樹狀電路信號完整性符號化分析方法與應用

摘 要:RLC樹狀電路的信號傳輸特性可以利用電路的高階矩描述。電路的矩可以通過數值遞歸算法和符號化方法求得，其中基于矩決策圖的符號化求解算法利用了決策圖的共享特性，將大規模電路的矩進行符號化表示。通過引入樹狀電路之間的耦合電容和互感，利用電源分割理論，將樹狀電路矩的符號化算法進行推廣，并構造一個耦合RLC樹狀電路的符號化仿真器，對耦合互連線的信號完整性進行高效的分析和仿真。最終論證耦合RLC樹狀電路的串擾與電路參數之間的關系。

關鍵詞:矩;信號完整性;二叉決策圖;耦合電容;互感;符號化

中圖分類號:TM13文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)01-113-04

Symbolic Analytical Approach and Applicationfor Signal Integrity of

Inductance-Effect-Prominent Multi-coupled RLC Tree Circuits

LIU An

(School of Microelectronics，Shanghai Jiaotong University，Shanghai，200030，China)

Abstract:The signal characteristics of RLC tree-structured circuits can be described by high order voltage moments，which can be computed recursively using numerical or symbolic algorithms.The symbolic moment calculator is based on Moment Decision Diagram (MDD) which can represent the recursive moment computation process effectively by taking the advantage of data sharing in the decision diagram.Taking the coupling capacitance and inductance into consider，a symbolic simulator of inductance-effect-prominent multi-coupled RLC tree circuits by using source splitting technique is provided.An application of symbolic SI analysis for the coupled interconnects is also presented.The relationship between the parameters of RLC tree circuits and their signal integrity are demonstrated.

Keywords:moment;signal integrity;binary decision diagram;coupling capacitance;coupling inductance;symbolic

0 引 言

當工藝尺寸逐漸步入深亞微米后，寄生參數效應將變得更加明顯[1]。由于工作頻率的提高，不僅是導線的寄生電感，導線間的耦合電容，甚至互感也體現了出來，對芯片上的信號完整性提出了更加苛刻的要求。不考慮有源器件，僅從互連線的角度來看，傳統的RC模型已經不能勝任了，取而代之的是RLC，RLCM等更加精確的模型。

隨著芯片集成度的提高，布線的長度增長，需要用分布式互連線模型，甚至傳輸線模型才能描述。如果再考慮寄生參數，這樣就對仿真的規模提出了更高的要求。因此，快速而準確地估計信號在互連線網上的傳輸特性是目前VLSI設計中一個十分重要的問題。目前主要的方法是通過計算線網中各點電壓沖激響應的矩(Moment)來進行。RC線網設計中廣泛應用的Elmore時延既是沖激響應的一階矩[2]。然而，如果考慮導線的寄生電感，導線間的互容、互感，只有計算出高階矩才可以對導線的傳輸時延、阻尼狀態、振蕩幅度，甚至導線間的串擾進行快速和合理的估計[3，4]。

Pillage等提出了計算RLC線網各階矩的方法[5]。這個算法充分利用了樹狀傳輸線的特殊結構，運用正反向兩次路徑追蹤(Path-tracing)算法和一系列電源置換的直流分析反復求解同樣結構的一個電阻網絡。基于這種路徑追蹤算法，又產生了一系列高效的矩的遞歸數值計算方法[6]，然而這些方法在進行每次矩計算之前必須預先記錄所有的追蹤路徑。

Shi提出了RLC樹狀電路各階矩的符號化計算方法[7]。這個算法利用一個連接電容樹(Capacitor Tree)中電阻的多根節點二叉決策圖(Multi-root Binary Decision Diagram)來處理矩計算過程中的路徑追蹤，從而能夠有效地計算電路各節點的高階矩。同時，由于有了矩決策圖(Moment Decision Diagram，MDD)對高階矩的符號化表示，能夠更有效地對樹狀電路的信號完整性進行統計分析。

本文在單棵RLC樹狀電路矩的符號化計算方法基礎上，引入了導線間的耦合電容和互感，建立了多耦合RLC樹狀電路矩的符號化計算方法，并結合模型降階算法，對多耦合樹狀電路的信號完整性進行了分析。

1 多耦合RLC樹狀電路矩的數值計算方法

RLC線網是片上互連線的典型模型，它的狀態方程可表示為:

Edx(t)dt+Ax(t)=Fu(t)

(1)

式中:狀態向量x是由電路的節點電壓和支路電流構成的。如果電路是樹狀結構，那么系統方程E，A和F具有特殊的結構，可以簡化電路矩的計算。

Ratzlaff和Pillage提出RICE(Rapid Interconnect Circuit Evaluation)算法[5]的巧妙之處在于它沒有直接通過矩陣運算去得到矩，而是利用電路自身的拓撲結構——RLC樹狀電路可以看成由電阻R組成的支撐樹(Spanning-tree)和由電容C組成的連枝(Branch)構成，通過反復迭代的直流分析，最后計算出樹狀電路節點的各階矩。

由于電容耦合和互感效應對信號的時延和串擾有著重要的影響，在建模RLC樹狀電路網絡時必須要考慮非地點(No-ground Node)之間的浮動電容(Floating Capacitor)和對應電感之間的互感。 Qingjian Yu和Ernest S.Kuh提出了計算耦合RC樹狀電路矩的數值遞歸算法[6，8，9]。這個算法同樣適用于多耦合RLC樹狀電路。

RLC的樹狀電路網絡模型如圖1所示。

圖1 耦合(互感、互容)RLC樹狀電路網絡模型

首先按文獻[6]的規則定義符號如下:

Ti為第i棵RLC樹，Root(i)為Ti的根節點;

nij為第i棵RLC樹的第j個節點;

Cij0為連接nij節點和地的電容;

Ci1i2j1j2表示節點ni1j1與節點ni2j2之間的耦合電容;

CCij為連接nij的所有耦合電容;

Rij和Lij為電容Cij0所對應的支路電阻和支路電感;

Pij為Root(i)到nij點的電阻路徑;

Rijk，Lijk為路徑Pkj∩Pij上的所有電阻和電感;

Ki1i2j1j2和Mi1i2j1j2為Li1j1和Li2j2之間的互感系數和互感，其中:Mii1jj1=Kii1jj1LijLi1j1;

MLij為與電感Lij耦合的所有互感;

mCij(k)和mLij(k)為Cij和Lij的對應的k階矩。

已知在k(k≥1)次迭代過程中，電容Cij等效為電流源ICij(k)=Cij#8226;mCij(k-1)，耦合電容Ci1i2j1j2等效為電流源:

I(k)=Ci1i2j1j2[mCi1j1(k-1)-mCi2j2(k-1)]

(2)

其中，電流的方向為ni1j1點流向ni2j2。根據電源分配理論，可以將由耦合電容Ci1i2j1j2產生浮動電流源(Floating Current Source)分成兩個對地電流源，分別是從ni1j1點流向地的I(k)和從ni2j2點流向地的-I(k)(如圖2所示)。浮動電流源的分割等同于將原來相互耦合的RLC樹狀電路去耦合。

圖2 耦合電容的矩模型

同樣，電感Lij等效為電壓源VLij(k)=Lij#8226;mLij(k-1)，互感Mi1i2j1j2等效為兩個電壓源，分別是與Li1j1串聯的Mi1i2j1j2mLi2j2(k-1)和與Li2j2串聯的Mi1i2j1j2mLi1jj1(k-1)。由互感Mii1jj1產生浮動電壓源(Floating Voltage Source)的分割也等同于將原來相互耦合的RLC樹狀電路去耦合(如圖3所示)。

圖3 耦合電感的矩模型

基于這個理論可以得到，一組多耦合RLC樹狀電路電容Cij和電感Lij的k(k≥1)階矩公式:

mCij(k)=∑nip∈NiRipjmLip(k)-∑nip∈Ni[Lip#8226;mLip(k-1)+

∑Mii1pp1∈MipMii1pp1mLi1p1(k-1)]

(3)

mLij(k)=∑nip∈Ni{CipmCip(k-1)+∑Cii1pp1∈CCijCii1pp1[mCip(k-1)-

mCi1p1(k-1)]}

(4)

2 多耦合RLC樹狀電路矩的符號化計算方法

雖然有了多耦合RLC樹狀電路網絡矩的計算公式，但數值遞歸算法的復雜性在于在矩計算時必須識別所有相關的路徑和路徑上的電路元件。對于大規模電路而言，必須要有特定的機制記錄相關的追蹤路徑。Ratzlaff和Pillage提出的虛擬路徑追蹤(virtual path-tracing)算法[5]在計算一階矩的同時，用偽指令(pseudo-instructions)存儲樹枝的位置和階數。然而，這種方法需要復雜的編程實現，不易于符號化(symbolic)。

Shi提出了基于矩決策圖的單棵RLC樹狀電路矩的符號化計算方法[7]。它利用二叉決策圖共享子圖的特點，高效地將電路結構存儲為圖的數據結構，實現了矩計算的符號化。由于多耦合RLC樹可以在矩計算過程中實現去耦合，這個算法在經過一定擴展之后仍然適用。

矩決策圖的構造算法:

第一步:建立一棵與電路結構相同的電容樹(C-Tree)。每一個對地電容Cij0建立指向所有耦合電容CCij的指針。

第二步:建立一棵由電阻構成的多根節點的二叉決策圖。這個二叉決策圖與電容樹的拓撲結構完全相同。如果在電容樹中，電容Cij是Cip的直接子節點，那么BDD中電阻節點Rij的“Then”邊指向電容樹的Cij點，“Else”邊指向BDD的Rip點。如果Lij和Lmq耦合，則電阻節點Rij有指針指向電阻節點Rmq。每一個電阻節點Rij都是BDD的根節點。只有R1j點的“Else”邊指向“0”節點(如圖4所示)。

以上兩步在實際操作過程中可以同時完成，由于電阻構成的決策圖具有和電路結構相同的樹形結構，所以可以一次構造完成，且不需要查找表機制。

k階矩的計算方法:

第一步:(電容樹求值)后序遍歷電容樹一次，先將電容節點Cij的值用等效電流源代替，即:

capij=CijmCij(k-1)+∑Cii1pp1∈CCipCii1pp1[mCip(k-1)-

mCi1p1(k-1)]

(5)

令每一個電容節點Cij存儲它的所有后續電容節點以及它本身的電容之和，這個值也就是電容Cij對應電感Lij的矩mLij(k)。

圖4 多耦合RLC樹的矩決策圖

第二步:(BDD求值)二叉決策圖根節點Rij的值由以下遞歸公式求得:

val(Rij):=Rij*val(Rij→Then)+val(Rij→Else)

(6)

式中:val(Zero)=0;val(Rij→Then)=capij。

由電感等效的電壓源可以用同樣的MDD進行計算，只需要將BDD的電阻節點Rij換成對應的電感Lij即可。同時還要考慮由互感引起的浮動電壓源，所以遞歸公式為:

val(Lij):=Lij*val(Lij→Then)+val(Lij→

Else)+∑Mii1pp1∈Mipval(Mii1pp1)

(7)

式中:

val(Mii1pp1):=Mii1pp1*val(Li1p1→Then)+

val(Li1p1→Else)。

3 多耦合RLC樹狀電路信號完整性分析

得到了電路n個扇出(fanout)點的0~q(q≤n)階矩之后，便可以通過模型降階技術對RLC樹狀電路網絡進行快速精確的電路級模擬，從而研究互連電路的傳輸特性和信號完整性(時延、串擾)。

這里，需要兩步來得到原電路系統(1)的降階模型。首先，通過Gram-Schmidt正交化方法[10]將通過q-1(q≤n)次迭代得到的電路矩向量m(:，j)(j=0，1，…，q-1)正交化。設矩陣Vn×q的列向量是正交化的矩向量m(:，j)，把矩陣Vn×q作為線性系統的投影矩陣，得到如下的降階模型:

dξ(t)dt+ξ(t)=u(t)

(8)

式中:=VTEV，=VTAV，=VTF。很容易證明降階模型(8)和原系統模型(1)至少最初q(q≤n)階矩是相同的。

4 實驗結果

用C++實現了基于MDD的符號化矩求解器，可以在普通的PC(1.83 GHz)上在幾分鐘之內計算含有100 000個RLC單元的樹狀電路各點的4階或更高階的矩(這里不考慮解析網表的時間)，這里還實現了基于符號化矩求解器的多耦合RLC樹狀電路仿真器，程序結構如圖5所示。

圖5 符號化互連線仿真器結構

接著，分析三根平行耦合中RLC互連線(如圖6所示)信號的完整性，其中一根的源端接入1 V跳變電壓(入侵者aggressor)，另兩根源端接地(受害者victim)。觀察互連線輸出端傳輸特性，每一根互連線由100個RLC單元組成。它的單位長度參數分別是r=5.357 1 mΩ，l=0.613 8 nH，c=0.142 0 pF。電源內阻RS=50 Ω，負載電容CL=1 pF，互感系數為K=0.9。

圖6 平行多耦合互連線模型

從圖7可以看出，系統模型的階數越高，仿真波形與HSpice越接近。

圖7 平行耦合互連線的串擾

由于符號化矩求解器的MDD結構只與電路結構相關，與電路的參數無關，所以在分析電路信號完整性隨電路參數的變化時可以比普通的Spice分析快很多。這里分析兩根平行耦合RLC互連線之間的串擾，觀察受害者輸出端的串擾隨互感系數的變化。每一根互連線由100個RLC單元組成。它的單位長度參數分別是r=5.357 1 mΩ，l=0.613 8 nH，c=0.142 0 pF。電源內阻RS=50 Ω，負載電容CL=1 pF，互感系數從-0.9變化到0.9，步長0.1，模型階數為12。

從圖8可以看出，串擾隨著互感系數的增大而增強。

圖8 平行耦合互連線串擾的仿真

5 結 語

介紹了一個基于矩決策圖的符號化矩求解器，這個求解器利用樹的數據結構表示在樹狀電路矩計算過程中的追蹤路徑，從而能夠高效地實現樹狀RLC電路高階矩的計算。本文將此算法推廣到計算多耦合RLC樹狀電路的矩，并通過穩定的模型降階，分析多耦合RLC樹狀電路的信號完整性問題。除此之外，還可以研究建立耦合互連線網絡的統計模型，并利用耦合互連線網絡的邏輯綜合改善物理設計。

參考文獻

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