基于Matlab的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法比較及應(yīng)用

摘 要:濾波是信號(hào)處理的基礎(chǔ)，濾波運(yùn)算是信號(hào)處理中的基本運(yùn)算，濾波器的設(shè)計(jì)也就相應(yīng)成為數(shù)字信號(hào)處理的最基本問(wèn)題之一。這里著重IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)研究，應(yīng)用Butterworth濾波器，Chebysheve Ⅰ型濾波器，Chebysheve Ⅱ型濾波器以及橢圓濾波器分別對(duì)低通、高通、帶通和帶阻四種濾波器形式進(jìn)行比較仿真，通過(guò)不同設(shè)計(jì)方法的對(duì)比，將各種濾波器的設(shè)計(jì)特點(diǎn)很好地呈現(xiàn)出來(lái)。應(yīng)用了Butterworth濾波器實(shí)現(xiàn)了混合信號(hào)頻譜的分離，取得了良好的仿真效果。

關(guān)鍵詞:IIR數(shù)字濾波器; 頻譜分離; Matlab仿真; 信號(hào)檢測(cè)

中圖分類(lèi)號(hào):TN713 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2010)11-0103-03

Comparison of Matlab-based Design Methods and Application of IIR Digital Filters

PANG Jian-li， GAO Li-na

(Information Engineering Department， Huanghuai University， Zhumadian 463000， China)

Abstract: The design of IIR digital filter is researched emphatically. The comparison of four types of low pass， high pass， band pass and band-stop filtering modes is respectively simulated with Butterworth， Chebysheve I， Chebysheve II and elliptic filters. The design features of the various filters are offered through the comparison of different design methods. The separation of mixed-signal spectrum was achieved with Butterworth filter. A good simulation effect was obtained.

Keywords: IIR digital filter; spectrum separation; Matlab simulation; signal detection

0 引 言

數(shù)字濾波器(Digital Filter)是指輸入、輸出都是離散時(shí)間信號(hào)，通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。數(shù)字濾波器在數(shù)字信號(hào)處理中起著非常重要的作用，在信號(hào)的過(guò)濾、檢測(cè)與參數(shù)的估計(jì)等方面，是使用最為廣泛的一種線性系統(tǒng)[1]。

實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的方法有兩種，一是采用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行，就是把所要完成的工作通過(guò)程序讓計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn);二是設(shè)計(jì)專(zhuān)用的數(shù)字處理硬件。這個(gè)地方主要用到的就是第一種方法。即是用Matlab提供的信號(hào)處理工具箱來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器[2]。

Matlab信號(hào)處理工具箱提供了豐富的設(shè)計(jì)方法，可以使得繁瑣的程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)化成函數(shù)的調(diào)用，只要以正確的指標(biāo)參數(shù)調(diào)用函數(shù)，就可以正確快捷地得到設(shè)計(jì)結(jié)果[3]。

1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法比較

1.1 概述

IIR數(shù)字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了相當(dāng)成熟的技術(shù)和方法，有完整的設(shè)計(jì)公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來(lái)進(jìn)行[4-6]。

對(duì)于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)具體步驟如下:

(1) 按照一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

(2) 根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數(shù))。

(3) 再按照一定的規(guī)則將G(s)轉(zhuǎn)換成H(z)(H(z)是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù))。若設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是低通的，上述的過(guò)程可以結(jié)束，若設(shè)計(jì)的是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那么還需要下面的步驟:

將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后設(shè)計(jì)出低通G(s)，再將G(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。

Matlab信號(hào)工具箱提供了幾個(gè)直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的函數(shù)，直接調(diào)用這些函數(shù)就可以很方便地對(duì)濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。這里選取巴特沃斯法、切比雪夫Ⅰ、切比雪夫Ⅱ、橢圓法四種方法進(jìn)行比較。給出用上述方法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的函數(shù)如下:

Butterworth濾波器:

[N，Wn]=buttord(Wp，Ws，Rp，Rs)

[b，a]=butter(N，Wn)

[b，a]=butter(N，Wn，′ftype′)

[h，f]=freqz(b，a，n，F(xiàn)s)

其中:Wp表示通帶截止頻率;Ws表示阻帶截止頻率;Rp表示通帶紋波系數(shù);Rs表示阻帶紋波系數(shù);N表示濾波器最小階數(shù);Wn表示截止頻率。b，a分別表示階次為N+1的數(shù)字濾波器系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量;Fs為采樣頻率;n為在區(qū)間[0 Fs]頻率范圍內(nèi)選取的頻率點(diǎn)數(shù);f記錄頻率點(diǎn)數(shù)。n取2的冪次方，可以提高運(yùn)算的速度，因?yàn)閒reqz函數(shù)采用基2的FFT算法。ftype=high時(shí)，為高通濾波器;ftype=bandpass時(shí)，為帶通濾波器; ftype=stop時(shí)，為帶阻濾波器。

Chebysheve Ⅰ型濾波器:

[N，Wn]=cheb1ord(Wp，Ws，Rp，Rs)

[b，a]=cheby1(N，Rp，Wn)

[b，a]=cheby1(N，Rp，Wn，′ftype′)

[h，f]=freqz(b，a，n，F(xiàn)s)

Chebysheve Ⅱ型濾波器:

[N，Wn]=cheb2ord(Wp，Ws，Rp，Rs)

[b，a]=cheby2(N，Rs，Wn)

[b，a]=cheby2(N，Rs，Wn，′ftype′)

[h，f]=freqz(b，a，n，F(xiàn)s)

橢圓濾波器:

[N，Wn]=ellipord(Wp，Ws，Rp，Rs)

[b，a]=ellip(N，Rp，Rs，Wn)

[b，a]=ellip(N，Rp，Rs，Wn，′ftype′)

[h，f]=freqz(b，a，n，F(xiàn)s)

1.2 四種設(shè)計(jì)方法比較

(1) 在低通濾波器中的比較

假如:

Wp=20 Hz，Ws=50 Hz，F(xiàn)s=200，

Rp=1 dB，Rs=30 dB，分別用Butterworth低通濾波器、Chebyshev Ⅰ型低通濾波器、Chebyshev Ⅱ型低通濾波器、橢圓低通濾波器四種方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，如圖1所示。

圖1 低通數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)曲線

(2) 在高通濾波器中的比較

假如:Wp=50 Hz，Ws=20 Hz，F(xiàn)s=200，Rp=1 dB，Rs=30 dB，分別用Butterworth高通濾波器、Chebyshev Ⅰ型高通濾波器、Chebyshev Ⅱ型高通濾波器、橢圓高通濾波器四種方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，如圖2所示。

圖2 高通數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)曲線

(3) 在帶通濾波器中的比較

假如:Wp=[100，200]，Ws=[50，250]，Rp=3 dB，Rs=30 dB，F(xiàn)s=1 000，分別用Butterworth帶通濾波器、Chebyshev Ⅰ型帶通濾波器、Chebyshev Ⅱ型帶通濾波器、橢圓帶通濾波器四種方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，如圖3所示。

圖3 帶通數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)曲線

(4) 在帶阻濾波器中比較

假如:Wp=[100，200]，Ws=[50，250]，Rp=3 dB，Rs=30 dB，F(xiàn)s=1 000，分別用Butterworth帶阻濾波器、Chebyshev Ⅰ型帶阻濾波器、Chebyshev Ⅱ型帶阻濾波器、橢圓帶阻濾波器四種方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，如圖4所示。

1.3 比較結(jié)果分析

通過(guò)對(duì)各種類(lèi)型的濾波器通過(guò)不同的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以使一些結(jié)論得到驗(yàn)證。利用Butterworth濾波器、Chebysheve Ⅰ型濾波器、Chebysheve Ⅱ型濾波器、橢圓濾波器都可以進(jìn)行低通、高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，但是各有特點(diǎn)。Butterworth濾波器通帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線能得到最大限度的平滑，但犧牲了截止頻率的坡度。

圖4 帶阻數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)曲線

Chebysheve Ⅰ型濾波器通帶內(nèi)等波紋，阻帶內(nèi)單調(diào);Chebysheve Ⅱ型濾波器通帶內(nèi)單調(diào)，然而阻帶內(nèi)等波紋;橢圓濾波器阻帶和通帶內(nèi)都是等波紋的，但下降的坡度更大，而且可以以更低的階數(shù)實(shí)現(xiàn)和其他兩類(lèi)濾波器一樣的性能指標(biāo)[7-9]。

2 IIR數(shù)字濾波器應(yīng)用

假定信號(hào)的采樣頻率是600 Hz，輸入信號(hào)的頻率為100 Hz，180 Hz和250 Hz的合成正弦波信號(hào)f(t)=sin(200πt)+sin(360πt)+sin(500πt)，通過(guò)截止頻率是120 Hz的巴特沃斯低通濾波器，通過(guò)濾波前后頻譜的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)通過(guò)濾波器后，兩個(gè)高頻的信號(hào)180 Hz和250 Hz的正弦信號(hào)被濾掉，達(dá)到了濾波的效果。

圖5和圖6給出了巴特沃斯低通濾波器濾波前后的頻譜圖。

圖5 合成正弦波信號(hào)濾波前頻譜

依然是上述的條件，如果想保留高頻的信號(hào)250 Hz的正弦信號(hào)，可以通過(guò)巴特沃斯高通濾波器，此高通濾波器截止頻率為220 Hz，濾波以后的頻譜如圖7所示，兩個(gè)低頻的信號(hào)100 Hz，180 Hz的正弦波信號(hào)被濾掉;當(dāng)預(yù)保留100 Hz，250 Hz兩個(gè)信號(hào)后可以通過(guò)帶阻濾波器濾掉180 Hz的正弦信號(hào)，如圖8所示;同理如果僅僅保留180 Hz的正弦信號(hào)可以通過(guò)帶通濾波器，而濾掉其他兩個(gè)信號(hào)，如圖9所示。

圖6 合成正弦波信號(hào)經(jīng)過(guò)低通濾波后頻譜

圖7 合成正弦波信號(hào)經(jīng)過(guò)高通濾波后頻譜

圖8 合成正弦波信號(hào)經(jīng)過(guò)帶阻濾波后頻譜

圖9 合成正弦波信號(hào)經(jīng)過(guò)帶通濾波后頻譜

3 結(jié) 語(yǔ)

濾波是信號(hào)處理的基礎(chǔ)，濾波運(yùn)算是信號(hào)處理中的基本運(yùn)算，濾波器的設(shè)計(jì)也就相應(yīng)成為數(shù)字信號(hào)處理的最基本問(wèn)題之一。信號(hào)帶有噪聲或無(wú)用信號(hào)，濾波器的作用是將這些干擾成分濾除，也就是讓特定頻段的信號(hào)通過(guò)達(dá)到對(duì)信號(hào)篩選的效果。在經(jīng)典的濾波器中，通過(guò)對(duì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)研究，應(yīng)用Butterworth濾波器、Chebysheve Ⅰ型濾波器、Chebysheve Ⅱ型濾波器以及橢圓濾波器四種形式分別對(duì)低通、高通、帶通和帶阻四種濾波器形式進(jìn)行比較仿真，得到其不同的仿真特性;選擇三個(gè)不同頻率100 Hz，180Hz和250 Hz的合成正弦波信號(hào):

f(t)=sin(200πt)+sin(360πt)+sin(500πt)

進(jìn)行疊加，應(yīng)用了Butterworth濾波器實(shí)現(xiàn)了混合信號(hào)頻譜的分離，得到了良好的仿真效果。

參考文獻(xiàn)

[1]Mitra S K.數(shù)字信號(hào)處理——基于計(jì)算機(jī)的方法[M].孫洪，譯.北京:電子工業(yè)出版社，2005.

[2]飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.Matlab 7輔助信號(hào)處理技術(shù)與應(yīng)用[M].北京:電子工業(yè)出版社，2005.

[3]張志涌.精通Matlab 6.5版[M].北京:北京航空航天大學(xué)出社，2007.

[4]Kamen E W.應(yīng)用Web和Matlab的信號(hào)與系統(tǒng)基礎(chǔ)[M].高強(qiáng)，威銀城，余萍，等譯.北京:電子工業(yè)出版社，2002.

[5]陳懷琛.數(shù)字信號(hào)處理教程——Matlab釋義與實(shí)現(xiàn)[M].北京:電子工業(yè)出版社，2008.

[6]Miroslav D Lutovac， Dejan V Tosic， Brian L Evans.信號(hào)處理與濾波器設(shè)計(jì)(英文版)[M].北京:電子工業(yè)出版社，2002.

[7]黃埔堪，陳建文，樓生強(qiáng).現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理[M].北京:電子工業(yè)出版社，2003.

[8]程佩青.數(shù)字信號(hào)處理教程[M].2版.北京:清華大學(xué)出版社，1995.

[9]羅伯特 D 斯特拉姆.現(xiàn)代線性系統(tǒng)——使用Matlab[M].西安:西安交通大學(xué)出版社，2002.