一類線性不確定切換系統(tǒng)的非脆弱控制器設(shè)計(jì)

摘 要:針對(duì)一類線性不確定切換系統(tǒng)，利用公共Lyapunov函數(shù)的方法，給出了當(dāng)所設(shè)計(jì)的控制器存在加性攝動(dòng)時(shí)魯棒非脆弱控制器存在的條件。該控制器能夠保證閉環(huán)切換系統(tǒng)在任意切換律下漸近穩(wěn)定。然后應(yīng)用線性矩陣不等式將魯棒非脆弱控制器的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一組線性矩陣不等式的可行解問題，從而可借助Matlab中的LMI工具箱直接求解。最后通過仿真算例驗(yàn)證所提方法的有效性。關(guān)鍵詞:切換系統(tǒng); 公共Lyapunov函數(shù); 非脆弱控制; Matlab

中圖分類號(hào):TN919-34文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2010)18-0197-03

Design of Non-fragile Controller for a Class of Uncertain Switched Linear System

LI Chun-Juan，HE Yong

(Department of Electrical Engineering and Automation， Luoyang Institute of Science and Technology， Luoyang 471023， China)

Abstract: Based on the common Lyapunov function， a condition for the existence of non-fragile hybrid state-feedback controller is given according to a class of uncertain switched linear system. This controller can guarantee the linear closed-loop switched system stable asymptotically for all arbitrary uncertainties. The design of non-fragile controller can be converted into a feasible problem of certain LMI system with the linear matrix inequalities (LMI) approach. The solution of non-fragile controller can be efficiently obtained with the MATLAB toolbox. Finally， a simulation example shows the effectiveness of the proposed approaches. Keywords: switched system; common Lyapunov function; non-fragile control; Matlab

0 引 言

近年來(lái)，切換系統(tǒng)以其廣泛的應(yīng)用背景和重要的理論價(jià)值受到越來(lái)越多的關(guān)注[1-2]。切換系統(tǒng)是混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的一個(gè)重要類型，它由一組連續(xù)微分方程描述的子系統(tǒng)以及作用在其間的切換律所構(gòu)成。這種控制系統(tǒng)在許多實(shí)際工程中經(jīng)常遇到，如電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的切換，某些機(jī)器人控制系統(tǒng)等。目前切換系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)主要集中在系統(tǒng)的穩(wěn)定性、優(yōu)化設(shè)計(jì)、魯棒性三類問題的單獨(dú)研究和綜合研究上[3-6]。

在實(shí)際工程中，由于硬件、軟件等原因，控制器的實(shí)現(xiàn)存在著一定的控制器參數(shù)變化，這種不確定性將導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)性能下降，甚至破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此時(shí)采用傳統(tǒng)的魯棒控制方法，將表現(xiàn)出高度的脆弱性。因此，對(duì)于非脆弱控制問題的研究將具有重要的實(shí)際意義[7]。由于切換系統(tǒng)的連續(xù)動(dòng)態(tài)和離散動(dòng)態(tài)同時(shí)存在，對(duì)于切換系統(tǒng)的非脆弱控制相對(duì)要復(fù)雜和困難。文獻(xiàn)[8]分別用多Lyapunov函數(shù)和平均駐留時(shí)間的方法給出了切換系統(tǒng)非脆弱狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件，但所設(shè)計(jì)的控制器只有在特定的切換律下才能鎮(zhèn)定原系統(tǒng)。

本文研究了一類線性不確定切換系統(tǒng)的非脆弱控制問題。當(dāng)控制器存在加性攝動(dòng)時(shí)，利用公共Lyapunov函數(shù)的方法，給出了切換系統(tǒng)非脆弱控制器存在的條件，并通過Schur補(bǔ)性質(zhì)和變量替代法將控制器的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的可行解問題。用本問所提方法設(shè)計(jì)的非脆弱控制器能保證閉環(huán)切換系統(tǒng)在任意切換律下都能穩(wěn)定。最后用仿真結(jié)果驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 問題描述與預(yù)備知識(shí)

考慮如下一類線性不確定切換系統(tǒng):

=(Ai+ΔAi)x+Biui(1)

式中:x∈Rn是狀態(tài);ui是控制輸入;σ(t):[0，+∞)→M={0，+∞}是切換信號(hào)，它是一個(gè)依賴于時(shí)間t和狀態(tài)x的分段常值函數(shù);Ai和Bi是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣;ΔAi(#8226;)是不確定實(shí)值矩陣函數(shù)，且具有如下形式:

ΔAi(t)=DiF1i(t)Ei(2)

式中:Di和Ei是具有適當(dāng)維數(shù)的已知常值矩陣;F1i(t)是未知矩陣函數(shù)，且滿足:

[F1i(t)]TF1i(t)≤I(3)

對(duì)于給定的不確定切換系統(tǒng)(1)，當(dāng)控制器參數(shù)存在攝動(dòng)時(shí)，本文考慮如下形式的狀態(tài)反饋控制器:

ui=(Ki+ΔKi)x(4)

式中:Ki為控制器增益;ΔKi為控制器增益攝動(dòng)。假設(shè)控制器增益攝動(dòng)滿足如下形式[6]:

ΔKi=HiF2i(t)Gi(5)

式中:[F2i(t)]TF2i(t)≤I， i∈M。

對(duì)于切換系統(tǒng)(1)，本文要解決的問題是:設(shè)計(jì)非脆弱狀態(tài)反饋控制器，使得系統(tǒng)(1)對(duì)于所有可能的不確定性漸近穩(wěn)定。此時(shí)，包含控制器參數(shù)不確定性的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:

=(Aci+ΔAci)x(6)

式中:Aci=Ai+BiKi，ΔAci=DiFi(t)Ei+

BiHiF2i(t)Gi。

2 主要結(jié)果

引理1 給定適當(dāng)維數(shù)矩陣Y，D和E，其中Y是對(duì)稱矩陣，則Y+DFE+ETFTDT<0對(duì)所有滿足FTF≤I的矩陣F成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)ε>0，使得Y+εDDT+ε-1ETE<0。

定理1 對(duì)不確定線性閉環(huán)切換系統(tǒng)(6)，如果存在正定矩陣P，使得以下矩陣不等式組:

(Aci+ΔAci)TP+P(Aci+ΔAci)<0(7)

i∈M成立，則閉環(huán)切換系統(tǒng)(6)在任意切換律σ下漸近穩(wěn)定。證明:取Lyapunov函數(shù)V(x)=xTPx，則在任意切換律σ下:

(x)=TPx+xTP=

xT(Aci+ΔAci)TPx+xTP(Aci+ΔAci)x=

xT[(Aci+ΔAci)TP+P(Aci+ΔAci)]x

由式(7)知閉環(huán)系統(tǒng)(6)穩(wěn)定。

下面通過變量替換和Schur補(bǔ)性質(zhì)[7]，得出與定理1等價(jià)的LMIs形式:

定理2 存在正定矩陣P和Ki，使得對(duì)所有允許的不確定矩陣F1i(t)，F(xiàn)2i(t)，i∈M，矩陣不等式(7)成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在ε1i>0，ε2i>0，矩陣Wi和正定矩陣X，使得:

Φi(GiX)T(EiX)T

GiX-ε2iI0

EiX0-ε1iI<0

其中:Φi=AiX+(AiX)T+BiWi+(BiWi)T+ε2iBiHiHTiBTi+ε1iDiDTi。

證明:將(7)式展開有:

ATiP+PAi+PDiFi(t)Ei+[PDiFi(t)Ei]T+

PBiKi+(PBiKi)T+PBiHiF2i(t)Gi+

(PBiHiF2i(t)Gi)T<0

給上面不等式兩端同時(shí)左、右乘P-1，同時(shí)令P-1=X，KiX=Wi，則上式可簡(jiǎn)化為:

AiX+(AiX)T+DiFi(t)EiX+[DiFi(t)EiX]T+

BiWi+(BiWi)T+BiHiF2i(t)GiX+

(BiHiF2i(t)GiX)T<0

由引理1，有:

AiX+(AiX)T+DiFi(t)EiX+[DiFi(t)EiX]T+

BiWi+(BiWi)T+ε2iBiHiHTiBTi+

ε-12i(GiX)T(GiX)<0

令Γi=AiX+(AiX)T+DiFi(t)EiX+(DiFi(t)EiX)T+BiWi+(BiWi)T+ε2iBiHiHTiBTi，則由Schur補(bǔ)性質(zhì)，上式可簡(jiǎn)化為 Γi(GiX)T

GiX-ε2iI<0

令Ωi=AiX+(AiX)T+BiWi+(BiWi)T+ε2iBiHiHTiBTi，則上式可化為:

Γi(GiX)T

GiX-ε2iI=Ωi(GiX)T

GiX-ε2iI+

DiFi(t)EiX0

00+(DiFi(t)EiX)T0

00<0

即:

Ωi(GiX)T

GiX-ε2iI+DiFi(t)EiX0

00+

DiFi(t)EiX0

00T<0

又:

DiFi(t)EiX0

00=Di

0Fi(t)[EiX 0]

故上式可化為:

Ωi(GiX)T

GiX-ε2iI+Di

0Fi(t)[EiX 0]+

Di

0Fi(t)[EiX 0]T<0

由引理1知，上式可寫為:Ωi(GiX)T

GiX-ε2iI+ε1iDi

0(Di

0)T+ε-11i[EiX 0]T[Ei X 0]<0

即:

Ωi+ε1iDiDTi(GiX)T

GiX-ε2iI+ε-11i[EiX 0]

[EiX 0]T<0

令Φi=Ωi+ε1iDiDTi，由Schur補(bǔ)性質(zhì)即得出:

Φi(GiX)T(EiX)T

GiX-ε2iI0

EiX0-ε1iI<0

故原命題得證。

3 仿真算例

考慮如下線性不確定切換系統(tǒng):

=(Ai+ΔAi)x+Biui，i=1，2

其中，

A1=-0.7-0.6

00.2，A2=-0.3-0.6

00.33，

B1=10

01，B2=0.80

00.5，

D1=D2=0.50

00.5，E1=E2=00.3

0.50，

F11(t)=F12(t)=sin t

假設(shè)控制器增益具有加性攝動(dòng)，即ΔKi=HiF2i(t)Gi，其中G1=G2=0.20

00.2，F(xiàn)21(t)=F22(t)=sin t，H1=H2=0.1，取初始點(diǎn)x(0)=(-1 2)T。由于本方法所設(shè)計(jì)的非脆弱控制器是在任意切換規(guī)則下保證閉環(huán)切換系統(tǒng)穩(wěn)定，故切換律σ(t)不妨周期性地選擇由子系統(tǒng)(1)運(yùn)行1 s，子系統(tǒng)(2)運(yùn)行1 s，切換信號(hào)如圖1所示，切換系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖1 切換信號(hào)圖

從圖2可以看出，由2個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成的切換系統(tǒng)，采用本文方法設(shè)計(jì)的非脆弱控制器，能夠使系統(tǒng)在任意切換律下能快速收斂并進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，從而驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文考慮了一類線性不確定切換系統(tǒng)的非脆弱控制器的設(shè)計(jì)問題。針對(duì)實(shí)際工程中控制器本身的不確定性，利用公共Lyapunov函數(shù)的方法給出了非脆弱狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)，使得閉環(huán)切換系統(tǒng)對(duì)所有可能的不確定性在任意切換律下都是漸近穩(wěn)定的。該方法通過運(yùn)用Matlab工具箱中的LMI求解器能直接得到切換系統(tǒng)的非脆弱控制器。

圖2 切換系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)圖

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