含兩個相間裂紋葉片的失諧葉盤結構振動特性研究

王艾倫 黃 飛

中南大學現代復雜裝備設計與極端制造教育部重點實驗室,長沙,410083

0 引言

葉片—輪盤結構簡稱葉盤結構,是葉輪機械的關鍵部件。理論上,它是一種循環周期結構,其模態振型會均勻地沿圓周方向傳遞至整個結構,但實際上,材料缺陷、制造誤差以及使用磨損等因素,往往導致葉片的形狀、剛度和質量等參數沿周向分布不完全相同,引發失諧。失諧可能造成葉盤結構的振型沿周向不再均勻分布,某些葉片的響應幅值過高,即出現振動局部化現象[1]。

在過去幾十年里,由于葉片趨向于薄尺寸、輕質量和小展弦化,以及整體葉盤結構開始運用于葉輪機械等因素,從而增加了葉盤結構對失諧的敏感程度,導致因葉片振動引起的高周疲勞失效(high cycle fatigue,HCF)時有發生。為降低葉片HCF故障風險,預測葉盤結構在失諧情況下的響應,人們對失諧葉盤結構的振動特性以及帶來的影響做了大量研究,并取得了很多重要的成果[2-4]。然而,人們通常都假定葉盤結構失諧是由葉片隨機、微小的差異引發的,對于因制造誤差等因素引發的失諧來說這種假設是很合理的。但是,由于葉片工作條件惡劣,長期承受巨大的離心力和氣流等靜動載荷作用,故工作中的某些葉片會出現裂紋[5-7]。顯然,由裂紋葉片引發的失諧比由制造誤差等因素引發的隨機失諧要嚴重得多。裂紋會導致葉片固有頻率降低,急劇地改變葉盤結構動態特性。許多學者對含有裂紋的單個葉片振動特性做了深入研究[8-9],卻很少有人對裂紋葉片引發的葉盤結構失諧進行研究。直到最近兩年,國外才有相關論文發表。如Fang等[10]研究了含一個裂紋葉片的葉盤結構振動局部化問題,并探討了耦合度、裂紋深度以及激振力形式變化對失諧葉盤結構振動局部化程度的影響;Hou[11]對裂紋葉片引發葉盤結構失諧的機理做了較詳細的研究,并分析了含一個裂紋葉片的失諧葉盤結構的振動特性。以上研究幾乎都針對含一個裂紋葉片的情況,很少有人對多個裂紋葉片引發失諧的葉盤結構振動特性進行研究。在實際工程中,裂紋往往同時出現在好幾個葉片上,故有必要對多個裂紋葉片引發的葉盤結構失諧問題進行探討。由于裂紋的產生具有隨機性,這里僅考慮兩個位置相對特殊的相間裂紋葉片的情況。

本文基于集中質量葉盤結構模型,研究含兩個相間裂紋葉片的失諧葉盤結構的振動特性。

1 含兩個相間裂紋葉片的失諧葉盤結構的振動方程

圖1所示為集中質量葉盤結構的物理模型。假定輪盤是半徑為r的剛性輪盤,N個葉片模擬為固定在輪盤上的集中質量梁,m b,i、k b,i和c b,i分別為第i個葉片(i=1,2,…,N)的質量、剛度和黏性阻尼,所有葉片的質量和黏性阻尼均相等,其值分別為m b和c b。在諧調情況下,葉片剛度為k b,c c、k c分別代表葉片間阻尼和各種耦合剛度。現假定第i個葉片上含有穿透型裂紋,并定義第i個裂紋葉片的失諧度為

式中,ωb,i為第i個裂紋葉片固有頻率;ωb為葉片固有頻率。

在不考慮非線性因素以及葉片間阻尼的情況下,推導出第i個裂紋葉片振動方程：

式中,R為葉盤結構的耦合度;ωc為等效耦合頻率;xi為第i個裂紋葉片的振動位移;ξ為黏性阻尼比;Fi(t)為作用于第i個裂紋葉片的激振力。

圖1 集中質量葉盤結構物理模型

氣流經過非旋轉部件和旋轉部件時受到擾動,通常在葉盤結構的葉片上形成近似和諧形式的激振力,故第i個葉片上的激振力可假定為如下形式[12]：

式中,ω為激振力頻率;θ為激振力相位角,θ=2πE0/N;E0為激振力階次;F0為激振力幅值。

對于循環對稱結構有x0≡xN,x1≡xN+1,故含N個裂紋葉片的失諧葉盤結構整體振動方程可用矩陣形式表示：

這里只考慮含兩個相間裂紋葉片的情況,不妨假定只有第1、3個葉片含有裂紋(N階矩陣A中僅R21≠1+2R2,R23≠1+2R2,即僅δ1、δ3不為零)。采用實模態理論的模態疊加法可得第i個葉片的振動位移：

式中,ωN,k、Φk分別為含兩個相間裂紋葉片的葉盤結構第k階固有頻率和第k個特征向量;φi,k為第k個特征向量的第i個元素。

由以上推導可知,只要計算出裂紋葉片的固有頻率就能得到葉片的振動位移。文獻[12]采用裂紋位置固定的集中質量懸臂梁模型推導了裂紋葉片的固有頻率,但其求解裂紋葉片的局部柔度系數方法有待改進,且模型僅考慮了裂紋位于葉根的情況,無法研究裂紋位置改變對葉片固有頻率的影響。為推出裂紋參數與葉片固有頻率之間的準確關系,本文將裂紋葉片模擬為如圖2所示的含裂紋的集中質量懸臂梁,其等效集中質量為mb,長度為L,寬度為b,厚度為h,裂紋深度為a,距離自由端長度為l。設葉片的固有頻率為ωb,裂紋葉片的固有頻率為ωrb,由圖2含裂紋集中質量懸臂梁物理模型并結合文獻[13]相關結論,ωb與ωrb的關系可表示為

式中,E為懸臂梁彈性模量;I0為梁橫截面慣性矩;C為裂紋葉片的局部柔度系數。

圖2 含裂紋集中質量懸臂梁物理模型

由式(6)～式(12)可推導出裂紋葉片的固有頻率與裂紋深度以及裂紋位置的關系。

2 含兩個相間裂紋葉片的失諧葉盤結構振動特性

2.1 失諧葉盤結構的固有特性

基于圖2所示物理模型,設定結構參數如下：b=85mm,h=5mm,L=170mm,m b=0.37kg,根據葉盤結構實際工況,裂紋一般發生在葉根,故僅考慮裂紋位于葉根的情況(l=L)。并定義裂紋深度與葉片寬度的比值(a/b)為裂紋深度比,其取值范圍為0(不含裂紋的情況)到0.7(裂紋深度為葉片寬度的70%),頻率比表示含裂紋的葉片固有頻率與葉片固有頻率的比值。將上述參數代入式(6)～式(12)可以得到裂紋深度比與葉片固有頻率之間的關系,如圖3所示。從圖3可以看出,葉片固有頻率隨著裂紋深度比單調減小,且當裂紋深度比較小時,葉片固有頻率變化不明顯。

下面僅考慮具有12個葉片(N=12)的葉盤結構,并對所有葉片按順時針方向進行編號,如圖4所示,其中1號和3號葉片根部有完全相同的穿透型裂紋。

圖3 葉片固有頻率與裂紋深度比的關系

圖4 具有12個葉片的葉盤結構葉片序號

圖5 反應了處于不同耦合條件下,葉盤結構固有頻率隨裂紋深度比的變化規律。從圖5可以看出,當葉盤結構處于弱耦合和中等耦合條件下,隨著裂紋深度比增大,葉盤結構基頻 f 1逐漸降低,第一對重固有頻率 f2、f3發生明顯分離。在強耦合條件下,葉盤結構各階固有頻率幾乎保持不變。與僅含一個裂紋葉片的失諧葉盤結構固有頻率變化情況[11]比較分析可發現,在弱耦合和中等耦合條件下,兩個相間裂紋葉片引起葉盤結構重固有頻率對發生顯著分離,而在強耦合條件下,葉盤結構的固有頻率對裂紋葉片個數變化不敏感。由此可見,即使葉盤結構出現了兩個裂紋葉片,在裂紋深度比較小或結構處于強耦合條件下,通過檢測葉盤結構固有頻率來監測裂紋是不科學的。

圖6顯示了在不同耦合條件下葉盤結構一階固有振型隨裂紋深度比的變化規律,其中Ai為裂紋葉盤結構的葉片振幅,A0為諧調葉盤結構的葉片振幅。由圖6可知,葉盤結構一階固有振型的局部化程度隨著耦合度增大而減弱。通過與含有一個裂紋葉片的葉盤結構一階固有振型變化情況[11]比較可知,模態局部化現象都發生在引發葉盤結構失諧的裂紋葉片上,且含兩個相間裂紋葉片的葉盤結構模態局部化現象更加嚴重,模態更加復雜。

圖5 葉盤結構固有頻率與裂紋深度比的關系(f i為葉盤結構第i階固有頻率)

圖6 葉片相對振幅與裂紋深度比的關系

圖7 裂紋葉片對葉盤結構動態響應特性的影響(E=3,R=0.12,a/b=0.15)

2.2 失諧葉盤結構的響應特性

圖7 表明了含有兩個相間裂紋葉片、含一個裂紋葉片和不含裂紋葉片的葉盤結構葉片最大響應幅值與激勵頻率之間的關系。從圖7可以看出,含兩個相間裂紋葉片的葉盤結構頻響曲線出現多個峰值,共振頻率下移,共振區域變寬。這是由于兩個相間裂紋葉片導致葉盤結構基頻降低和重固有頻率對顯著分離,進一步增大葉盤結構的振動響應局部化程度。顯然,兩個相間裂紋葉片的出現使葉盤結構動力響應特性更加復雜。

圖8所示為含兩個相間裂紋葉片的失諧葉盤結構的葉片振幅放大因子,隨裂紋深度比的變化規律。振幅放大因子定義為在共振區域內失諧葉盤結構的葉片最大振幅與諧調葉盤結構的葉片最大振幅的比值。圖8表明,隨著耦合度增大,失諧葉盤結構的奇數號葉片振幅放大因子趨于1、3號葉片振幅放大因子,偶數號葉片的振幅放大因子趨于2、8號葉片振幅放大因子。通過與含一個裂紋葉片的失諧葉盤結構振幅放大因子變化情況[11]比較分析可知,兩個相間裂紋葉片的出現使失諧葉盤結構的葉片振幅放大因子隨裂紋深度比的變化明顯,但裂紋葉片的振幅放大因子并沒有發生突變。尤其值得注意得是,位于兩個相間裂紋葉片之間的葉片(2號)以及與其相隔180°的葉片(8號)對裂紋深度比的變化極不敏感,而且初步研究表明該結論具有普遍性。

圖8 葉片振幅放大因子與裂紋深度比的關系(E=3)

3 結論

(1)對文獻[12]中求解裂紋葉片的局部柔度系數方法進行了改進,考慮了裂紋位置對葉片固有頻率的影響,得到了裂紋葉片的固有頻率與裂紋深度以及裂紋位置的準確關系。

(2)模態局部化現象都發生在引發葉盤結構失諧的裂紋葉片上,且含兩個相間裂紋葉片的失諧葉盤結構模態局部化現象更加嚴重,模態更加復雜。

(3)兩個相間裂紋葉片導致葉盤結構重固有頻率對顯著分離,進一步增大失諧葉盤結構的振動響應局部化程度,從而使葉盤結構的振動特性更加復雜,導致葉片過早的HCF失效。

(4)在共振區域內,隨著裂紋深度比的增加,含兩個相間裂紋葉片的失諧葉盤結構的絕大多數葉片振幅變化明顯,但出現兩個對裂紋深度變化極不敏感的特殊葉片,這可為工程中裂紋葉片的檢測提供理論依據。

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