面向海洋環境的裝備選優與排序方法

摘 要:針對海洋環境下的武器裝備選擇問題，將其轉化為帶方案偏好、屬性權重完全未知且屬性值為區間數形式的多屬性決策問題。基于主觀偏好與客觀屬性值偏差最小化的思想，提出一個單目標二次優化模型，并利用LINGO軟件進行模型求解，求得屬性權重。通過對屬性值和屬性權重的線性集結，得到排序結果。最后通過數值算例，驗證了該方法的可行性和操作性。

關鍵詞:海洋環境;區間數;模糊互補判斷矩陣;線性偏差

中圖分類號:TP18 文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)03-001-03

Solution of Equipments′ Selection and Ordering orient Ocean Environment

LIU Mingxing，DENG Su，HUANG Hongbin

(College of Information System and Management，National University of Defense and Technology，Changsha，410073，China)

Abstract:The solution of equipments′ selection and ordering orient ocean environment by transforming it to multiple attributes decision making problem with preference values on alternatives，in which the attribute weights are completely unknown and the attribute values are given in the forms of interval numbers.The single objective quadratic optimization model is proposed by minimizing the deviation between subjective preference and objective attributes values，and through solving the model by LINGO，the attribute weights can be obtained.Then the equipments are ordered by linear aggregating the attribute values and attribute weights.Finally，a numerical example is given to demonstrate the validity and rationality of this method.

Keywords:ocean environment;interval number;fuzzy complementary judgment matrix;linear deviation

0 引 言

多屬性決策(Multiple Attribute Decision Making，MADM)是指從有限個待選方案中經過綜合權衡各個屬性后，對方案集進行排序，并選出最滿意方案的過程[1]。近20年來，多屬性決策問題在軍事領域的應用中倍受關注。由于測量儀器的不精確性，以及對問題認識不夠深入和客觀情況的復雜性，人們往往不能準確地確定海洋環境對武器影響的取值，但卻能確定一個大致的變化范圍。如何根據這些不確定的影響值對給出的武器裝備序列進行排序選優已成為一個典型的不確定多屬性決策問題。針對這類不確定多屬性決策問題的研究已有很多成果。例如，文獻[2]根據優勢方案的概念，通過構建最優化模型進行優勢方案的分析;文獻[3]針對屬性權重信息不完全的多屬性決策問題，給出優劣勢排序方法;文獻[4]根據傳統TOPSIS方法的基本思想，給出一種求解屬性權重信息不完全的區間數多屬性決策問題的分析方法;文獻[5]在文獻[4]的基礎上提出解決問題的灰色關聯分析方法。本文結合提出的問題及以上分析方法，構造主觀與客觀最小線性偏差模型，提出一種屬性權重信息完全不知、屬性值為區間數的多屬性決策方法。最后通過給出的算例，驗證了本文提出的方法。

1 定義及問題描述

首先定義幾個下標集:下標集L={1，2，…，l}，K={1，2，…，k}。接下來給出區間數及區間數排序的一些定義和結論。

定義1[6] 設a=[aL，aU]={x|aL≤x≤aU}稱a為區間數。若aL≥0，則a非負，記為a≥0;若aL=aU，則區間數a為普通的實數。

定義2[6] 設a=[aL，aU]為區間數，則稱E[a]=aL+aU2為a的期望值。

定義3[7] 當a和b同時為區間數或者有一個為區間數時，設a=[aL，aU]，b=[bL，bU]，且記la=aU-aL，lb=bU-bL，則a≥b的可能度定義為:

p(a≥b)=min{la+lb，max(aU-bL，0)}la+lb(1)

定義4 給定一組區間數ai=[aLi，aUi]，i∈N，將它們兩兩比較，利用上述可能度公式求得相應的可能度p(ai≥aj)，簡記為pij，i，j∈N，并建立可能度矩陣P=(pij)n×n，該矩陣包含了所有方案相互比較的全部可能度信息。文獻[8]給出排序公式:

υi1n(n-1)∑nj=1pij+n2-1， i=1，2，…，n(2)

由此可得可能度矩陣P的排序向量υ=(υ1，υ2，…，υn)。

定義5 設模糊判斷矩陣P=(pij)n×n，若有pij+pji=1，pii=0.5，則稱矩陣P是模糊互補判斷矩陣。假設對于給定的一組海洋環境要素Φ={φ1，φ2，…，φk}，其中φi=[φLi，φUi](i∈K)為區間數，Φ對武器裝備Ei(i∈L)的性能影響ai={ai1，ai2，…，aik}，其中aik=[aLik，aUik]為區間數。海洋因素對武器裝備的影響分析不在本文的分析范圍，假設前提是影響矩陣已知:

A=a11a12…a1k

a21a22…a2k

ai1ai2…aik

式中:aik=[aLik，aUik]。

此即為本文問題的決策矩陣。問題可描述為:

E={E1，E2，…，El}:待選武器裝備集合，即為方案集，l≥2。

Φ={φ1，φ2，…，φk}:海洋因素集，即為屬性集，k≥2。

ω={ω1，ω2，…，ωk}:海洋因素影響權重集，k≥2，且滿足ωj≥0，j∈K，∑kj=1ωj=1。

A=[aij]l×k:影響矩陣，即為決策矩陣，且aik=[aLik，aUik]為非負區間數，表示海洋因素φj，j∈K對武器Ei，i∈L的影響值，可以理解為方案Ei關于屬性φj的屬性值。

P=[pij]l×l:方案偏好關系矩陣。

文獻[10]給出了三種互補標度，利用這三種互補標度構造的判斷矩陣均滿足定義4，它們都是模糊互補判斷矩陣。決策者根據0.1～0.9互補標度對武器裝備集Ei，i∈L，進行兩兩比較，得出模糊互補判斷矩陣P。

本文要解決的問題就是如何根據影響矩陣A和偏好矩陣P對武器裝備集E進行排序，從中選擇最優武器或是較優武器集。

2 決策模型

步驟1:應用區間數運算規則，將影響矩陣進行規范化處理[9]。

對于效益型屬性，有:

bLij=aLij∑li=1aUij，bUij=aUij∑li=1aLij(3)

對于成本型屬性，有:

bLij=1/aUij∑li=11aLij，bUij=1/aLij∑li=11aUij(4)

式中:i∈L，j∈K，規范化后的影響矩陣為B=(bij)l×k，bij=[bLij，bUij]。

步驟2:將綜合屬性值轉化為模糊互補判斷矩陣，并引入線性偏差。設方案的綜合屬性值為z(ω)=(z1(ω)，z2(ω)，…，zl(ω))，其中zi(ω)=[zLi(ω)，zUi(ω)]=[∑kt=1ωtbLit，∑kt=1ωtbUit]，用下列線性轉換函數把z(ω)轉換為模糊互補判斷矩陣形式=(ij)l×l，其中:



ij=12{1+E[zi(ω)]-E[zj(ω)]}

=12{1+∑kt=1(E[bit]-E[bjt])ωt}(5)

易知pij+pji=1，pii=0.5，pij≥0，i∈L，j∈K，P為模糊互補判斷矩陣。根據模糊互補判斷矩陣P=(pij)l×l和=(ij)l×l之間的偏差，引入線性偏差項:



dij=pij-pij=12{∑kt=1(E[bjt]-E[bit])ωt+2pij-1}(6)



為了使武器裝備的選擇盡可能地與決策者的主觀偏好一致，合理的屬性權重向量ω=(ω1，ω2，…，ωk)使上述線性偏差盡可能的小，因此可以建立如下的優化模型:

M-1:



min D(ω)=∑li = 1∑lj = 1d2ij

=14∑li = 1∑lj = 1{∑kt = 1(E[bjt ]-E[bit ]ωt+ 2pij -1)}2，

ωj ≥0，j = 1，2，…，k，∑kj=1ωj=1



這是一個非線性二次規劃的問題，可以利用LINGO軟件進行求解，得海洋因素的權重向量ω=(ω1，ω2，…，ωk)。

步驟3:根據步驟2求得的屬性權重可以得到武器裝備的綜合屬性值向量z(ω)=(z1(ω)，z2(ω)…，zl(ω))，其中zi(ω)=[zLi(ω)，zUi(ω)]=[∑kt=1ωtbLit，∑kt=1ωtbUit]。

步驟4:利用區間數比較的可能度式(1)，算出各武器裝備綜合屬性值zi(ω)(i∈L)之間的可能度，建立可能度矩陣P=(pij)l×l。

步驟5:利用式(2)求得可能度矩陣P的排序向量υ=(υ1，υ2，…，υn)，按其大小對武器裝備進行排序，根據決策者的需要即可得到最優武器裝備或者是較優的武器裝備集合。

3 數值算例

下面結合本文背景來驗證給出的決策方法。

在一次作戰行動中，有一組武器裝備需要指揮員(決策者)來做出選擇，要選擇出當時的海洋環境要素對其影響最小，最能發揮武器作戰效能的武器裝備。假設有2種型號的驅逐艦、2種型號的護衛艦Ei(i=1，2，3，4)可供決策者選擇，影響的海洋要素有風速(φ1)，能見度(φ2)，海浪(φ3)和海流(φ4)。根據當時這些海洋要素的預報值，可以得到它們對上述4種武器裝備的影響值矩陣(決策矩陣)，見表1。

表1 影響矩陣A

裝備φ1φ2φ3φ4

E1[6.1，6.7][7.3，7.9][8.1，8.7][2.1，2.7]

E2[7.2，7.8][6.5，6.9][7.8，8.3][2.4，2.8]

E3[4.4，5.1][4.3，4.8][6.2，6.8][3.4，3.8]

E4[5.3，5.8][4.2，4.7][6.5，7.2][4.1，4.8]

注:影響值用0～10之間的數來表示，越大表示影響越大，0表示無影響。

假設決策者根據0.1～0.9互補標度給以上武器集合Ei(i=1，2，3，4)進行兩兩比較，給出偏好矩陣(模糊互補判斷矩陣):

P=0.50.50.60.80.80.50.30.10.40.70.50.40.20.90.60.5

第一步:易知海洋環境對武器裝備的影響為成本型，根據式(4)可求得歸一化后的影響矩陣，見表2。

表2 歸一化后的影響矩陣B

裝備φ1φ2φ3φ4

E1[0.21，0.25][0.17，0.20][0.20，0.24][0.26，0.40]

E2[0.18，0.22][0.19，0.22][0.21，0.25][0.25，0.35]

E3[0.27，0.35][0.27，0.34][0.26，0.31][0.18，0.25]

E4[0.24，0.29][0.28，0.34][0.25，0.30][0.15，0.20]

第二步:建立模型(M-1)，如下:



min=

05×[(003ω1-002ω2-001ω3+003ω4+06)2+

(008ω1+012ω2+0065ω3-0115ω4+02)2+

(0035ω1+0125ω2+0055ω3-0155ω4+06)2+(011ω1+010ω2+0055ω3-0085ω4-04)2+(0065ω1+0105ω2+0045ω3-0125ω4-08)2+(0045ω1-0005ω2+001ω3+004ω4+02)2]，

ω1，ω2，ω3，ω4≥0;∑4j=1ωj=1



利用LINGO進行求解得出海洋因素的權重向量ω=(0.88，0.12，0，0)。

第三步:根據第二節中步驟3~5求得最終排序向量υ=(0.186 9，0.146 4，0.357 8，0.308 9)，得到的排序結果為E3>E4>E1>E2。最優選的武器為E3。

4 結 語

提出了海洋環境下的武器裝備排序與選優問題的多屬性問題解決方法。該方法在完全不知影響因素權值的前提下，根據主觀偏好與客觀區間屬性值偏差最小化原理，建立二次優化模型，通過對該模型的求解，解決了海洋環境下武器裝備的排序與選優問題。從數值算例的結果可以看出，求得的權重向量中零值較多，產生這種結果的原因可能是因為決策者的偏好比重占據太大，如何更好地平衡決策者的偏好與客觀屬性值的關系，也是以后應該研究的問題。

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