基于龍格-庫(kù)塔算法對(duì)降落傘空投的研究

摘 要:以降落傘空投系統(tǒng)中的降落傘拉直和充氣過(guò)程以及物傘系統(tǒng)的穩(wěn)定降落過(guò)程為研究目標(biāo)，采用動(dòng)力學(xué)分析法建立了物傘空投系統(tǒng)完整的運(yùn)動(dòng)模型，提出了多吊帶系統(tǒng)分析和物傘系統(tǒng)夾角變化的新方法。根據(jù)已有的降落傘性能計(jì)算模型和物傘系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型，采用龍格-庫(kù)塔法對(duì)降落傘空投全過(guò)程進(jìn)行了仿真。通過(guò)參數(shù)調(diào)試來(lái)分析空投高度﹑降落傘的名義面積等因素對(duì)降落傘空投系統(tǒng)的影響，指出了實(shí)際系統(tǒng)的改進(jìn)方向，為降落傘空投系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞:降落傘空投; 運(yùn)動(dòng)模型; 龍格-庫(kù)塔法; 計(jì)算機(jī)仿真

中圖分類(lèi)號(hào):TN911.7; TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2010)14-0124-03

Research for Parachute Airdrop Based on Runge-Kutta Algorithm

WANG Jing-zhi， CHEN Hong-lin

(Department of Electronics and Information， Northwestern Polytechnic University， Xi’an 710129， China)

Abstract: Focused on the parachute deployment and inflation， and the trajectory of cargo parachute system in the parachute airdrop system， the trajectory model of cargo parachute system was built with the dynamics method. The analytic method of the multi-sling system and angle between the cargo and parachute system is proposed. The process of the parachute airdrop was simulated with Runge-Kutta algorithm on the basis of parachute performance model and carge parachute system trajectory model. With the analysis of the effect of everal factors concerned with the airdrop such as height of airdrop and parachute resistance coefficient on the parachute airdrop system. The improvement direction of the available actual systems is pointed out which provides a theoretic base for the design of cargo parachute airdrop system.

Keywords: parachute airdrop; trajectory model; Runge-Kutta algorithm; computerized simulation

2008年我國(guó)大型飛機(jī)項(xiàng)目正式立項(xiàng)，大型飛機(jī)項(xiàng)目是一個(gè)國(guó)家工業(yè)、科技水平和綜合實(shí)力的集中體現(xiàn)，對(duì)增強(qiáng)中國(guó)的綜合國(guó)力、科技實(shí)力和國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力，使中國(guó)早日實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代化具有極為重要的意義。由于載機(jī)的載重、貨艙尺寸和接口關(guān)系不同，與其相適應(yīng)的各型空投系統(tǒng)就有很大不同。因此，在載機(jī)研發(fā)的同時(shí)，需要發(fā)展空投系統(tǒng)和精確空投技術(shù)。空投是指利用降落傘將人員和物資投送到指定地點(diǎn)的一種技術(shù)，是部隊(duì)投送彈藥裝備等物資補(bǔ)給和兵力部署的重要手段。

空投系統(tǒng)的研制必須全面考察系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性以保障空投過(guò)程的安全。一般研究手段包括投放試驗(yàn)、風(fēng)洞試驗(yàn)和數(shù)字仿真等。國(guó)內(nèi)外對(duì)于各種降落傘空投系統(tǒng)[1] 開(kāi)展了很多研究，建立了不同復(fù)雜程度的計(jì)算模型，但是沒(méi)有對(duì)降落傘的開(kāi)傘以及附加質(zhì)量等問(wèn)題進(jìn)行分析研究，這些是精確空投系統(tǒng)仿真必須考慮的關(guān)鍵問(wèn)題。為此，本文將降落傘空投過(guò)程進(jìn)行了全面的系統(tǒng)過(guò)程建模和仿真分析。

降落傘性能計(jì)算方法包括基于試驗(yàn)的分析和基于計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)、計(jì)算流體力學(xué)及流固耦合的數(shù)值模擬。但是由于算法和計(jì)算能力的限制，數(shù)值模擬方法在現(xiàn)階段僅限于研究部分特殊問(wèn)題。因此本文的降落傘性能計(jì)算采用由試驗(yàn)獲取的經(jīng)驗(yàn)公式。

1 降落傘空投工作過(guò)程

本文分析的空投系統(tǒng)采用自動(dòng)開(kāi)啟降落傘[2-3]的空投方法。在裝有貨物的平臺(tái)離機(jī)瞬間，啟動(dòng)自動(dòng)開(kāi)傘裝置，降落傘開(kāi)始充氣。當(dāng)降落傘充氣到一定程度時(shí)，收口繩受力，使降落傘第一次充氣呈“燈泡”狀，以減小降落傘的開(kāi)傘動(dòng)載，延時(shí)數(shù)秒后，切割器將收口繩切斷。降落傘完全張開(kāi)并穩(wěn)定下降直至著陸。

2 降落傘充滿(mǎn)時(shí)間計(jì)算[4]

假設(shè):在充氣過(guò)程中，空氣密度不變;在充氣過(guò)程中，傘衣阻力系數(shù)不變;在充氣過(guò)程中，傘衣有效透氣量不變。

(1) 降落傘收口充氣階段。

由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得，降落傘的充滿(mǎn)時(shí)間與拉直速度成反比。同時(shí)，降落傘越大，充滿(mǎn)時(shí)間越長(zhǎng)。由此可以得出降落傘充滿(mǎn)時(shí)間的—般經(jīng)驗(yàn)公式:

tm1=(kD0)/vnL (1)

式中:vL為拉直速度，即空投時(shí)飛機(jī)的速度;D0為傘衣名義直徑;k，n為由測(cè)量數(shù)據(jù)推算所得的系數(shù)，對(duì)于平面圓形傘k=8，n=0.9。

(2) 降落傘保持收口階段。

這個(gè)階段的時(shí)間tm2，通常在時(shí)序中預(yù)先設(shè)置好，本文中tm2=2 s。

(3) 降落傘第二次充氣階段。

這個(gè)階段的充氣時(shí)間為:

tm3=(kD0)/v(2)

式中:v為解除收口時(shí)系統(tǒng)的速度。

故降落傘充滿(mǎn)時(shí)間tm為:

tm=tm1+tm2+tm3(3)

3 降落傘附加質(zhì)量[4]

把降落傘的附加質(zhì)量分成兩部分進(jìn)行計(jì)算:傘衣內(nèi)含質(zhì)量Mn;傘衣表觀質(zhì)量Mb。

(1) 傘衣內(nèi)含質(zhì)量Mn即傘衣內(nèi)所包含的空氣質(zhì)量，計(jì)算公式為:

Mn=ρHV=2ρHD303π21.058-(T-1.31)21.62 (4)

ρH=ρ0(1-H/44 330)4.265(5)

式中:V為傘衣內(nèi)的容積，ρH為在H高度時(shí)空氣的密度，ρ0=1.225 kg/m3，T=t/tm，D0為傘衣名義直徑。

(2) 傘衣表觀質(zhì)量Mb，它只在做不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)才體現(xiàn)出來(lái)，計(jì)算公式為:

Mb=0.25πD30π3T32ρHT=ρHD304π2T52 (6)

故物傘系統(tǒng)的總質(zhì)量M為:

M=Mn+Mb+Ms+Mw(7)

式中:Ms為降落傘本身的質(zhì)量;Mw為貨物的質(zhì)量。

4 物傘系統(tǒng)計(jì)算模型[5-6]

在地面坐標(biāo)系OXY中建立物傘系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型。原點(diǎn)O選取在貨物平臺(tái)離機(jī)瞬間的貨物平臺(tái)質(zhì)心在地面上的投影位置;OY軸沿重力方向指向下;OX軸垂直于OY軸指向物傘系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方向。

假設(shè)條件:降落傘和貨物之間的連接吊帶考慮成剛性輕質(zhì)桿;降落傘是軸對(duì)稱(chēng)的，傘衣完全充滿(mǎn)后具有固定的形狀;由于降落傘運(yùn)動(dòng)的非定常性而引起的氣動(dòng)力或力矩的增量部分用附加質(zhì)量來(lái)表示;只考慮傘衣產(chǎn)生的氣動(dòng)力，并且認(rèn)為傘衣的氣動(dòng)壓心與其幾何中心相重合。

本文分析的空投系統(tǒng)采用四吊帶的連接方式。如圖1所示，圖中貨物質(zhì)心為O;連接繩上端與降落傘系統(tǒng)連接點(diǎn)為A;下端點(diǎn)B與4根分吊帶Oi(i=1，2，3，4)相連;連接繩AB的延長(zhǎng)線(xiàn)與貨物相交于C點(diǎn)，物傘系統(tǒng)夾角(降落傘傘軸線(xiàn)與貨物軸線(xiàn)之間夾角)為δ。

圖1 物傘系統(tǒng)示意圖

利用C點(diǎn)的位置來(lái)判斷各吊帶的受力形式以及物傘系統(tǒng)夾角δ的變化:

當(dāng)C點(diǎn)落在OOi(i=1，2，3，4)上時(shí)，吊帶BOi受力，其他吊帶松弛;

當(dāng)C點(diǎn)落在三角形OOiOj以及邊OiOj(i，j=1，2，3，4)上時(shí)，吊帶BOi，BOi受力，其他吊帶松弛;

當(dāng)C點(diǎn)和O點(diǎn)重合時(shí)，所有吊帶均受力，δ=0。

物傘系統(tǒng)在空投過(guò)程中受2個(gè)力的作用:重力G，降落傘的阻力F。

G=Mg(8)

在傘衣充氣和拉直階段降落傘的阻力F為:

F=CD12ρHv2π4 D0ttm 2(9)

式中:CD為阻力系數(shù);v為物傘系統(tǒng)速度。當(dāng)t=tm時(shí)傘衣完全充滿(mǎn)，物傘系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定降落階段。

在穩(wěn)定降落階段降落傘的阻力F為:

F=CD12ρHv2A0(10)

式中:A0為降落傘名義面積:A0=π4D20。

物傘系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為:

f(X，t)=dXdt=v0cos θ0-∫t0Fcos θMdt

f(Y，t)=dYdt=v0sin θ0+∫t0Mg-Fsin θMdt

f(δ，t)=dδdt=δ0-∫t0MgLAOcos θIZdt(11)

θ=arctan[ f(Y，t)/f(X，t)] (12)

式中:相對(duì)質(zhì)心轉(zhuǎn)矩IZ;LAO為A點(diǎn)到O點(diǎn)的直線(xiàn)距離。

式(11)為物傘系統(tǒng)的基本運(yùn)動(dòng)方程。可以看出這是一些非線(xiàn)性的運(yùn)動(dòng)微分方程。在通常情況下，這組微分方程只能通過(guò)數(shù)值計(jì)算求解，所得的結(jié)果為一系列離散的數(shù)據(jù)。

5 系統(tǒng)仿真結(jié)果及分析

根據(jù)前面建立的降落傘性能計(jì)算模型和物傘系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型，應(yīng)用Matlab仿真技術(shù)[7]，采用龍格-庫(kù)塔算法對(duì)物傘系統(tǒng)在傘衣充氣和拉直階段與穩(wěn)定降落階段全過(guò)程進(jìn)行仿真[8]。

5.1 龍格-庫(kù)塔算法介紹[9]

假定微分方程:

dydx=f(x，y)(13)

及初始條件:

y(x0)=y0 (14)

其迭代格公式為:

yn+1=yn+(1/6)(K1+2K2+2K3+K4)

K1=hf(xn，yn)

K2=hf(xn+h/2，yn+K1/2)

K3=hf(xn+h/2，yn+K2/2)

K4=hf(xn+h，yn+K3) (15)

龍格-庫(kù)塔法的主要優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算精度高，式(15)的截?cái)嗾`差為O(h5)，仿真時(shí)步長(zhǎng)選取:h=0.01。

5.2 仿真流程與結(jié)果

設(shè)參數(shù)及初始條件:Mw=2 000 kg;v0=200 m/s;θ0=90°;LA0=10 m;CD=0.873，初始充氣時(shí)間t1=0;穩(wěn)定降落段初始時(shí)間t2=0。系統(tǒng)仿真流程如圖2所示，仿真結(jié)果如圖3~圖5所示。

圖2 系統(tǒng)仿真流程圖

圖3 空投高度和降落傘名義面積對(duì)空投距離的影響

圖4 空投高度和降落傘名義面積對(duì)空投時(shí)間的影響

圖5 物傘系統(tǒng)夾角隨空投時(shí)間變化

6 結(jié) 語(yǔ)

由仿真結(jié)果得:空投距離隨的空投高度增加而增加，相對(duì)應(yīng)高度的增加量來(lái)看，高度的增加對(duì)投放距離的影響明顯，空投高度對(duì)空投時(shí)間影響不大，因此空投高度的增加可以實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離空投。在選擇降落傘時(shí)，應(yīng)在條件許可的情況下，應(yīng)選擇名義面積較小的降落傘，這樣不僅能夠增加空投距離，還能減少貨物在空中降落所需的時(shí)間，較大程度的保證運(yùn)輸機(jī)和貨物的安全。物傘系統(tǒng)夾角隨空投時(shí)間近似呈阻尼變化，最后系統(tǒng)穩(wěn)定降落。龍格-庫(kù)塔算法計(jì)算精度較高，能滿(mǎn)足通常的計(jì)算要求;每次計(jì)算yn+1，只用到前一步的計(jì)算結(jié)果yn。因此，在已知y0的條件下，就可以自動(dòng)地進(jìn)行計(jì)算，并且計(jì)算過(guò)程中改變步長(zhǎng)不受限制。

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