廣義網孔方程建立算法研究

摘 要:為了探究廣義網孔方程建立規范和方法，對含有公共電流源支路電路的網孔方程進行詳細的理論分析，探尋了廣義網孔方程的構成規律，得到了廣義網孔方程的建立算法，該算法具有普適性。在應用網孔分析法分析含有公共電流源支路的電路問題時，在不引入輔助解變量的情況下，利用該算法可快捷地建立起廣義網孔方程，提高了分析和求解效率。由實例證明，廣義網孔方程建立算法是正確的、有效的，是對網孔分析法的一種推廣和完善。

關鍵詞:廣義網孔; 網孔方程; 網孔分析法; 電路分析

中圖分類號:TM13; TN710 文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)08-0154-03

Study on Algorithm of Establishing Generalized Mesh Equation

GAO Hong-yan， DUAN Xu-chao，LIU Fei

(Baoji Universityof Arts Science， Baoji 721007， China)

Abstract:The specifications and methods of establishing the generalized mesh equation are investigated. The mesh equation which includes branch circuits of one public current source is analysed theoretically. to search the build-up law of the generalized mesh equation. The establishment algorithm of the generalized mesh equation which has universality is obtained，The generalized mesh equation can be established quickly by the algorithm， which can improve the efficiency of analysis and resolution when analyzing circuit problems by means of the mesh-analysis method without the introduction of any auxiliary variables. The correctness and effectiveness of the generalized mesh equation establishment algorithm are proved by the example. The mesh-analysis method has been extended and improved.

Keywords:genesalized mesh; mesh equation; mesh-analysis method; circuit analysis method

網孔分析法[1-3]是一種規范且系統的電路分析方法，這種方法的解變量是一組假想的電流量。但是，當電路中存在公共獨立電流源和受控電流源支路時，需要做一些特別的處理，才能完整地應用網孔分析法進行電路分析。這樣做不僅增加了求解變量數和聯立方程數，而且破壞了網孔方法的完整性和系統性。

當電路中含有獨立電流源支路，或者獨立受控電流源支路，且它們被兩個或兩個以上的網孔所共有時，列寫網孔方程，肯定會引入新的輔助變量，或者通過電流的變形使電流源僅屬于某一個網孔。這樣做勢必會為解題增加難度或者增加列寫方程的個數。為此，提出了廣義網孔法，如文獻[4-8]都使用廣義網孔法[9]來解題，從而避免引入附加電路變量，可使所列方程減少，計算簡化。但是它們都沒有闡述廣義網孔方程是如何建立的，以及廣義網孔方程建立的核心思想及步驟。本文具體地闡述了廣義網孔方程建立的算法和步驟，并結合實例進行剖析。

1 廣義網孔方程建立算法[10]

這里討論的是網孔分析法中廣義網孔方程建立方法的問題。廣義網孔指的是含有公共電流源支路的、相毗鄰的若干網孔所構成的回路，僅以有一條電流源支路為網孔a，b共有的情況為例進行分析，如圖1所示。為不失一般性，假設除電流源支路外，其他每條支路均由電壓源和電阻的串聯組成，水平放置的支路和豎直放置的支路如圖1所示，l為支路編號。電流源支路沒有串聯其他元件，因為電流源與其他元件可用該電流源等效。網絡電流用im表示，m為網孔編號。

圖1 兩個網孔含有共有電流源支路

設電流源的端電壓為ui，列寫網孔a和b的網孔方程為:

(R1+R2+R3+R7)ia-R1ic+R2id-R3ie+R7ih=us1-us2-us3+us7-ui

(R4+R5+R6)ib-R4ie-R5if-R6ig=us6-us4-us5+ui

由于ia和ib在電流源支路上的流向相反，則兩式兩邊對應相加得:

(R1+R2+R3+R7)ia-R1ic+R2id-R3ie+R7ih+(R4+R5+R6)ib-R4ie-R5if-R6ig=

us1-us2-us3+us7-ui+us6-us4-us5+ui

整理得:

(R1+R2+R3+R7)ia+(R4+R5+R6)ib-R1ic+R2id-(R3+R4)ie-R5if-R6ig+R7ih=

us1-us2-us3+us7+us6-us4-us5(1)

若網孔a和b中的一個網孔電流方向與圖示情況相反，設ib反向，記為ib′，且:

ib′=-ib

則網孔b的方程變為:

(R4+R5+R6)ib′+R4ie+R5if+R6ig=-us6+us4+us5-ui

但網孔a的方程不會改變，兩網孔方程相減，得:

(R1+R2+R3+R7)ia-(R4+R5+R6)ib′-R1ic+R2id-(R3+R4)ie-R5if-R6ig+R7ih=

us1-us2-us3+us7+us6-us4-us5(2)

顯然，式(1)與式(2)等價。

雖然式(1)、式(2)是以兩個含有共有電流源支路的網孔為例而得到的，但稍加分析不難發現，對毗鄰的彼此間存在共有電流源支路的兩個以上網孔構成的廣義網孔而言，與其對應的網孔方程也具有相同的形式與規律。因此，可以從以上兩式總結出廣義網孔方程建立算法為:

(1) 選定廣義網孔，并設定廣義網孔的繞行方向。

(2) 自電阻。即廣義網孔內各網孔電流變量的系數，大小等于相應網孔內所有電阻的總和，但不包含電流源的串聯電阻，若網孔電流的方向與廣義網孔的繞行方向一致，則為正;否則，為負;

(3) 互電阻。即廣義網孔外其他網孔電流變量的系數，等于廣義網孔與廣義網孔外某個網孔的共有支路上電阻的代數和，若在共有電阻支路上，網孔電流的方向與廣義網孔的繞行方向相反，其值為“負”;否則，為“正”。

(4) 廣義網孔的總電壓源電壓。等于廣義網孔內所有電壓源電壓升的代數和，沿著廣義網孔的繞行方向，電壓源電壓升為正，降為負。

盡管沒有引入輔助解變量，但由于網孔方程減少了，且網孔電流解變量數沒有減少，因此，必須添加輔助方程方能求解。輔助方程是廣義網孔內網孔電流與電流源電流間的關系式。

2 算例及解析

算例1:如圖2所示，列出該電路的網孔電流方程。

解: 通常對無伴電流源支路設一支路電壓U作為附加變量， 把電流源支路看成是電壓為U的電壓源， 同時增補一個輔助方程， 可得:

(3+6)i1-3i2=100-U(3)

3i1+(10+3+2)i2-2i3=0

-2i2+(2+4)i3=U-50(3)

輔助方程:i3-i1=5

顯然式(3)中第一個和第三個相加可消去變量， 得到:

(3+6)i1-(3+2)i2+(2+4)i3=100-50(4)

圖2 例題

圖3 具有廣義網孔的電路

如果兩個網孔電流的方向都取順時針(或逆時針)，U總是在兩個網孔方程中出現各一次， 必定會消去， 因此可假想把無伴電流源支路移去， 就形成一個廣義網孔， 如圖3實線所示。這樣在寫方程時就可避開該支路， 只對這個廣義網孔列一個KVL方程:

3(i1-i2)-2(i3-i2)+4i3+6i1=100-50(5)

這與式(4) 是一致的。

總之， 廣義網孔法就是假想把連有無伴電流源的支路部分移去， 看作是擴大了的廣義網孔。對廣義網孔列KVL方程，不必引入無伴電流源的電壓作附加變量。同樣， 如果有多個無伴電流源支路， 這種方法的優越性就更加明顯。

算例2:如圖4所示，列出該電路的網孔電流方程。

解:設4個網孔電流為i1，i2，i3，i4，并設2 A電流源的端電壓為ui，受控電流源的端電壓為uk，加上受控電流源的控制量I1共有7個變量，如圖4所示。建立網孔方程如下:

網孔1:20i1=-ui-uk(6)

網孔2:6i2=100-ui(7)

網孔3:14i3+10i4=uk(8)

網孔4:10i3+34i4=-100

輔助方程:-i1-i2=2，i1-i3=3I1，i2=I1

將網孔1，2，3作為一個廣義網孔如圖5所示，列寫廣義網孔的方程如下:

20i1-6i2+14i3+10i4=-100

此式顯然是式(6)~(8)的變形結果。

由此可見，采用廣義網孔法可減少列寫方程的個數，從而簡化計算。

圖4 例題

圖5 具有廣義網孔的電路

3 結 語

從前面的理論分析和實例分析可知，對廣義網孔方程建立方法與一般網孔方程建立方法是一致的，因此只要掌握了網孔分析法，就能熟練地掌握廣義網孔方程的建立方法。由于廣義網孔由若干網孔構成，所以網孔方程和廣義網孔方程。總數減少了，盡管需要添加輔助方程，但輔助方程是網孔電流和公共電流源電流的關系式，建立起來十分容易，從而降低了解題的難度。由此可見，廣義網孔方程建立算法是正確、有效的，是對網孔分析法的一種推廣和完善。

參考文獻

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作者簡介: 高紅艷 女，1981年出生，陜西榆林人，講師。主要從事電子信息的教學和科研工作。