一種基于神經網絡算法的非線性PID控制器

李桂梅，曾喆昭

(1. 湖南商學院 計算機與電子工程學院，湖南 長沙，410205；2. 長沙理工大學 電氣與信息工程學院，湖南 長沙，410076)

隨著系統復雜程度的提高和對象不確定性因素的增多，傳統的PID控制已經不再適用，而非線性PID控制能真實反映控制量與偏差信號之間的非線性，在一定程度上克服了線性PID控制的缺陷。近10年來，國內外許多研究者將非線性特性引入PID控制器的設計[1-9]。目前，由多種方式合成的非線性 PID控制器主要有模糊系統[10]、人工神經網絡[11]以及基于經驗式的非線性函數設定[1-7,9,12-13]等。從原理上說，非線性特性的引入可以為控制過程帶來許多益處，如補償被控對象的非線性、改善控制性能、提高控制系統的魯棒性等，為控制器的設計提供新的自由度，但在理論與應用研究中較復雜[9]。在這種情況下，研究一種設計簡單、使用方便的非線性PID控制器具有重要的理論意義和應用價值?；诮涷炇降姆蔷€性函數設定方法是使常規PID控制器的比例增益系數Kp、積分增益系數Ki和微分增益系數Kd成為偏差信號e(t)的非線性函數，即 Kp(e(t))，Ki(e(t))和 Kd(e(t))，然后，以這 3個函數來代替常規PID控制器的3個增益系數。盡管以偏差信號作為生成非線性函數 Kp(e(t))，Ki(e(t))和Kd(e(t))的依據，但生成過程究竟符合什么樣的規律并沒有固定的公式可利用，這正是建立非線性PID控制器模型的關鍵。要得到非線性函數Kp(e(t))，Ki(e(t))和Kd(e(t))的準確解析式很復雜，在此，本文作者通過分析常規PID參數隨系統過渡過程誤差變化的理想變化關系[14]，分別給出比例、積分和微分增益參數關于誤差的動態非線性函數，從而獲得非線性 PID的可用模型。

1 非線性PID控制器模型

Kp，Ki和Kd3個參數隨誤差e(t)變化的關系曲線如圖1所示[14]，這些曲線揭示了Kp，Ki和Kd3個參數在PID控制過程中的作用和物理意義。

圖1 PID 3個增益參數隨誤差的變化曲線Fig.1 PID gain parameters of three curves with error

(1) Kp的作用是減小超調，增加快速性，因而要求當誤差|e(t)|較大時，Kp也較大；當|e(t)|較小時，Kp也較小?？捎蓤D1構造Kp關于誤差e(t)的動態非線性函數為

(2) Ki的作用是累積系統誤差，以減小系統靜態偏差，因而，要求當|e(t)|較大時，Ki較??；當|e(t)|較小時，Ki較大，其物理意義明確，可由圖1構造Ki關于誤差e(t)的動態非線性函數為：

這里要特別指出的是：當出現積分飽和情況時，通過系數w2的自適應調整可有效避免積分飽和的情況。

(3) Kd的作用是增加系統阻尼，對系統起到提前校正、達到提高系統穩定性的目的，因而要求超調(e(t)＜0)越多時，Kd越大；欠調(e(t)＜0)越多時，Kd越小；在穩定值附近(e(t)≈0)時，Kd介于超調和欠調時的之間。因此，可由圖1構造Kd關于誤差e(t)的動態非線性函數為

從形式上看，式(1)～(3)都是關于誤差信號e(t)的二次函數，但是，由于系數w1，w2和w3都是動態系數，因此，由式(1)～(3)構造的非線性函數具有高度非線性，最終得出的動態非線性PID模型為：

將式(1)～(3)代入式(4)，經整理得：

為了便于CPU處理，將式(5)離散為

其中：T為采樣周期，是1個常數。將T分別隱含到系數w2和w3中，并設

則式(6)可簡寫為

i22微分項為

式(7)所示的非線性控制率給出了明確的物理意義：在超調(e(k)＜0且e(k)→ -1)時，非線性PID控制器主要由非線性比例項和非線性微分項起決定作用，而非線性積分項的作用很??；在欠調(e(k)＞0且e(k)→1)時，主要由非線性比例項起決定作用，而非線性微分項和積分項起的作用很??；在穩定值附近(|e(k)|較小)時，主要由非線性積分項、微分項起決定作用，而非線性比例項的作用很小。這在很大程度上保證了系統在過渡過程中PID參數隨誤差變化的理想變化關系。

2 動態非線性 PID神經網絡控制器模型算法

2.1 動態非線性PID神經網絡控制器模型

由式(7)可知，若以]1,1[)(-∈ke和u(k)分別為神經網絡的輸入和輸出，并以動態系數w1，w2和w3為網絡權值，以非線性函數 e3(k)，[1-e2(k)]s(k)和[1-e(k)+0.5e2(k)]Δe(k)為隱層神經元激勵函數，則可得到網絡拓撲結構為1×3×1的動態非線性PID神經網絡控制器，其模型如圖2所示。其中：s1(k)=e3(k)；s2(k)=[1-e2(k)]s(k)； s3(k)= [1-e(k)+0.5e2(k)]Δe(k)； s(k)=s(k-1)+e(k)；s(-1)=0；Δe(k)=e(k)-e(k-1)，e(-1)=0。

動態非線性 PID神經網絡控制器模型如圖 2所示。由圖2可知：本文研究的動態非線性PID神經網絡控制器不僅保留了常規 PID控制器結構簡單的特點，而且構造了PID增益參數關于誤差信號的動態非線性函數。因為w1，w2和w3是動態權值，因而實現了PID增益參數的高度非線性，并將其分別融入到3個隱層神經元中，通過神經網絡的實時在線訓練來獲取權值系數，有效避免了常規神經網絡控制器隱層神經元節點數難以確定的問題。

2.2 動態非線性PID神經網絡控制器算法

由圖 2可知，系統初始誤差函數為：E(k)=r(k)-y(k)，通過比例閾值函數可得歸一化誤差信號e(k)(非線性PID神經網絡智能控制器的輸入信號)為

定義性能指標為：

其中：

作為一個整體，通過對神經網絡輸出u(k) (見式(7))表達式中的權值系數的優化，使性能指標J最小。采用最速下降法，網絡權值訓練算法如下：

由式(7)～(11)可得：

圖2 動態非線性PID神經網絡控制器模型Fig.2 A controller model of dynamic nonlinear PID neural network

2.3 非線性PID神經網絡算法

由 式(17)～(19)可 知 ： E ( k+1)和 yu(k)=均與系統的未來輸出y(k+1)(未知)有關，因而，神經網絡權值訓練時會出現計算困難問題。國內外許多研究者采用被控對象的模型辨識方法來解決此問題，但是，計算量也大，實時性差，而且對于時變系統，模型辨識不能實現。

若算法是收斂的，則必有|E(k+1)|＜|E(k)|，且|e(k)|＜|E(k)|，故只要滿足|E(k+1)|＜|e(k)|即可保證算法收斂的。據此，設 E ( k + 1 )=αe(k)，且0＜α＜1。由于α可通過學習率μ來彌補，因此，可將α隱含在學習率μ中。

此外，用符號函數來替代 ? y(k +1)/?u(k)也是可行的。因為其符號的正負只決定權值變化的方向，其數值只影響權值的變化速度，而權值變化速度也可通過學習率μ彌補。設

則式(17)～(19)可改寫為：

α已隱含在學習率η中。為了有效避免因權值過大引起神經網絡訓練過程中出現振蕩現象，通常對權值進行歸一化處理，即

由式(21)～(23)可知，權值的計算只與當前或歷史的系統輸入(r(k)和r(k-1))、輸出(y(k)和y(k-1))以及歷史控制信號(u(k-1)和u(k-2))有關，因而有效解決了權值計算問題。由于本文研究的非線性PID神經網絡控制器只涉及乘法和加法運算，便于CPU處理，因此，計算簡單，計算量小，便于實際應用。

2.4 算法收斂性

為了保證系統穩定工作，必須對算法的收斂性進行理論研究，以便為確定學習率提供理論依據，避免選擇學習率的盲目性。

將E(k +1)=αe(k)和式(26)代入式(25)，并整理可得：

由式(27)知：要使神經網絡算法收斂，必須有下式成立：

2.5 算法步驟

(1) 神經網絡權值初始化：wj=0(j=1, 2, 3)，設s(-1)=0，e(-1)=0，u(m)=0，y(m)=0(m=-1, -2, …)；

(2) 計算系統初始誤差：E(k)=r(k)-y(k)，由式(8)計算歸一化誤差e(k)；

(3) 分別計算累積誤差和差分：s(k)=s(k-1)+e(k)，Δe(k)=e(k)-e(k-1)；

(4) 由式(20)計算符號差商)(?kyu，并計算學習率

(5) 由式(21)～(23)遞推計算神經網絡權值系數w1，w2和w3，由式(24)對權值進行歸一化處理；

(6) 由式(7)計算非線性PID控制器的控制率u(k)，即

(7) 返回步驟(2)重復上述計算過程，以實現非線性 PID神經網絡智能控制器的在線實時優化控制過程。

3 仿真結果

為了驗證動態非線性PID神經網絡智能控制器的有效性，選擇文獻[15]中的對象A和B進行仿真實例研究。

例1 對象A是1個一階慣性大、純滯后工藝對象，且1/＞＞Tτ，其傳遞函數為[15]

由文獻[15]可知：若利用常規控制算法控制該對象，則很難獲得滿意的控制效果。在本文算法中，使權值的初始值為0，給定學習率η=2×10-3，采樣周期為0.1 s，通過神經網絡實時在線訓練，其仿真結果如圖3(a)所示，文獻[15]中的仿真結果如圖3(b)所示。

圖3 實例1仿真結果Fig.3 Simulation results of example 1

由圖 3可知：采用本文方法，調節時間約為400 s，而采用NOIC方法[15]則需要650 s。由圖3(b)還可知：使用傳統PID控制方法無法對該對象實現有效控制。

例2 對象B是1個非線性對象，其離散化方程為[15]：

其中：u(k)和y(k)分別是被控對象的輸入和輸出變量。在本文算法中，使權值的初始值為 0，給定學習率為η=2×10-4，設采樣周期為0.1 s，通過神經網絡在線訓練，其仿真結果如圖 4(a)和4(b)所示，且超調量為1.33×10-13%，穩態誤差為0，調節時間為5 s。而文獻[15]中的仿真結果如圖 4(c)所示，超調量為 15%，穩態誤差為0，調節時間為10 s。

圖4 實例2仿真結果Fig.4 Simulation results of example 2

4 結論

(1) 通過分析常規PID參數隨系統過渡過程誤差變化的理想變化關系，分別給出了比例、積分和微分增益參數關于誤差信號的二次非線性函數，不僅大大簡化了3個增益參數的非線性函數模型，而且通過神經網絡在線訓練使3個增益參數的非線性函數模型分別隨權值w1，w2和w3實時動態變化，從而獲得將動態非線性PID控制與神經網絡控制融為一體的智能控制模型。

(2) 計算機仿真結果驗證了本文基于神經網絡算法的非線性PID控制器的有效性。與傳統PID控制器相比，采用本文方法不僅計算量大大減小，便于實際應用，而且超調小，調節時間短。

[1] HAN Jin-qin. Nonlinear PID controller[J]. Acta Automatica Sinica, 1994, 20(4): 487-490.

[2] CHENG Zhong, YAN Wei, LI Zu-shu, et al. HSIC-based nonlinear PID controller[J]. Control and Decision, 2003, 18(6):694-697.

[3] XU Ying, Hollerbach J M, Ma D. A nonlinear PD controller for force and contact transient control[J]. IEEE Control Systems Magazine, 1995, 15(1): 15-21.

[4] Shahruz S M, Schwartz A L. Nonlinear PI Compensators that achieve high performance[J]. Journal of Dynamic Systems Measurement and Control, 1997, 119: 105-110.

[5] HU Bao-gang, Mann G KI, Gosine R G. Control curve design for nonlinear (or fuzzy) proportional actions using spline-based functions[J]. Automatica, 1998, 34(9): 1125-1133.

[6] Bucklaew T P, LIU Chun-sha S. A new nonlinear gain structure for PD-type controllers in robotic applications[J]. Journal of Robotic Systems, 1999, 16(11): 627-649.

[7] Armstrong B, Neevel D, Kusik T. New results in NPID control:Tracking, integral control, friction compensation and experimental results[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2001, 9(2): 399-406.

[8] GAO Zhen. From linear to nonlinear control means: a practical progression[J]. ISA Transactions, 2002, 41(2): 177-189.

[9] 胡包鋼. 非線性 PID控制器研究: 例分量的非線性方法[J].自動化學報, 2006, 32(2): 219-227.HU Bao-gang. A study on nonlinear PID controllers:Proportional component approach[J]. Acta Automatica Sinica,2006, 32(2): 219-227.

[10] HU Bao-gang, YING Hao. Review of fuzzy PID control techniques and some important issues[J]. Acta Automatica Sinica,2001, 27(4): 567-584.

[11] Ruano A E B, Fleming P J, Jones D I. Connectionist approach to PID autotuning[J]. IEE Proceedings D: Control Theory and Applications, 1992, D139(3): 279-285.

[12] 韓華, 羅安, 楊勇. 一種基于遺傳算法的非線性PID控制器[J].控制與決策, 2005, 20(4): 448-454.HAN Hua, LUO An, YANG Yong. A nonlinear PID controller based on genetic tuning algorithm[J]. Control and Decision,2005, 20(4): 448-454.

[13] 郭彥青, 姚竹亭, 王楠. 非線性PID控制器研究[J]. 中北大學學報: 自然科學版, 2006, 27(5): 423-425.GUO Yan-qing, YAO Zhu-ting, WANG Nan. The study on non-linear PID controller[J]. Journal of North University of China: Natural Science Edition, 2006, 27(5): 423-425.

[14] 劉金琨. 先進PID控制及其MATLAB仿真[M]. 北京: 電子工業出版社, 2003: 20-80.LIU Jin-kun. Advanced PID control and MATLAB simulation[M]. Beijing: Electronic Industry Press, 2003: 20-80.

[15] 劉寶, 丁永生, 王君紅. 基于NEI調節機理的非線性智能優化控制器[J]. 控制與決策, 2008, 23(10): 1159-1162.LIU Bao, DING Yong-sheng, WANG Jun-hong. Nonlinear optimized intelligent controller based on modulation of NEI system[J]. Control and Decision, 2008, 23(10): 1159-1162.