把課堂還給學生的一次有益嘗試

將課堂還給學生，充分發(fā)揮學生學習的主動性和積極性，這是新課改的重要一環(huán). 怎樣才能做到把課堂還給學生呢?關(guān)鍵是要讓學生在課堂上有充分展示自己的時間與空間. 只有當學生的主體地位被確立、主體作用被充分發(fā)揮的時候，學生學習的積極性、主動性和創(chuàng)造性就會被完全地激發(fā)和釋放出來，才可以說學生成為課堂真正的主人.

老師上課，一般先準備好教學設(shè)計，然后在課堂上按既定的設(shè)計授課. 學生即使受教師的啟發(fā)，此啟發(fā)也是帶有某種預見性或目的性的. 而一旦學生啟而不發(fā)，則學生的思維過程經(jīng)常由教師代替了. 而有時老師的啟發(fā)與學生的思路不對應(yīng)，那老師又該如何應(yīng)對呢?是就此打住，按預先的設(shè)計完成教學目標呢?還是懸而不決，稍加點撥留給學生思考?還是順著學生的思路繼續(xù)下去，讓課堂真正成為學生展現(xiàn)自己的舞臺. 我認為前兩種選擇也有一定的道理，第三種選擇比較冒險. 因為這樣做老師比較被動，下面的局面就沒有預見性了，對老師來說是個很大的挑戰(zhàn). 但是如果你老是扼殺學生的思維火花，那怎么能實現(xiàn)學生的主體地位呢?

下面是筆者的一次真實體驗.

這是一堂不等式證明的習題課，預先給出的問題是:已知a，b，c∈R+，求證: + + ≥ . 和平常一樣，我們先分組討論，再全班交流.

結(jié)果是大多數(shù)學生用作差比較的方法完成了該不等式的證明，證明的主要思路如下:

證明一: + + -

= - + - + -

= + +

= ( + + + + + )

= + + ≥0.

當且僅當a=b=c時取等號，所以原不等式成立.

這個證明思路非常基本與樸素，容易想到，因為a，b，c對稱輪換， ， ， 可以看做是地位相等的，所以應(yīng)該把 平均拆開. 相加得完全平方是嘗試以后的結(jié)果，因此這是一個容易切入、完成的證明思路.

一般情況下，在上面的總結(jié)之后，該問題也就可以結(jié)束了. 但是，我感覺到有位同學有一種意猶未盡、躍躍欲試的神態(tài)，所以我就給了他一個機會，“還有另外的證明嗎?”于是開始節(jié)外生枝，本堂課就再也不按我的預設(shè)發(fā)展了.

果然，這個同學像我感覺的那樣，給出了一種新的證明，他的證明如下:

證明二: + + =

+ +

= ( + + + + + )- ≥ (2+2+2)- = .

他非常大膽、非常巧妙地構(gòu)造出x與 這一倒數(shù)關(guān)系，然后用均值不等式完成了證明. 當時說實話我也有點得意，因為這兩種證明思路是我平時特別強調(diào)的:要從條件出發(fā)，分析其式子的特點，對稱輪換式強調(diào)地位相等，求值域要善于構(gòu)造不等式，其中倒數(shù)關(guān)系是非常理想的一種關(guān)系等等. 看來平時的教學很有效果.

此時，課堂里面的所有人都處于一種比較興奮的狀態(tài)，我非常清楚這堂課的預設(shè)教案我是完不成了，同時我也知道這種狀況是非常難得的. 只有讓學生做主，課堂才能真正成為學生喜歡的舞臺. 把課堂還給學生，是我一貫的追求.

從前面的兩個證明過程中，我已經(jīng)隱隱約約地得到類似的一種思路. 于是我繼續(xù)從另外角度去啟發(fā)，底下有學生輕聲說用“1”變換. 所謂用“1”變換，就是原式或原數(shù)乘1或加1，但1用另外的式子代替.繼續(xù)給學生思考，我耐心地等待，也不多說什么，因為我覺得這時我不能喧賓奪主. 果然，不一會兒，有人就站起來了，她給出了下面的證明，我們用證明三表示.

證明三:用分析法證明

要證 + + ≥ ，

即證 +1+ +1+ +1≥ ，

即證(a+b+c)#8226;( + + )≥ ，

即證 ( + + + + +

)+ ≥ ，

而 + ≥2， + ≥2， + ≥2，

當且僅當a=b=c時等號全部取到，所以原不等式成立.

我剛想小結(jié)，馬上又有學生說了，最后一步證明可以用柯西不等式，我讓他站起來具體說明一下.

他說把 (b+c)看做是 的平方，把 看做是 的平方即可.

“哦!”下面是一片會心的附和與肯定.

如果說證明二是一把火點燃了同學們的思維，那么證明三簡直是火上澆油了，此時幾乎全班同學的積極性都被調(diào)動起來了. 有的在想剛才的證明，有的在尋找新的證明方法……

大概是由于有人提出了柯西不等式，所以有人得到了啟發(fā)，又站起來提出了新的方法.

證明四:由柯西不等式的推論可以證明

+ + ≥

= ≥ = .

有人從證明三得到啟發(fā):原不等式等價于

+ + ≥ ，

也即等價于 + + ≥ ，因此可以用均值不等式來證明.

證明五:∵ ≥

∴ + + ≥ .

課堂已經(jīng)真的成了學生表演的舞臺，又有同學站起來說:老師，你不是說過當分母是多項式而分子是單項式時，應(yīng)該采用換元的方法嗎?這個命題是不是可以試試呢?其實當時我心里也不是很有底，但我首先對他的想法給予了肯定，然后讓大家試試看，群眾的智慧是偉大的，經(jīng)過大家的嘗試，果真得到了下面的方法.

證明六:設(shè)x=b+c，y=c+a，z=a+b，

那么a= ，b= ，c= ，

所以 + + = +

+ = ( + + + +

+ -3)≥ (2+2+2-3)= .

……

至此，就這個命題本身而言，似乎已經(jīng)討論得差不多了. 首先，完成它的證明分別用了作差比較、均值不等式和柯西不等式(綜合法)、分析法以及換元法，其次，我們還得到了它的兩個姊妹不等式，即:

+ + ≥ ，

+ + ≥ .

以上兩個不等式是我們經(jīng)常碰到的問題，但或許不少同學并沒有注意到三者之間的聯(lián)系，而現(xiàn)在這樣一來，一下子就全解決了.

此時，離下課還有一點時間，學生們似乎很滿足今天的表現(xiàn)，或許覺得對不等式的證明有了一些心得. 但我并不滿足，我在思考:這樣的不等式能不能繼續(xù)推廣呢?所以我趁他們的注意力還沒有完全轉(zhuǎn)移的時候，我又拋出了一個促使他們繼續(xù)深入思考的問題. 同學們，我們今天得到了許多很好的結(jié)論與方法，說明了動腦筋是多么的必要，那么，我們能不能再接再厲，找找與它們相類似的不等式呢?

同學們陷入了沉思，有的在不停地寫些什么，有的在竊竊私語……我也在緊張地思索，首先我就想到元素的個數(shù)應(yīng)該可以變化，增加或減少應(yīng)該都是可以的. 我剛想多嘴，有個同學已經(jīng)舉手了，在我的示意下，他提出了下面的不等式:

+ + + ≥ (a，b，c，d∈R+).

在得到大家的認可后，我們又在黑板上寫出了另外的兩個等價的不等式:

+ + + ≥ ，

+ + + ≥ .

在我的提示下，兩個元素的不等式也出來了:

+ ≥ (a，b∈R+).

+ ≥4(a，b∈R+).

+ ≥2(a，b∈R+).

當最后一個不等式寫出來時，教室里一片嘩然，這個不等式實在太熟悉了，幾乎天天碰到的，簡直是奧妙無窮啊!

那么還有沒有更一般的結(jié)論?有同學提出來. 在大家的努力下，我們得到了這樣的結(jié)論:設(shè)ai∈R+，i=1，2，3…n，記s=a1+a2+a3+…+an，那么有:

+ + +…+ ≥ ，

+ + +…+ ≥ .

對這堂課最后這樣的結(jié)果我是非常滿意的. 首先，我們由一個問題的解決得到了一類問題的解決方法，達到了教學中舉一反三、觸類旁通的效果，實現(xiàn)了課堂效率的最大化. 其次，就具體方法而言，比如證明一的在作差時的平均拆項，證明四的柯西不等式的應(yīng)用，證明六的換元使分母簡單化，從而構(gòu)造出倒數(shù)關(guān)系等等都非常有價值，可以解決其他很多的問題，方法有一定的普遍意義. 通過這堂課的強化，相信學生對此類題目的理解會更加深刻. 第三，雖然這堂課由于節(jié)外生枝，沒有完成我預先的教學設(shè)計，但最后的結(jié)果也算是枝上開花了. 學生很樂意上這樣的課，因為只有這樣，他們的思維才能處于最活躍的狀態(tài)，學生的主體地位才能得到真正的體現(xiàn). 當然，這樣一來，對教師的主導作用也提出了較高的要求.

評價一堂課上得好不好，不是看教師講得是否精彩，而是看學生的表現(xiàn)是否主動，學習能力是否得到了提高. 為了讓學生感到學習的快樂，教師組織課堂教學要千方百計挖掘?qū)W生的潛力，調(diào)動他們的積極性，應(yīng)該把課堂還給學生，讓課堂成為一個學生展示自我的舞臺. 只有這樣，他們才能在“以參與求體驗，以創(chuàng)新求發(fā)展”的教學過程中體驗到茅塞頓開、豁然開朗和怦然心動;體驗到浮想聯(lián)翩、百感交集和妙不可言;體驗到心靈的共鳴和思維的共振;體驗到內(nèi)心的澄明和敞亮. 他們對課堂、對學習的熱愛以及由此激發(fā)出來的熱情才是令人鼓舞和長久的.