基于最小線性均方估計(jì)的小波去噪算法

摘 要:提出一種新的基于最小線性估計(jì)正交小波圖像去噪算法。該算法把降噪過程直接看作是一個(gè)小波系數(shù)的加權(quán)和，而不是為小波系數(shù)假設(shè)一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型。在此，基于最小線性均方估計(jì)構(gòu)造去噪函數(shù)，然后最小化均方誤差，得到一組估計(jì)參數(shù)，從而得到線性去噪函數(shù)，實(shí)現(xiàn)對非線性去噪算法的改進(jìn)，其最大的好處就是不用先驗(yàn)知識;最后通過使用該去噪算法對一定噪聲級數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)圖像進(jìn)行處理，并與目前去噪效果最好的BLS-GSM方法進(jìn)行了比較。結(jié)果表明了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞:均方誤差; 小波系數(shù); 去噪; 線性估計(jì)

中圖分類號:TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)12-0121-04

Wavelet De-noising Algorithm Based on LMS Estimation

ZHU Wen-tao， FU Wei

(College of Information Science and Engineering， Yanshan University， Qinhuangdao 066004， China)

Abstract:A new orthogonal wavelet image de-noising algorithm based on the least linear estimation is proposed. Instead of postulating a statistical model for the wavelet coefficients， the de-noising process was regarded as a sum of wavelet coefficients with unknown weights. Constructing de-noising function based on the least linear mean square estimation， then minimizing the mean square error， a group of estimation parameters can be acquired to construct the linear de-nosing function completing the improvement of no-linear de-nosing function. The most important advantage is that the priori knowledge is needless. Comparing with the result acquired by BLS-GSM over a suitable range of noise levels for a standard image， the result acquired by using this proposed approach.

Keywords:mean squares error; wavelet coefficients; de-noising; linear mean square estimation

近年來隨著小波理論的不斷成熟和發(fā)展，小波變換已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，特別是圖像去噪方面，其中小波閾值去噪法是目前研究最為廣泛的方法。在小波變換域中，噪聲能量分布在所有小波系數(shù)上，其值較低;信號能量只分布在一小部分小波系數(shù)上，其值較高，因此找到一個(gè)合適的閾值就可以達(dá)到明顯的去噪效果。基于這個(gè)思想，很多學(xué)者提出了有效的方法[1]，如:通用(universal)閾值法[2-3]、極小化風(fēng)險(xiǎn)閾值法[4-5]、BLS-GSM法[6]和BayesShrink閾值法[7-8]。近年來，一些新方法也相繼提出[9-12]，但是這些方法都需要為圖像的小波系數(shù)構(gòu)造模型[8，13]，這就增加了算法的難度和計(jì)算的復(fù)雜度。基于這些理論，本文提出了一種改進(jìn)的基于線性均方估計(jì)的線性閾值去噪函數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該函數(shù)可以達(dá)到較好的去噪效果。

1 小波去噪的基本原理

含噪聲的圖像模型為:

y(m，n)=x(m，n)+b(m，n)，

m=1，2，…，M;n=1，2，…，N (1)

式中:y(m，n) 是觀測圖像的灰度值;x(m，n)是無噪圖像的灰度值;b(m，n)是觀測噪聲。假定噪聲獨(dú)立于信號，并且是空間平穩(wěn)的零均值高斯白噪聲，設(shè)噪聲方差為σ2含噪圖像的小波去噪過程可以分為3步:

(1) 對含噪圖像進(jìn)行J層正交小波分解，得到小波域系數(shù)cAk，cAk+1，dA(h)k+1，dA(v)k+1，dA(d)k+1。其中，k=0，2，…，J-1;cAk為k層近似小波系數(shù);cAk+1，dA(h)k+1，dA(v)k+1，dA(d)k+1分別為k+1層近似小波系數(shù)、水平細(xì)節(jié)系數(shù)、垂直細(xì)節(jié)系數(shù)和對角細(xì)節(jié)系數(shù);cA0=y(m.n)為觀測圖像。

(2) 利用合適的點(diǎn)態(tài)閾值函數(shù)θ(#8226;)對含噪圖像的小波域系數(shù)cAk+1，dA(h)k+1，dA(v)k+1，dA(d)k+1做濾波處理，得到處理后的小波系數(shù)Ak+1，A(h)k+1，A(v)k+1，A(d)k+1。

(3) 利用去噪后的小波系數(shù)Ak+1，A(h)k+1，A(v)k+1，A(d)k+1進(jìn)行小波逆變換，得到去噪后的估計(jì)圖像(m，n)。

由于使用的是可分離正交小波變換，由正交性可知，噪聲的小波系數(shù)依然滿足高斯特性，即滿足均值為0，方差為σ2，并且在圖像域中均方誤差(MSE)可以表示成小波域中每一子帶的MSE的加權(quán)和。MSE定義為:

MSE=1MN∑Mi=1∑Nj=1[x(i，j)-(i，j)]2 (2)

1.1 Stein′s 無偏均方誤差估計(jì)

在圖像去噪應(yīng)用中，一般用峰值信噪比(PSNR)評價(jià)去噪性能，PSNR值越大，說明去噪效果越好。PSNR定義為:

PSNR=10lg[ max(x2)/MSE](3)

對于量化級別為0~255的灰度圖像， max(x2)=2552。

因此，由式(3)的定義可知，圖像去噪的出發(fā)點(diǎn)就是MSE的最小化問題，本文的主要目的也是找到一個(gè)合適的函數(shù)，以解決這個(gè)問題，但這也是一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)樵趯?shí)際中無法得到噪聲圖像。幸運(yùn)的是，這個(gè)難題已經(jīng)被stein提出的無偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)(SURE)解決了。SURE理論說明去噪過程中可以不必考慮原始圖像也能達(dá)到很好的去噪效果，基于此，本文提出了基于最小線性均方估計(jì)的改進(jìn)式去噪函數(shù)。

為了方便說明，令觀測圖像表示為:

y = x + b(4)

小波系數(shù)表示為:

w = Dy(5)

去噪后的估計(jì)圖像表示為:

= R θ( w )= R θ( Dy ) (6)

式中: D =(di，j)M×M; R =(ri，j)M×M表示圖像的小波分解和重構(gòu)處理。

由最小線性均方估計(jì)理論可以寫出去噪函數(shù)的基本形式:

ζ( y )=∑Kk=1ak R θk( w )=∑Kk=1ak R θk( Dy ) (7)

因此MSE可表示為:

MSE=1MN‖ x -ζ( y )‖2 (8)

定理1:令ζ:R→R是一個(gè)可微的函數(shù)，且在無窮處有界，那么:

ε=1MN‖ζ( y )- y ‖2+2σ2MNdiv{ζ( y )}-σ2 (9)

是MSE的無偏估計(jì)[4]，即:

Ε{ε}=MSE=1MNE{‖ζ( y )- x ‖2}

證明:

E{‖ζ( y )- x ‖2}=E{‖ζ( y )‖2}-

2E{‖ζ( y )Τ x ‖}+E{‖ x ‖2}=E{‖ζ( y )‖2}-

2E{‖ζ( y )Τ y ‖}+2σ2E{div{ζ( y )}}+E{‖ x ‖2}

因?yàn)樵肼暘?b 是零均值，可以用E{‖ y ‖2}-MNσ2代替E{‖ x ‖2}。

定理1能較好地應(yīng)用于圖像去噪中特別是抽樣數(shù)非常大的情況。在此條件下，ε的標(biāo)準(zhǔn)方差非常小，也就是說估計(jì)值非常接近期望值。因此，可以完全將ε當(dāng)做實(shí)際的MSE。

1.2 參數(shù)化閾值函數(shù)的構(gòu)造

將式(7)改寫為:

ζ( y )=∑Kk=1akζk( y ) (10)

該函數(shù)就是一個(gè)閾值函數(shù)的線性組合，但需要注意的是閾值函數(shù)不一定是線性的，并且ζk( y )必須是可微的，其中ζk( y )= R θk( Dy )。

將式(10)代入式(9)，對ak求偏導(dǎo)置零，可以得到一組ak，即:

∑Kl=1ζk( y Τ)ζk( y ) M al=ζk( y Τ) y -σ2div{ζk( y )} c(11)

ak可由一個(gè)下面的矩陣方程求出:

Ma = c(12)

將式(6)代入式(9)可以得到:

ε=1MN‖ζ( y )- y ‖2+2σ2MN a Τθ′( Dy )-σ2 (13)

式中: a =diag{ DR }={[ DR ]11，[ DR ]22，…，[ DR ]mm}是由 DR 主對角線上的元素組成的對角陣。

一般情況下，D =(di，j)M×M，R =(ri，j)M×M都是已知，可以用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟮?a ，因此由式(9)可知，找到一個(gè)合適的ζ(#8226;)，使得均方誤差最小，就能從理論上實(shí)現(xiàn)去噪的有效性，實(shí)際的仿真也證明了其有效性。

1.3 基于MSE的點(diǎn)態(tài)閾值函數(shù)的構(gòu)造

基于以上的要求，去噪函數(shù)為:

ζ( y )=∑Kk=1ak y e-(k-1) y Τ y 2T2 (14)

當(dāng)k=1時(shí)，去噪函數(shù)變?yōu)棣? y )=a1 y ，這是最簡單的點(diǎn)態(tài)去噪函數(shù)。直接對ε最小化，可得:

a1=1-σ2(1/MN)‖ y ‖2 (15)

可以證明T和K對圖像去噪的效果只有較小的影響，因此從實(shí)際應(yīng)用考慮[13-15]，取K=2和T=6σ，因此去噪函數(shù)為:

ζ( y ，a)=(a1+a2e- y Τ y 12σ2) y(16)

2 層間相關(guān)性

2.1 尺度間的特征對齊

在正交小波分解中相鄰尺度間小波系數(shù)的父子關(guān)系如圖1所示。

其大小比例為1∶2，通常使用二因子法實(shí)現(xiàn)二者的特征對齊，但這種方法沒有考慮濾波器的延遲問題。為了解決該延遲問題，引用了一個(gè)解決方法，該方法可以保證圖像特征的對齊[4，13]。令LLj，LHj分別為j層的低通和帶通輸出，若低通和帶通濾波器的群延遲相等，則LLj，LHj的特征無偏移，即使有些特征發(fā)生衰退、模糊或者加強(qiáng)，他們的位置相對不變。大部分濾波器都存在群延遲，因此對LLj用適當(dāng)?shù)臑V波器進(jìn)行濾波處理，以補(bǔ)償與LHj的群延遲。具體原理如圖2所示。

圖1 三層小波小波系數(shù)層間父子關(guān)系圖

圖2 特征對齊原理圖

由于使用的是可分離正交小波變換，因此可以僅考慮一維的群延遲補(bǔ)償。原理圖如圖3所示。

圖3 群延遲補(bǔ)償原理圖

定義:若H(z)/G(z)的群延遲等于0，那么H(z)和G(z)是群延遲補(bǔ)償;也就是說，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對稱濾波器R(z)=±R(z-1)，使得H(z)=R(z)G(z)，則有:

W(z2)=G(z-1)G(-z-1)(1+λz-2)R(z2) (17)

式中:λ=±1;R(z)=R(z-1)。

群延遲補(bǔ)償濾波器的脈沖響應(yīng)wn必須滿足以下2個(gè)條件:

(1) 能量守恒:∑ n∈ Ζw2n=1;

(2) 高通特性。

在實(shí)際應(yīng)用中希望選用盡可能短的濾波器，容易知道，在對稱或者近似對稱濾波器中，比如Daubechies symlet滿足對齊條件的最短W，實(shí)際上就是簡單的梯度濾波器，其W(z)=z-1 。若對稱性沒有集中在初始位置而是在n0處， 則W(z)=z-n0(z-1);若低通濾波器是非對稱的，則可簡單地取R(z2)=1。

最后對群延遲補(bǔ)償濾波器輸出的絕對值使用一個(gè)二維歸一化高斯核函數(shù)G(x)=(1/2π)e-(x2/2)進(jìn)行平滑濾波，達(dá)到增加相近幅度小波系數(shù)的齊次性效果。

2.2 去噪函數(shù)的構(gòu)造和參數(shù)優(yōu)化

群延遲補(bǔ)償濾波器可以得到一個(gè)層間預(yù)測wp，但它并不能預(yù)測其對應(yīng)的子小波系數(shù)的真實(shí)值，而只是給出了期望的幅值。因此結(jié)合預(yù)測值 wp 可得到去噪函數(shù):

ζ( y ， wp )=f( wp )∑Kk=1akζk( y )+

[ 1-f( wp )] ∑Kk=1bkζk( y ) (18)

式中:ak，bk可由最小化MSE求得。

f( wp )=e- wp 2T2 (19)

因此總的去噪函數(shù)為:

ζ( y ， wp ， a ， b ) =

e- w Τ p  wp 12σ2(a1  + a2e- y Τ y 12σ2) y+

(1-e- w Τ p  wp 12σ2)(b1  + b2e- y Τ y 12σ2) y(20)

式中: a ，b 由式(6)的最小化決定，其具體計(jì)算方法如式(12)所示。將去噪函數(shù)式(20)代入式(9)的最小化中，并分別對 a ，b 求導(dǎo)取0得:

m11m12m13m14

m12m22m23m24

m13m23m33m34

m14m24m34m44 M #8226;a1

a2

b1

b2 p =c1

c2

c3

c4 c(21)

式中:

m11  =〈f21  y Τ y 〉， m12  =〈f21f2 y Τ y 〉，

m13=〈f1f1 y Τ y 〉， m14=〈f1f1f2 y Τ y 〉，

m22  =〈f21 f22 y Τ y 〉， m23=〈f1f1f2 y Τ y 〉，

m24  =〈f1 f1 f22  y Τ y 〉， m33=〈f12 y Τ y 〉，

m34  =〈f21 f2  y Τ y 〉， m44  =〈f1 2f22  y Τ y 〉，

c1=〈f1 y Τ y -σ2f1〉，

c2=〈f1f2 y Τ y -σ2f1f2(f2+f2′ y )〉，

c3=〈f1 y Τ y -σ2f1〉，

c4=〈f1f2 y Τ y -σ2f1e- y Τ y 12σ2(f2+f2′ y )〉，

f1=e- w Τ pwp 12σ2， f1=1-f1 ，

f2=e- y Τ y 12σ2， f2=1-f2，〈 〉=1MN‖#8226;‖2

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

對上述方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證，并與目前理論上圖像去噪濾波中最理想的去噪算法BLS-GSM算法進(jìn)行了比較。采用的實(shí)驗(yàn)圖像為標(biāo)準(zhǔn)的512×512 Lena灰度圖像，分別加入強(qiáng)度為5，10，20，30，50，100的高斯白噪聲，采用sym 8小波進(jìn)行四層分解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

噪聲級數(shù)(σ)IPSNRBLS-GS PSNR本文中PSNRBLS-GSMt /s本文中t /s

534.1538.1937.9645.952.58

1028.1335.2334.5644.912.50

2022.1132.2531.5145.672.52

3018.5930.4629.5645.392.50

5014.1528.2127.3745.592.53

1008.1325.3424.6645.452.89

一般將峰值信噪比作為判定圖像去噪好壞的標(biāo)準(zhǔn)，從表1可以看出，本文提出的方法能達(dá)到較高的峰值信噪比，并且與BLS-GSM[6]方法的峰值信噪比相差不多，平均相差0.64 dB。 在視覺上有較好的效果，如圖4所示。但是該方法的運(yùn)行時(shí)間比BLS-GSM有明顯的優(yōu)越性，平均運(yùn)行時(shí)間是BLS-GSM的15倍多。

圖4 仿真結(jié)果

4 結(jié) 語

提出一種新的參數(shù)化閾值去噪函數(shù)，其中參數(shù)可由MSE無偏估計(jì)的最小化決定。為了考慮小波系數(shù)層間相關(guān)性引用了一個(gè)特征對齊過程，并且對父子系數(shù)進(jìn)行了預(yù)測。然后將這些指標(biāo)與去噪函數(shù)結(jié)合，并與目前最好的BLS-GSM方法進(jìn)行了比較。結(jié)果證明了該方法的有效性和優(yōu)越性。

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