一種改進的混沌擴頻序列研究

摘 要:通過對混沌映射的研究，針對單一映射產生的擴頻序列其系統復雜度低，容易通過反向逆推估計出系統初值的缺點，以Logistic映射為基礎，構造出一種新的映射。該映射容易被數字電路實現，且具有較高的系統復雜度。該序列由兩個不同初始值的兩個Logistic映射復合而成，具有較高的安全性。在此，對復合混沌序列初值敏感性、平衡性、自相關性、功率譜密度進行了分析。研究結果表明，這種新型的序列具有較高的初值敏感性、優良的平衡性、自相關性和偽隨機性，是一種有效和可靠的擴頻序列。

關鍵詞:混沌序列; Logistic映射; 直接序列擴頻; 相關性分析

中圖分類號:TN911文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)15-0015-03

Study on Modified Chaotic Spreading Spectrum Sequence

XIAO Li-li， HE Shi-biao

(Graduate Team， Chongqing Communication Institute， Chongqing 400035， China)

Abstract: Aiming at overcoming the shortcoming that the spreading spectrum sequence(SSS) generated by single map has low complexity and that the initial value is easy to be estimated by inversion， a new map is constructed by the research on the chaotic map based on Logistic-map. This map can be realized easily by digital circuit and has high system complexity. The modified chaotic sequences are compounded by two Logistic maps with two different initial values and more secure for communication. The initial-value sensitivity， self-correlation and power spectral density of the compounded chaotic sequences are analyzed. The results indicate that the new sequences have higher sensitivity to initial conditions， better autocorrelation characters and excellent pseudo randomness. A practical scheme of spreading spectrum is simulated. The simulation results show the effectiveness and reliability of the new-style chaos sequences.

Keywords: chaotic sequence; Logistic map; DSSS; correlation analysis

0 引 言

在傳統的擴頻通信系統中，通常采用PN序列(偽隨機序列)作為擴頻序列。然而，這種擴頻序列具有一定的周期性，所以它的碼數量很有限，抗截獲性也較差。混沌系統對初始值有著敏感的依賴性，可以提供數量眾多的、非相關、類隨機而又可再生的信號。因此，混沌序列的研究為選擇擴頻序列開辟了新途徑。近年來，把非線性動態系統的混沌映射用于產生擴頻通信中的擴頻碼，是國內外通信領域研究的熱點[1]。目前，文獻中研究的混沌擴頻通信方案大多基于單一混沌映射進行設計和分析[2-3]。隨著混沌理論的深入研究和廣泛使用，傳統的單一混沌映射產生的序列作為隨機序列的局限性逐漸暴露出來。傳統的混沌序列生成簡單，隨著研究傳統混沌序列的破譯技術逐漸成熟，敵方很可能根據相關信息，得到混沌的結構模型而實現被破譯[4-6]。這里研究了采用雙Logistic映射來產生復合混沌序列，映射的初值由一個變成了兩個，使初值空間增加了一倍，提高了破譯的難度，同時該序列的各項統計性能良好。

1 Logistic映射混沌序列

Logistic映射是一種典型的混沌映射，它是在實際系統中存在的最簡單的非線性差分方程，是一個被廣泛研究的動態系統，能夠表現出混沌行為[7-8]。其方程定義如下:

xn+1=μxn(1-xn)，x∈(0，1)

(1)

式中:μ為分叉參數，其中，Logistic映射的動態過程依μ值的變化而激烈變化。1≤μ≤4，當3569 9≤μ≤4時，系統處于混沌狀態。

混沌運動的基本特點是運動對初值條件極為敏感。兩個很靠近的初值所產生的軌道，隨時間推移按指數方式分離。這種指數分離現象會導致初始條件中很小的測量誤差迅速擴大，使得原本確定性的動力系統完全失去長期預測能力。如圖1所示，兩條初始狀態相差10-4的Logistic映射軌道，迭代100次以后，在相空間中完全分離，成為兩條看似毫無關系的軌道。

Logistic序列具有形式簡單，對初始條件敏感等特性。初值的微小差異，都會導致一定次數迭代運算以后的結果產生很大差別。只要設定迭代次數、初始值和結構參數，就可以提供數量眾多的偽隨機碼，并且序列具有較理想的相關特性、偽隨機性能。

圖1 Logistic映射軌道間的指數分離現象

2 一種基于雙Logistic映射的復合混沌序列

為改進傳統混沌序列的性能，文獻[9]提出了一種將移位寄存器產生的m序列與混沌系統生成的混沌二進制序列相異或的方法得到新型混沌序列。該方法對計算機有限精度所帶來的短周期行為有一定的改善，但該方法存在著一定的局限性:一是由兩種不同體制生成的隨機序列，存在著實現復雜的缺點;二是對混沌實值序列量化成二進制信號后與m序列復合，序列的復雜度不高;三是系統分布以及相關性能取決于附加的m序列，而不是混沌系統本身。本文研究一種將Logistic混沌映射復合使用來產生混沌實值序列的新方法，其原理是直接對兩個不同初始值的混沌序列求差，生成新的混沌序列。這種新的序列由兩個初值決定，初值空間更大，隨機性更強，其原理圖如圖2所示。

圖2 生成復合混沌序列的原理圖

具體的實現如下:取兩個Logistic映射，參數μ都取4，初始值取不同的值，得到兩個混沌實值序列{xn}和{yn}，再對得到的兩個實值序列求差值，這樣便生成一種新的復合混沌序列{zn}，即:

{zn}={xn}-{yn}

(2)

根據Logistic映射表達式(1)知，初值選取需滿足x0≠y0，否則迭代得到的序列{xn}={yn}，序列{zn}將為0。由于Logistic映射的迭代序列{xn}和{yn}都在(0，1)范圍中，所以序列{zn}在范圍(-1，+1)之間。取μ=4時，由初值為0400 00和0400 01兩個Logistic映射產生的復合混沌序列{zn}的時序圖如圖3所示，序列{zn}呈現出了良好的混沌狀態。

實值序列是由混沌映射直接產生的序列，但實值序列不利于數字傳輸和計算機處理，通常對實值序列進行適當的處理，產生二進制序列，采用二值量化序列法對序列進行量化。基于雙Logistic映射的實值序列取值區間在(-1，+1)，所以進行量化時只需取門限電平0。量化公式為:

z′n=1， zn>0

-1， else

(3)

序列{z′n}就是量化后的二進制序列。通過以上處理，得到所需要的二進制偽隨機序列{z′n}，與單一的Logistic映射相比，復合混沌序列由兩個初始值決定，輸出序列具有更強的隨機性和不可預測性，有效地增強了系統的保密性。

3 復合混沌序列性能分析

3.1 初值敏感性分析

初始值的敏感性是混沌系統一個重要的特性。若初始值產生微小的差異，則差異隨迭代次數呈指數增長，盡管迭代序列由初值和迭代函數完全決定，但隨迭代次數的增加，它與隨機序列并無差別。

混沌序列對初始值非常敏感，而雙Logistic映射由兩個初始值決定，任意一個初值的細微變化，都會使生成的混沌序列幾乎完全不一樣，所以雙Logistic映射比Logistic混沌映射有更大的初值空間、更大的初值敏感性。取μ=4，序列1由初值為0400 00和0400 01兩個Logistic映射產生，序列2由初值為0400 02和0400 03兩個Logistic映射產生，兩個序列之差如圖4所示。大約經30次迭代后，兩個序列變得完全不同。這說明雙Logistic映射混沌系統具有更大的初值空間、高度的初值敏感性。

圖3 復合混沌序列的時序圖

3.2 平衡性分析

在直接擴頻系統中，應盡量選平衡擴頻序列，即序列中“1”碼元數目應與“0”碼元數目保持大體相當，不平衡序列的載波泄漏很大。表1給出了Logistic混沌映射和雙Logistic映射在不同長度下的平衡性。兩種序列的μ=4，其中Logistic映射混沌序列的初值為0400 00，雙Logistic映射的初值為0400 00和0400 01。從表1可以看出，雙Logistic映射產生的混沌擴頻序列，正負碼元的個數基本趨于平衡，平衡性優越于單一的Logistic映射產生的序列。

圖4 復合混沌系統的初值敏感性

表1 混沌擴頻序列平衡性對照表

映射

類型

序列長度

2565121 0242 048-11 -11-1 1-1 1

Logistic映射

雙Logistic映射

135121 247 265 510 5141 047 1 001

127129261 251507 5171 024 1 024

3.3 相關性分析

擴頻序列的自相關函數對擴頻通信系統的抗多徑干擾能力有很大影響，理想的擴頻序列的自相關函數是一個沖擊函數δ，即其自相關旁瓣應很小，接近于0。對Logistic混沌序列和本文基于雙Logistic映射產生的混沌序列分別求自相關函數，如圖5和圖6所示。兩種序列的μ都為4，迭代次數為1 023，其中Logistic映射混沌序列的初值為0400 00，雙Logistic映射的初值為0400 00和0400 01。從圖6中可以看出，雙Logistic映射的自相關性函數更加近似于δ函數，具有更加理想的自相關特性。

3.4 功率譜密度分析

由于混沌序列類似白噪聲，故可視為平穩過程。根據維納-辛欽定理，隨機序列的功率譜密度可以利用其自相關函數的傅里葉變換得到。通過對自相關函數做FFT方法實現，給出兩種序列的功率譜特性，如圖7，圖8所示，取值與上文相同。通常利用信號的功率譜密度來研究信號的周期性，檢驗信號中是否存在明顯的周期。如果信號的隨機性強，不存在明顯的周期性，則其功率譜密度曲線較平坦，不存在明顯的尖峰。從圖7中可以看出，雙Logistic序列的功率譜密度更加平坦，而圖8的Logistic功率譜密度具有明顯的尖峰。所以雙Logistic序列不具有明顯的周期性，表現出良好的隨機性。

圖5 Logistic序列的自相關函數

圖6 復合混沌序列的自相關函數

圖7 Logistic序列的功率譜

圖8 復合混沌序列的功率譜

4 結 語

利用不同初值的兩個Logistic混沌映射生成一種復合混沌序列，有效擴大了初值空間，使產生的序列更加混亂和不可預測，克服了單一的Logistic映射攻擊者對系統狀態的預測，相應地增強了系統的安全性，研究結果也顯示該混沌序列的各項特性均滿足偽隨機序列的要求，具有良好的統計特性，適宜作為通信的擴頻序列。

參考文獻

[1]WANG X G， ZHAN M， GONG X F， et al. Spread-spectrum communication using binary spatiotemporal chaotic codes[J]. Phys.Lett.A， 2005， 334(1): 30-34.

[2]張家樹，肖先賜.基于廣義混沌映射切換的混沌同步保密通信[J].物理學報，2001，50(11):2121-2125.

[3]FREY D R. Chaotic digital encoding: an approach to secure communication [J]. IEEE Trans. Circuit and Systems， 1993， 40(10):660.

[4]張家樹，郭雙冰，肖先賜.混沌跳頻通信的非線性自適應預測對抗[J].信號處理，2001，17(3):205-207.

[5]LING C， WU X F. A general efficient method for chaotic signal estimation [J]. IEEE Trans.on Signal Proc.， 1999， 47(5):1424-1429.

[6]關新平，范正平.混沌控制及其在保密通信中的應用[M].北京:國防工業出版社，2002.

[7]柳平，閆川，黃顯高.改進的基于Logistic映射混沌擴頻序列的產生方法[J].通信學報，2007，28(2):134-136.

[8]王亥，胡健棟.改進型Logistic-map混沌擴頻序列[J].通信學報，1997，18(8):71-77.

[9]CHEN C C， YAO K， UMENO K， et al. Design of spread-spectrum sequences using chaotic dynamical systems and ergodic theory [J].IEEE Trans.on Circuits and Systems，2001，48(9):1110-1118.

[10]陸同興.非線性物理概論[M].合肥:中國科學技術大學出版社，2002.