紅線寬度變化時緩和曲線邊線展寬方法

田海勇，耿新田

(洛陽規(guī)劃建筑設(shè)計(jì)有限公司，河南洛陽 471000)

紅線寬度變化時緩和曲線邊線展寬方法

田海勇?，耿新田

(洛陽規(guī)劃建筑設(shè)計(jì)有限公司，河南洛陽 471000)

兩條不等寬的道路相對接時，如果中線是緩和曲線，特別是在內(nèi)邊線加寬的情況下，邊線平滑連接涉及復(fù)雜的曲線解算。本文就此問題闡述解決的思路和方法。

緩和曲線；邊線要素；變寬；邊線對接

1 引 言

城市道路經(jīng)常有不等寬的兩條道路相對接的情況[1]，對于中線是直線、圓曲線的情況，其邊線要素很容易計(jì)算，但對于中線是緩和曲線的兩條不等寬道路的對接，特別是考慮到交通流量，有的內(nèi)邊線還要加寬，這對邊線要素的正確解算提出了新的要求。通常情況下，為了簡化計(jì)算，一般采用近似方法按圓曲線處理，由于不能保證相切關(guān)系，沿曲線轉(zhuǎn)彎過程中會產(chǎn)生多處折點(diǎn)，道路寬度變化也不均勻。

為了保證相切關(guān)系，使邊線連接處平滑過渡，體現(xiàn)道路設(shè)計(jì)的思路，嚴(yán)格控制各項(xiàng)要素指標(biāo)，邊線過渡段可采用緩和曲線進(jìn)行連接。本文就這一方法進(jìn)行詳細(xì)論述。

2 數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，ZH處的半路寬為D1，HZ處的半路寬為D2，從ZH到HY、HZ到Y(jié)H，內(nèi)邊線加寬值為△D，其內(nèi)邊線加寬終點(diǎn)分別是A和B，我們可以將AB曲線看作一條緩和曲線[2]，只要將其曲線要素計(jì)算出來，問題就解決了。

圖1 不等寬道路相對接情況示意圖

由文獻(xiàn)[3]知緩和曲線加寬邊線的微分方程為:

式中，β為切線角，且為緩和曲線總長，l為緩和曲線長，R為圓曲線半徑，D為道路半寬，△D為邊線加寬值(內(nèi)邊線△D為負(fù)值)。

xB、yB的一階導(dǎo)數(shù)為:

取其二階導(dǎo)數(shù)并整理得:

將式(2)、式(3)代入式(4)，經(jīng)整理即得出求曲線在某點(diǎn)曲率的公式:

當(dāng)l＝l0時，

曲線的斜率為:

將式(2)代入式(6)，即得:

當(dāng)l＝l0時，

由公式(8)、(9)可分別計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的切線角β1、β2，根據(jù)城市坐標(biāo)即可計(jì)算出過A點(diǎn)和B點(diǎn)的切線方位角αA、αB。

如圖1所示，根據(jù)αB、αA可以求出曲線AB的轉(zhuǎn)向角θ。

由文獻(xiàn)[2]得曲線AB上任一點(diǎn)的切線角為:

式中，l0為曲線AB的弧長，KA為曲線起點(diǎn)的曲率，KB為曲線終點(diǎn)的曲率，l為曲線上任一點(diǎn)距A點(diǎn)的弧長，KAB＝KB－KA。由式(11)可得曲線上任一點(diǎn)在城市坐標(biāo)系中的切線方位角α，計(jì)算公式為:

因?yàn)?/p>

將式(13)代入式(14)，積分即得曲線AB上任一點(diǎn)的城市坐標(biāo)[5，6]:

式中xA、yA為曲線起點(diǎn)A在城市坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

3 解算曲線要素

由式(15)可以看出，xA、yA、αA為曲線起點(diǎn)的城市坐標(biāo)和方位角，為已知數(shù)據(jù)，KA、KB、l0為未知數(shù)。

由圖1可以看出，曲線AB的轉(zhuǎn)向角θ即為曲線AB在B點(diǎn)的切線角βB。

由式(12)即得:

式中，θ為弧度。

KA、KB、l0的解算采用逐漸趨近的方法。第一步:首先用公式(5)、(6)解算出A點(diǎn)近似曲率K′A，再代入式(16)求得K′B，l0暫由 AB的直線長代替；代入式(15)求得B點(diǎn)的近似坐標(biāo)(x′B，y′B)；用B點(diǎn)近似坐標(biāo)(x′B，y′B)和A點(diǎn)坐標(biāo)xA、yA計(jì)算邊長與(xA，yA)、(xB，yB)計(jì)算的邊長進(jìn)行比較，修改l0值；將修正值再代入式(15)反復(fù)計(jì)算，直到兩次計(jì)算的l0值滿足精度要求為止。

第二步:計(jì)算B′點(diǎn)距離過B點(diǎn)平行于AJ直線的垂距，利用該垂距修正A點(diǎn)的曲率半徑。我們可以將該垂距作為A點(diǎn)兩次不同曲率半徑計(jì)算B點(diǎn)y值的差值。下面推導(dǎo)曲率修改后的計(jì)算公式。

將A點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，A－DJ為x軸，則:

用級數(shù)將dy展開[4]

取其第一項(xiàng)，將式(18)代入式(20)，得

積分得

當(dāng)KB曲率不變，△y引起KA曲率的變化量為

將y值的差數(shù)△y代入式(24)，即可求出KA的修正值。代入式(17)即得出新的K′B值，再進(jìn)入第一步計(jì)算。

這樣進(jìn)行反復(fù)計(jì)算，直到A點(diǎn)坐標(biāo)與B點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算的邊長與A點(diǎn)坐標(biāo)與B′點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算的邊長差值，及B′點(diǎn)到AB直線的垂距同時達(dá)到精度要求，計(jì)算即結(jié)束。

4 計(jì)算實(shí)例

上面式(15)的積分計(jì)算利用有積分功能的計(jì)算器(如CASIOfx－4800、fx－5800等)很容易計(jì)算。

舉例說明，道路JD1ZH邊線寬65 m，JD5HZ邊線寬40 m，中線為緩和曲線，曲線要素為:R＝250 m，LS1＝LS2＝110 m，內(nèi)邊線緩和段加寬值為0.8 m，αZH－JD4＝77°48′14″，αHZ－JD4＝192°54′54″，算得A、B、A′、B′4點(diǎn)的坐標(biāo)分別為436.754，計(jì)算AB曲線、A′B′曲線的要素。

用式(8)計(jì)算各點(diǎn)斜率，用式(10)計(jì)算切線方位角:

用切線方位角算出轉(zhuǎn)向角:

做好上述相關(guān)計(jì)算后，利用編制的計(jì)算程序即可算得:

[1]李嘉.公路設(shè)計(jì)百問[M].北京:人民交通出版社，2003，149～150

[2]工廠建設(shè)測量手冊[M].北京:測繪出版社，1990，388～390

[3]耿新田，秦延波.緩和曲線加寬邊線的解算[J].城市勘測，2008(1)

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社，1993，180～217

[5]李全信.緩和曲線平行線的長度計(jì)算及坐標(biāo)法測設(shè)[J].工程勘察，1996(3)

[6]李全信.線路中邊樁坐標(biāo)計(jì)算的通用Causs－Legendre公式[J].工程勘察，2002(3)

The Method of Transition Curve Stretching for Change Width

Tian HaiYong，Geng XinTian
(Luoyang Planning＆Architectural Design Co.，Ltd.Luoyang 471000，China)

The sideline of the city－road was complex at the cross of Transition Curve.The change of width involve a lot of design procedure.This texts would expound the means and resolvent.

City－road；Transition Curve；Sideline Essential；Change Width；connecting line

1672－8262(2010)04－123－03

P258

B

2009—09—30

田海勇(1966—)，男，高級工程師，主要從事城市測繪技術(shù)管理工作。