又可得到直觀形象的矢量圖解,加深學(xué)生對物理問題本質(zhì)的認識,尤其是在“電動力學(xué)”等理論性強的課程中引入ANSYS可得到較好的教學(xué)效果[2］。如在靜電場和恒定磁場中引入ANSYS數(shù)值求解,可以直觀形象地展示場的分布,有助于學(xué)生對場概念的理解和掌握[3］。ANSYS處理實際問題的步驟主要包括建立模型、網(wǎng)格劃分、加載邊界條件、結(jié)果后處理等步驟。圖1是求解得到的平行板電容器內(nèi)某一截面電勢分布圖,所得結(jié)果與精確解非常接近。

圖1 平行板電容器電勢沿截面分布示意圖

4 結(jié)語

由于“電動力學(xué)”中大多數(shù)問題很難得到精確的解析解,有限元方法及其相應(yīng)軟件在處理相關(guān)問題中非常有效,既可避免復(fù)雜的理論推導(dǎo),又可培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力,因而值得關(guān)注。

[1］郭碩鴻.電動力學(xué)(第二版)[M］.北京:高等教育出版社,1997

[2］杜永勝,張紅霞.ANSYS在電動力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J］.北京:高等教育與學(xué)術(shù)研究,2009,5:8-10

[3］黃輝,王毅.ANSYS在“工程電磁場”教學(xué)中的應(yīng)用[J］.南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報,2005,27(4):88-91