VLSI金屬互連線電遷移噪聲檢測敏感性的逾滲模擬

摘 要:在電遷移物理機制的基礎上結合逾滲理論，建立了一種金屬互連線電遷移的逾滲模型。基于該模型，采用蒙特卡羅方法模擬了超大規模集成電路(VLSI)金屬互連線電遷移過程中電阻和低頻噪聲參數的變化規律。結果表明，與傳統的電阻測量方法相比，低頻噪聲表征方法對電遷移損傷更敏感，檢測的效率更高。該研究結果為低頻噪聲表征VLSI金屬互連線電遷移損傷的檢測方法提供了理論依據。

關鍵詞:電遷移; LF噪聲; 逾滲模擬; 敏感性

中圖分類號:TN47 文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)14-0186-04

Characterize Electromigration of VLSI Metal Interconnects

LI Yu-bo1， MA Zhong-fa2， ZHANG Peng2

(1. Airforce Engineering University， Xi’an 710051， China; 2. Xidian University， Xi’an 710071， China)

Abstract: A percolation model for electromigration of metal interconnects was built on the basis of electromigration physical mechanism and percolation theory. Based on the model， the evolutions of resistance and low-frequency noise paramaters during electromigation of VLSI metal interconnects were simulated with Monte Carlo method. The results show that the low-frequency noise characterization method is more sensitive and more efficient in comparison with the traditional method of resistance measurement for electromigration damage. A theory basis is provided for the detecting method to characterize the electromigration damage of VLSI interconnects by low-frequency noise.

Keywords: electromigration; LF noise; percolation simulation; sensitivity

0 引 言

互連線電遷移是VLSI電路最重要的失效機理之一[1]，隨著VLSI技術的不斷發展，電路集成度不斷提高，特征尺寸不斷減小，流過互連線橫截面的電流密度急劇增大，使得電遷移失效問題更為突出。為了可靠性工程的應用，新型的VLSI互連線電遷移損傷的表征技術就變得越來越重要了[1]。

以往研究主要是通過壽命試驗[2]或者是電阻測量[3]來表征電遷移。已經通過實驗證實了互連線中空洞的形狀、大小與電阻變化的關系[3]，并發展出了多種測量金屬互連線電遷移早期電阻變化的技術[3]。其中最先進的就是高分辨率電阻測量(HRRM)方法[4]。這種方法可以在較短時間內獲取關于互連線電遷移的信息，并對互連線中期失效時間(MTF)做出預測。但由于HRRM方法測試條件苛刻，設備復雜，要求精度高，因此妨礙了它的廣泛應用。而且這種方法具有破壞性，不能用于內建可靠性的SPC工藝控制過程中。

研究發現，互連線初始電阻低頻噪聲幅度與其壽命存在反比關系[5-6]。隨著互連線電遷移損傷程度的不斷加深，1/fγ噪聲參數會出現較大變化，其中功率譜幅度急劇增大，頻率指數γ從1增大到2[5-6]。這些實驗現象都表明，1/fγ噪聲測量極有可能成為一種敏感的互連線電遷移的有效監測手段。而且與傳統的HRRM相比，低頻噪聲表征方法具有速度快、非破壞、設備簡單等優點，因此引起了人們的廣泛興趣。

比較HRRM方法和低頻噪聲表征方法，判斷哪種方法在表征電遷移損傷方面更敏感，首先要判斷2種檢測方法的敏感對象是否就是電遷移所引起的損傷，其次就是要比較2種表征方法的相對敏感性問題。

對電遷移過程中電阻的變化，一般認為有2個原因[3]，其一是由于金屬條自加熱效應所引起的電阻增大，這個過程主要發生在實驗的開始階段，等系統達到熱平衡以后，這種變化趨于穩定;其二是由于電遷移過程所產生的空洞引起的電阻增大，這一部分的變化能真實反映電遷移損傷的情況。對于低頻噪聲，大家一般都認為，金屬薄膜中的1/fγ噪聲起源于金屬互連線中雜質或缺陷的隨機運動[7]，這些隨機運動會改變它們的散射截面，從而引起被散射載流子運動的漲落。隨著電遷移損傷程度的增大，金屬中的缺陷濃度也會不斷增大，低頻噪聲參數也會因此而產生變化。

本文在深入了解電遷移和噪聲產生物理機制的基礎上，結合逾滲理論[8]，建立了電遷移過程的偏置逾滲模型和噪聲產生的隨機擴散逾滲模型。并在二維隨機電阻網絡上模擬了Al基互連線的電遷移過程，計算了電遷移過程中互連線電阻和電遷移噪聲參數的變化趨勢。通過對實驗結果比較，發現低頻噪聲參數變化對電遷移損傷更敏感。它有望作為一種更敏感的新型電遷移損傷檢測方法。

1 電遷移的逾滲模型

電遷移是互連線中金屬離子在電子風力的作用下，產生的質量輸運過程[9]。當電流流過互連線時，其中的金屬離子會受到電場力和電子碰撞力的同時作用。在這種作用下，金屬離子可能離開平衡位置，產生空位。隨著空位濃度的增大，會出現空位成團效應，產生較大體積的空洞。這樣互連線會出現電阻急劇增大或者斷路現象。

逾滲理論是處理幾何相變問題強有力的工具，根據逾滲理論，將金屬薄膜中對電遷移起主導作用的一塊面積等效成N×N的二維隨機電阻網格。如圖1所示，把互連線的導電問題等效成一個幾何連接性問題，整個網格的總電阻數為Nt=2N2，每個單元電阻的初始阻值為r0。在電遷移過程中，產生一個空位即等效為電阻網絡中產生一個阻值為R的缺陷電阻。其中，Rr0。

圖1 Al膜等效成的隨機電阻網絡

在環境溫度T0，給網絡加上恒流偏置I，這時網絡將發生電遷移。在電遷移過程中，每個單元電阻的阻值隨其所處格點位置的溫度變化而變化:

rn(Tn)=r0[1+α(Tn-T0)] (1)

式中:rn(Tn)為第n個格點位置溫度為Tn時的電阻值。由于金屬薄膜的自加熱效應，第n個格點位置的溫度受3個因素影響，即環境溫度T0、電阻的自加熱以及與相鄰電阻之間的熱交換，因此:

Tn=T0+A[rni2n+BN∑Nm=1(rm，ni2m，n-rni2n)](2)

式中:A，B為常數;N為與第n個格點單元電阻的最近鄰電阻數;in為流過rn的電流。根據電遷移機理，這時第n個電阻處產生一個非導電缺陷的概率為:

WD=exp[ (-ED+Hin)/kBTn](3)

式中:ED為不存在電流作用時，缺陷產生的特征激活能;H為一個與材料、微觀結構、空洞特征尺寸有關的常數;in為流過第n個電阻的電流;kB為波爾茲曼常數。缺陷一旦產生，將會由于機械應力作用以及原子的熱運動而復合，使該空位重新被填充，位置恢復到原來的狀態。缺陷復合的概率為:

WR=exp[ ER/(kBTn)](4)

式中:ER為缺陷復合的特征激活能，由于這個復合過程主要是由于機械應力和原子熱運動驅動，所以特征激活能是一個與微觀結構有關的常數。

通過以上的迭代過程，就可以得到每次循環后網絡的電阻分布。應用傳輸矩陣方法，可以計算得到網絡的總電阻RZ。通過多次循環，就可以計算得出RZ隨著電遷移過程的變化曲線。

2 噪聲模型

金屬薄膜中的1/fγ噪聲起源于金屬互連線中雜質或缺陷的隨機運動。在電遷移過程中，金屬離子在電子風作用下會離開平衡位置產生空位。這些空位形成的散射中心會隨機運動，隨機改變散射截面，引起被散射載流子運動的漲落，從而產生1/fγ噪聲。

通過電遷移損傷過程的模擬，就可以得到不同損傷時刻，互連線中缺陷的濃度和分布。這樣通過以下的噪聲模型，就可以模擬得到電遷移噪聲。

在電遷移過程中，隨著缺陷的產生，電阻網絡中出現2種電阻。一種是常規電阻，另一種是缺陷。金屬薄膜中的1/fγ噪聲起源于金屬互連線中雜質或缺陷的隨機運動，這些隨機運動會改變它們的散射截面，從而引起被散射載流子運動的漲落。在隨機電阻網絡中，將空位的隨機運動等效為以下過程。對于隨機電阻網絡中的每一個缺陷，每隔一個時間段τ0，都按照概率與相鄰電阻交換位置。缺陷一旦移動到某一位置，將在該處的停留τ=τ0eEkB的時間[6]，其中E為該處缺陷離開該位置的激活能，τ0是一個時間常數，與晶格振動頻率的倒數有關。

對于一個缺陷濃度和分布一定的網絡，按照以下算法計算電阻噪聲:首先計算計算網絡的總電導G0。然后每隔一個時間段τ0，讓缺陷進行一次隨機運動。接著計算缺陷隨機運動以后的網絡的總電導Gn。這時網絡電導凈漲落ΔGn=Gn-G0。重復該過程100 000次，就可以得到互連線電導漲落ΔG的時間序列。對該時間序列進行傅里葉變換，就得到了噪聲功率譜，再通過曲線擬合可得到頻率指數。這樣就可以求得電遷移過程重任一時刻的噪聲功率譜極其參數。

3 模擬結果與分析

根據以上模型，應用蒙特卡羅方法對電遷移過程進行模擬。每執行100個循環的損傷過程加以模擬，計算一次網絡總電導，同時用該時刻得到的電遷移損傷網絡進行1次電阻噪聲模擬。這樣就可以得到電遷移損傷不同時刻的網絡總電導以及噪聲時間序列。并由此計算出噪聲的功率譜幅度和頻率因子。

根據Al互連線的相關特性，模擬過程中各常數取值如下[6]:N=100，r0=1 Ω，R=100 000 Ω，α=10-3 K-1，T0=300 K，A=5×105 K/W，B=3/4，N=6，I=1.8 A，H=0.003 5 eV/A，ED/kB=2 000 K，ER/kB=2 500 K。為了消除數值計算誤差和不確定性，在模擬過程中，計算的每一個量都重復進行30次，并取平均值作為最終結果。

圖2所示為模擬得到的電遷移過程中電阻相對變化曲線。

圖2 電遷移過程中電阻變化率曲線

從圖2中可以看出，隨著電遷移應力時間的增加(模擬中以循環次數來表示)，金屬互連線的電阻不斷增大。從微觀機理上講[3]，這是因為隨著電遷移的不斷進行，金屬互連線中不斷產生空位，空位的出現會在金屬晶格中增加相應的勢壘，對導電電子產生散射作用。空位濃度越大，散射作用越強。隨著應力時間的增加，金屬互連線中的空位濃度也不斷增大，從而導致互連線電阻不斷增大。從宏觀上來講，隨著電遷移的不斷進行，在金屬條中空洞的濃度不斷增大，減少了金屬條的有效導電橫截面積，使電阻不斷增大。從逾滲理論的角度來說電遷移過程中在電阻網絡局部出現絕緣性的缺陷電阻，隨著電遷移的不斷進行，電阻網絡中缺陷電阻濃度不斷增大，致使導電電阻產生逾滲的幾率不斷下降，使缺陷電阻產生的不導電逾滲幾率不斷增加，最終導致系統的電導性能下降，電阻增大。

由于低頻1/fγ噪聲對電遷移損傷很敏感，因此選取3 Hz下的點頻噪聲功率譜作為研究對象。圖3所示為模擬得到的點頻噪聲功率譜幅度的變化曲線。從圖3中可以看出，隨著電遷移應力時間增加，點頻噪聲功率譜也不斷增大。而且其變化范圍很大，在10-9～10-4之間。金屬薄膜中的1/fγ噪聲起源于金屬互連線中缺陷的隨機運動[4]，隨著電遷移的發展，金屬條中的缺陷濃度不斷增大，缺陷總的隨機運動也不斷增強，從而被散射載流子運動的漲落也不斷增強，此時的點頻噪聲功率譜幅度不斷增大。

圖3 噪聲點頻功率譜幅度隨電遷移變化曲線

圖4所示為電阻和點頻噪聲功率譜幅度相對變化的比較。其中矩形點曲線為點頻噪聲功率譜密度變化曲線，橢圓形點曲線為電阻相對變化曲線。從圖中可以看出，隨著電遷移的進行，點頻噪聲功率譜密度和電阻變化率都都不斷增大。但是其在變化幅度上相差很大，電阻變化率的變化在一個數量級以內，相對變化量約為4%;而點頻噪聲功率普密度的變化超過3個數量級，從10-9數量級增大到10-5數量級。而噪聲點頻功率譜的變化量為電阻相對變化量的105倍以上。這說明在電遷移過程中，對于電遷移引起的缺陷，點頻噪聲功率譜密度的變化要遠遠敏感于電阻的變化。加之電阻變化測試條件苛刻，設備復雜，要求精度高，而低頻噪聲測量方法具有速度快、非破壞性和設備簡單等優點，因此是一種極具潛力的金屬互連線電遷移損傷檢測方法。

圖4 點遷移過程中電阻與點頻噪聲功率譜幅度相對變化的比較

4 結 語

本文在深入了解電遷移和噪聲產生物理機制的基礎上，結合逾滲理論，建立了電遷移過程的偏置逾滲模型和噪聲產生的隨機擴散逾滲模型。并在二維隨機電阻網絡上模擬了Al基互連線的電遷移過程，計算了電遷移過程中互連線電阻和電遷移噪聲參數的變化趨勢。發現隨著電遷移應力時間的增加，互連線電阻和點頻噪聲功率譜密度都不斷增大，前者的相對變化在一個數量級以內，變化量約為4%，而后者的相對變化超量過3個數量級，從10-9數量級增大到10-5數量級，是前者相對變化量的105倍以上。加之電阻變化測試條件苛刻，設備復雜，要求精度高，而低頻噪聲測量方法具有速度快、非破壞性和設備簡單等優點，因此是一種極具潛力的金屬互連線電遷移損傷檢測方法。

參考文獻

[1]OATES Anthony S. Electromigration failure of contacts and vias in sub-micron integrated circuit metallizations[J]. Microelectronics and Reliability. 1996， 36(7): 925-953.

[2]KAZUHIKO S， KAZUSHI N， HIROYUKI K. Experimental verification of prediction method for electromigration failure[ J] . Polycrystalline Lines， 2000(4):72-78.

[3]JONATHAN C D， JOHN C B. The evolution of the resistance of aluminum interconnects during electromigration[ J] . Microelectronics Reliability， 2000， 40(6): 981-990.

[4]莊奕琪.微電子應用可靠性技術[M].北京:電子工業出版社，1996.

[5]馬仲發，莊奕琪，杜磊.柵氧化層擊穿的統一逾滲模型[J].西安電子科技大學學報，2004(1):54-58.

[6]MA Z F， ZHUANG Y Q， DU L， et al. A percolation study of RTS noise in deep sub-micron MOSFET by Monte Carlo simulation[ J] . Chinese Physics， 2005， 14(4): 808-811.

[7]LABIE R， WEBERS T， BEYNE E. A modified electromigration test structure for flip chip interconnections[ J] . Components and Packaging Technologies， 2006， 2(3): 508-511.

[8]馬仲發，莊奕琪，杜磊，等.柵氧化層介質經時擊穿的逾滲模型[ J] .物理學報，2003(8):2046-2051.

[9]DANIEL T， POOLE K F， SINGH R， et al. Modeling early failure in integrated circuit interconnect[J]. Microelectronics Reliability， 2000， 40(9): 991-996.