一般6-SPS并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)正解的解析化方法

程世利 吳洪濤 王超群,2 姚 裕 朱劍英

1.南京航空航天大學(xué),南京,210016 2.南京農(nóng)業(yè)大學(xué),南京,210031

0 引言

一般6-SPS并聯(lián)機構(gòu)是指動靜平臺均為平面任意六邊形,且兩平臺通過6條腿進行驅(qū)動和控制的并聯(lián)機構(gòu)。6-SPS并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)正解問題至今為止仍沒有得到圓滿解決。求解該問題的主要方法有解析法和數(shù)值法[1]。解析法求解可以得到全部的運動學(xué)正解,適合進行理論分析,但是其求解過程極其復(fù)雜[2]。在過去的十幾年中,國內(nèi)外眾多學(xué)者采用不同的方法對這一問題進行了研究,得出了一般6-SPS并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)正解具有40個解的結(jié)論[3-6]。Zhang等[7]通過求解一個21階的系數(shù)行列式得到了一元20次代數(shù)方程。Wu等[8]通過構(gòu)造15個相容方程,求解15階的系數(shù)行列式,也得到了一元20次代數(shù)方程。文獻[9-10]分別通過Gr?bner基得到了15個相容方程,求解15階的系數(shù)行列式,同樣得到了一元20次代數(shù)方程。這些方法中求解的系數(shù)行列式無論是21階還是15階,其計算速度均難以滿足工程應(yīng)用的需要,系數(shù)行列式的階數(shù)還需要進一步降低。

借鑒文獻[10-11]的方法,結(jié)合獨立研究的成果,筆者提出了一種求解一般6-SPS并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)正解的解析化方法。將9個變量中的6個變量用其余的3個變量表達;利用Gr?bner基算法,增加9個方程,從而使得用于問題求解的相容方程達到15個;采用正交補消元法進行逐步消元,最終通過求解一個10階系數(shù)行列式,將一般6-SPS并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)正解問題表達為一元20次的代數(shù)方程。

1 基本定義

一般6-SPS并聯(lián)機構(gòu)如圖1所示,動靜平臺的6個球鉸中心分別位于兩個平面之中。在這兩個平面上分別取一點O′、O作為動靜坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點。Z′軸、Z軸分別垂直于各自的平臺平面,動坐標(biāo)系 O′X′Y′Z′與動平臺固連 ,靜坐標(biāo)系OXYZ與靜平臺固連。

圖1 一般6-SPS并聯(lián)機構(gòu)示意圖

為了研究問題的方便,旋轉(zhuǎn)矩陣采用方向余弦矩陣R來描述：

動坐標(biāo)系坐標(biāo)原點在靜坐標(biāo)系中的位置矢量P=[PxPyPz]T,則一對頂點之間的連桿矢量為

式中,lk為桿k的長度;ek為桿k的方向單位矢量;ak為動平臺頂點在動坐標(biāo)系中的矢量;bk為靜平臺頂點在靜坐標(biāo)系中的矢量。

對式(2)取矢量的模,就有桿長的標(biāo)量方程式。顯然,將其平方展開之后,由于動平臺頂點與靜平臺頂點為平面布置,所以a k、b k的Z分量為零,設(shè)W=[WxWyWz]T是P在動坐標(biāo)系中的矢量表達式,則得到平方桿長的方程式(為了表達簡潔,略去下標(biāo)k)：

2 運動學(xué)正解的消元過程

2.1 主次變量的線性表示

式中,Aa0∈ R6×6,Aa1∈ R6×4為系數(shù)矩陣。

現(xiàn)在就可以通過式(5)將η1中的分量用η2中的分量表達出來：

由式(6)可以看出每一個主變量均與3個次變量存在著線性關(guān)系。在式(6)中,cij(i=1,2,…,6;j=0,1,2,3)為由動靜平臺的頂點坐標(biāo)和桿長決定的參數(shù),對于一個具體的問題,當(dāng)桿長給定以后它們都是常數(shù)。

2.2 基本相容方程

由于旋轉(zhuǎn)矩陣 R是正交矩陣,所以有如下關(guān)系：

通過對式(4)、式(6)及式(7)進行不同的組合后就得到了6個只含有 ξ6、ξ7、ξ9三個變量的四次方程式：

2.3 基于Gr?bner基的相容方程

Buchberger引進的Gr?bner基方法是多項式消元的高效率手段[12]。Gr?bner基的基本思想是,在原非線性多項式系統(tǒng)所構(gòu)成的多項式環(huán)內(nèi),通過對變量多項式的適當(dāng)排序,求多項式的S-多項式并進行約簡和消元,最后生成一個與原系統(tǒng)完全等價且便于直接求解的三角化標(biāo)準(zhǔn)基[10]。借助于這個思想可以找到更多的相容方程來求解并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)正解問題。

在科學(xué)計算軟件Mathematica中提供了基于Buchberger算法的指令。在這里對相容方程eq1～ eq6求Gr?bner基,變量的分次字典序列為,在所求得的基中選取階數(shù)不高于四次的9項來解決并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)正解問題：

采用不同的分次字典序得到的Gr?bner基的數(shù)量也是不同的,但是對于確定的分次字典序,Gr?bner基的數(shù)量是確定的,順序也是確定的。

2.4 正交補消元

本節(jié)研究應(yīng)用正交補方法進行消元,將一般6-SPS并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)正解表達為一元20次代數(shù)方程。具體思路是先用1、ξ7和ξ9分別乘以eq 1～eq 15這15個方程,這樣方程的總數(shù)就變?yōu)?5,但同時ξ7和ξ9最高的次數(shù)升高到了5;然后將ξ6作為保留變量,消去ξ7和ξ9,最后可以得到只含有ξ6的一元20次代數(shù)方程。

將45個方程簡寫為矩陣的形式,就有

經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn),M 1中元素是ξ6的四次多項式,M 2中元素是ξ6的一次多項式,M 3中元素是ξ6的零次多項式,即M3是常數(shù)矩陣。現(xiàn)在的主要任務(wù)是采用正交補消元的方法,不僅要把λ2、λ3消去,還要把M 1中的關(guān)于ξ6的三次項和四次項消去。

具體計算是采取逐步消去的方法,最終得到關(guān)于 λ1的方程組：

或者簡記為

其中,M ∈R20×10,為常數(shù)項矩陣,N11為M中的系數(shù)矩陣為M中的系數(shù)矩陣。

計算表明,M的每個元素都是ξ6的二次多項式,任取M中的10行記為M s,根據(jù)齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式為零,則有

通過式(21)就可以得到關(guān)于ξ6的一元20代數(shù)方程。Ms的階數(shù)為10,可以在計算軟件中直接使用det命令求解,而且計算速度也是令人滿意的。在方程的階數(shù)上盡管同樣是20次,但是本文算法可以直接給出關(guān)于位姿變量的一元20次方程的表達式,而且計算速度快,這是區(qū)別于其他算法的優(yōu)勢。關(guān)于位置與姿態(tài)的其他分量,可以很容易地由本文有關(guān)公式及旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性計算得出。

3 運動學(xué)正解數(shù)值算例

在本節(jié)中用一個具體的計算實例來驗證本文方法的正確性。動靜平臺頂點的坐標(biāo)參數(shù)來源于文獻[10],如表1所示。由于是平面布置,所以Z坐標(biāo)分量為零。

表1 動靜平臺坐標(biāo)參數(shù)

為了方便地確定算法的正確性,先計算一組反解,用得到的桿長條件進行正解計算。旋轉(zhuǎn)矩陣R為

動平臺位置矢量P=[6 7 8]T。經(jīng)過反解計算得到的桿長如下：l1=12.3607,l2=10.9525,l3=14.5091,l4=18.7247,l5=18.2090,l6=18.0355。

按照本文所提出的算法進行并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)正解的計算,便可以得到關(guān)于ξ6的一元20代數(shù)方程。由于M ∈ R20×10,便導(dǎo)致M s有多個,即最終的一元20次方程有多個。本文取了其中的8個,它們在[-1,1]之間的曲線如圖2所示,其中一條曲線的代數(shù)方程如下：

圖2 ξ6的曲線示意圖

經(jīng)過計算可以得知,這8個方程具有相同的根,它們是-3.995 760,-3.623 640,-2.271 930,-0.894 215,-0.725 021,-0.240 800,-1.303 730-2.675 810i,-1.303 730+2.675 810i,34.426 100-5.284 850i,34.426 100+5.284 850i,0.663 737,0.731 804,1.188 710,1.228 070,28.722 700,35.962 100,1.196 870-0.568 458i,1.196 870+ 0.568 458i,0.628 531 -0.755 161i,0.628 531+0.755 161i。

由旋轉(zhuǎn)矩陣 R可知,ξ6初始設(shè)置的值為-0.240 800,方程中的根包含了這個值,這表明本文的算法是完全正確的。受篇幅所限,位置與姿態(tài)的其他分量計算以及裝配模式從略。

4 結(jié)束語

本文提出了一般6-SPS并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)正解的解析化方法。運用Gr?bner基算法,擴充了9個相容方程,使得相容方程增加到15個。這些增加的有用信息,對于解決問題是有幫助的。基于這15個相容方程,應(yīng)用正交補方法,通過求解一個10階行列式將一般6-SPS并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)正解問題表達為一元20次的代數(shù)方程。

如果動靜平臺的頂點布置方式取為目前應(yīng)用較多的類型,也就是它們均對稱地布置圓周上時,應(yīng)用本文所提出的算法,將得到更優(yōu)的結(jié)果。最終一元高次方程的階數(shù)將會低于20次,關(guān)于這方面的問題將另文研究。

[1] 李鷺揚.6-SPS型并聯(lián)機床若干關(guān)鍵理論研究[D].南京：南京航空航天大學(xué),2007.

[2] Merlet J P.Parallel Robots[M].Berlin：Springer,2006.

[3] Hunt K H,Primrose E J F.Assembly Configurations of Some In-parallel-actuated Manipulators[J].Mechanism and Machine Theory,1993,28(1)：31-42.

[4] Wampler C W.Forward Displacement Analysis of General Six-in-parallel SPS Platform Manipulators Using Soma Coordinates[J].Mechanism and Machine Theory,1996,31(3)：331-337.

[5] Husty M L.An Algorithm for Solving the Direct Kinematics of General Stewart–Gough Platforms[J].Mechanism and Machine Theory,1996,31(4)：365-379.

[6] Raghavan M.The Stewart Platform of General Geometry Has 40 Configurations[J].ASME Journal of Mechanical Design,1993,115(2)：277-282.

[7] Zhang Chang-de,Song Shin-Min.Forward Position Analysis of Nearly General Stewart Platforms[J].ASME Journal of Mechanical Design,1994,116(1)：54-60.

[8] Wu Wenda,Huang Yuzheng.The Direct Kinematic Solution of the Planar Stewart Platform with Coplanar Ground Points[J].Journal of Computational Mathematics,1996,14(3)：263-272.

[9] Dhingra A K,Almadi A N,Kohli D.A Gr?bner-Sylvester Hybrid Method for Closed-form Displacement Analysis of Mechanisms[J].ASME Journal of Mechanical Design,2002,122(4)：431-438.

[10] 黃昔光,廖啟征,魏世民,等.一般6-6型平臺并聯(lián)機構(gòu)位置正解代數(shù)消元法[J].機械工程學(xué)報,2009,45(1)：56-61.

[11] 黃真,趙永生,趙鐵石.高等空間機構(gòu)學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2006.

[12] 王東明.消去法及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2002.