基于多元線性回歸分析的蝶閥關閉規律函數關系研究

程洪霞 吳建華

（太原理工大學水利科學與工程學院，太原 030024）

1 蝶閥關閉角間隔點的計算機存儲及直線插入法

在國內外大量的供水系統水錘分析文獻中，給出了蝶閥關閉角每隔5°時，相對應的阻力系數和過流面積與閥門面積比值的離散值，見表1。

表1 阻力系數值及過流面積與閥門面積的比

在水力過渡過程的計算中，將關閉角度每隔5°的阻力系數和過流面積值輸入計算機中，并求出相對應的水頭損失系數。停泵后，任意時刻閥門關閉角對應的水頭損失系數，用直線插入法計算。

在表1給出的數值及所采用的直線插入法的基礎上，運用多元線性回歸模型，給出過流面積與閥門面積的比值關于關閉角度的函數關系式，以及阻力系數和關閉角度的函數關系式，使水力過渡過程的數值模擬更為精確、易行。

2 多元線性回歸模型

在實際問題中，影響結果y的因素往往不止一個。一般地，設有 x1，x2，…，xk，k 個因素，通常考慮如下的線性關系式[1]：

其中，β0，β1，…，βk為 k+1 個未知數，ε 是隨機變量，一般假設 E（ε）=0，D（ε）=σ2，σ2＞0。為了估計未知參數 β0，β1，…，βk及 σ2，對 y 與 x1，x2，…，xk同時作 n 次獨立觀察，得 n 組觀察值（yt，xt1，xt2，…，xtk），t=1，2，…，n（n＞k+1），滿足關系式：

其中，ε1，…εn互不相關且均是與ε同分布的隨機變量。為用矩陣形式表示上式，令：

于是，多元線性回歸模型可表示為：

其中，In為n階單位矩陣。

用最小二乘法，得β的最小二乘估計為：

3 數學模型的建立與求解

3.1 過流面積和閥門面積比值Y1與關閉角度x之間的函數關系

根據關閉角度x與過流面積和閥門面積比值Y1在表1中的數值，由MATLAB軟件可繪制出（xi，Y1i）（其中i=1，2，…，19）的散點圖，如圖1所示。

根據圖1，對過流面積和閥門面積比值Y1與關閉角度x的關系，可用二次函數進行回歸分析。經回歸分析的實驗驗證：①當只采用一個二次函數進行回歸分析時，誤差較大，所以采用分段函數的形式；②分段區間選擇［0，50），［50，80），［80，85），［85，90］上較為精確；③在區間段［0，50），［50，80）適合用二次函數進行回歸分析，這時誤差很小，在區間［80，85］，［85，90］上適合用原來的直線插入法，這樣更符合實際。下面給出在區間［0，50），［50，80）上，用二次函數進行回歸分析的計算方法。

圖1 （xi，Y1i）的散點圖

圖2 Y1與x的函數關系圖

在用二次函數y=β0+β1x+β2x2進行回歸分析的計算時，首先令：xk=xk，（k=1，2），從而轉換為多元線性回歸模型，運用上述多元線性回歸模型原理，并由MATLAB軟件進行矩陣計算（MATLAB中矩陣計算方法見文獻2），可以求得過流面積和閥門面積的比值 Y1與關閉角度 x 在區間［0，50），［50，80）上的函數關系為：

由MATLAB軟件可繪制出（5）式以及在區間［80，85］，［85，90］上運用直線插入法得到的函數圖象，如圖2。可以看出，圖2與圖1很接近。

為進一步判斷由（5）式確定的函數關系的準確性，可以計算閥門關閉角度每隔5°時，由（5）式得到的過流面積和閥門面積的比值與原來的過流面積和閥門面積比值的相對誤差，如表2。

表2 過流面積和閥門面積比的相對誤差

由表2可知，由（5）式得到的過流面積和閥門面積的比值與原來的過流面積和閥門面積比值的相對誤差是很小的，即由多元線性回歸模型得到的過流面積和閥門面積比值Y1與關閉角度 x在區間［0，50），［50，80）上的函數關系是合理的。

3.2 阻力系數Y2與關閉角度x的函數關系

根據表1中關閉角度x和相對應的阻力系數Y2的數值，可得到關閉角度x和對應的阻力系數的自然對數1nY2的數值，如表3。由MATLAB軟件可繪制出（xi，1nY2i）（其中i=1，2，…，19）的散點圖，如圖 3 所示。

表3 關閉角度所對應阻力系數的自然對數

根據圖3，對阻力系數的自然對數1nY2與關閉角度x的關系，可用二次函數進行回歸分析。經回歸分析的實驗驗證：①當只采用一個二次函數進行回歸分析時，誤差較大，所以需要采用分段函數的形式；②分段區間選擇［0，25），［25，50），［50，80），［80，85］，［85，90］ 較為精確；③在區間段［0，25），［25，50），［50，80）用二次函數進行回歸分析，這時誤差很小，在區間［80，85］，［85，90］上適合用原來的直線插入法。

對阻力系數的自然對數1nY2和關閉角度x，用二次函數1nY2=β0+β1x+β2x2進行回歸分析，通過轉換為多元線性回歸模型，運用多元線性回歸模型的原理，并由MATLAB軟件進行矩陣計算，得：

Y2可由（6）式推出。

圖3 （xi，1nY2i）的散點圖

圖4 Y2與x函數關系圖

由MATLAB軟件可繪制出（6）式及在區間［80，85］，［85，90］上運用直線插入法得到的函數圖象，如圖4。可以看出，圖4與圖3較為接近。

表4 阻力系數的相對誤差

為進一步判斷由（6）式所確定的阻力系數與關閉角度的函數關系的準確性，可以計算閥門關閉角度每隔5°時，由（6）式計算得到的阻力系數與原阻力系數的相對誤差，如表4。

由表4可知，由（6）式所得阻力系數與原阻力系數的相對誤差較小，所以，用多元線性回歸模型得到的阻力系數Y2與關閉角度 x 在區間［0，25），［25，50），［50，80）上的函數關系是可行的。

4 結束語

根據蝶閥關閉角每隔5°時，相對應的阻力系數和過流面積與閥門面積比的離散數值，首先，用MATLAB軟件分別繪制出過流面積與閥門面積的比值關于關閉角度的離散圖，以及阻力系數和關閉角度的離散圖；其次，運用多元線性回歸分析原理，給出了在區間［0，80）上過流面積與閥門面積的比值關于關閉角度的函數關系式，以及阻力系數和關閉角度的函數關系式；最后，分別對兩個函數關系式進行了相對誤差分析，證實了兩個函數關系的合理性和有效性。通過文中得到的兩個函數關系式，可以使蝶閥關閉規律在水力過渡過程數值模擬的運用中變得更為精確、易行。

［1］孫榮恒.應用數理統計［M］.北京：科學出版社，2003：195-198.

［2］龔劍，朱亮.MATLAB入門與提高［M］.北京：清華大學出版社，2000：30-39.