嚙合過程中人字齒行星傳動齒輪齒根彎曲應力計算方法

常樂浩 劉 更 吳立言 徐醫培

西北工業大學,西安,710072

0 引言

行星齒輪減速器多采用大螺旋角及大齒寬的人字齒傳動,具有較大的重合度。隨著齒面嚙合位置和嚙合節點載荷分配的變化,齒根的彎曲應力是不斷變化的。因此,計算出整個嚙合過程中變化的彎曲應力,才能滿足齒輪動強度與可靠性的要求。自20世紀70年代以來,國內外學者利用有限元法對齒輪彎曲應力的計算進行了很多研究[1-5],計算了嚙合過程中變化的彎曲應力和應力極值。但這些研究主要存在以下方面的局限性：①輪齒的幾何模型大多存在較多的近似處理(如以圓角代替過渡曲線),模型不夠準確;②分析多集中在直齒輪和小螺旋角的斜齒輪,對大重合度的人字齒輪研究較少;③齒輪載荷分布多沿嚙合線平均分配,不能反映真實的嚙合情形;④計算多為某一個嚙合位置下的輪齒應力,尚不能真實地得到高重合度齒輪最危險的齒根應力。

如需校核大重合度人字齒輪的彎曲強度,須計算一個嚙合周期中彎曲應力隨時間的變化歷程。這就必須建立更為準確的齒輪三維模型,同時計算出齒輪在不同嚙合位置下的載荷分配。本文將對這些問題進行研究,并提出適合行星傳動系統的齒輪彎曲應力計算方法。

1 齒輪參數化模型的建立

文獻[6]根據齒輪范成加工原理,通過刀具坐標系和齒面坐標系間相應的轉換關系,推導出了被加工齒輪的漸開線和過渡曲線的方程。根據已知的方程,利用三維建模軟件可對齒輪進行精確的建模。本次計算用到的齒輪基本參數如表1所示,建立的完整參數化模型如圖1所示。其中太陽輪右端為齒式聯軸器的一部分,與輸入軸相連;行星輪個數為3;內齒環外側為花鍵齒,兩個結構對稱的內齒環構成一組內齒輪,與組合齒圈等組件相連。

表1 各齒輪的基本參數

圖1 各齒輪的完整模型

2 載荷分配的計算

齒輪嚙合時嚙合齒對的數目是變化的,各輪齒間的載荷并非平均分配。對于直齒輪或小螺旋角的斜齒輪,多采用經驗公式計算不同時刻輪齒間的載荷分配。然而對大重合度的人字齒而言,經驗公式的計算結果通常不夠準確,所以必須尋找更為合理準確的方法。

卜忠紅等[7]提出了一種計算斜齒輪副嚙合剛度和載荷分配的新方法。該方法首先通過有限元計算得到齒面的柔度系數,再運用線性規劃法進行處理,可求出人字齒輪副在不同嚙合位置下的嚙合剛度,并能得到各條接觸線上的節點坐標和節點載荷。本研究中,外嚙合齒輪副的每個基節被劃分為8個嚙合位置,前4個嚙合位置在五齒嚙合區,后4個嚙合位置在四齒嚙合區,整個齒面共有36條接觸線;內嚙合齒輪副的每個基節被劃分為7個嚙合位置,前4個嚙合位置在五齒嚙合區,后3個嚙合位置在四齒嚙合區,整個齒面共有32條接觸線。

系統輸入功率為36 775k W,輸入轉速為3150r/min,每對外嚙合副的法向總載荷為237.6k N,每個內齒環嚙合副的法向總載荷為118.8k N。按文獻[7]計算得到太陽輪單側單齒和內齒環單齒所受的法向載荷歷程,如圖2所示。圖2中,端面基節比T為輪齒從進入嚙合到某一嚙合位置所經過的基圓弧長與基圓齒距的比值,數字4和5代表該位置時的嚙合齒對數。通過圖2還可得到在不同嚙合位置下,傳動載荷在各嚙合齒對間的分配。行星輪單齒載荷歷程取與太陽輪的載荷歷程相同。由于接觸線較多,故在此不詳細列出各接觸線上的載荷分布情況。

圖2 單齒的法向載荷歷程

3 齒根彎曲應力的計算

3.1 計算模型

由于該行星齒輪傳動的齒輪重合度較大,同時嚙合的輪齒多達4～6個。對重合度在4～5之間的齒輪副,單個輪齒在整個嚙合過程中先后要與9個不同輪齒嚙合。以人字齒太陽輪為例,它與行星輪共有3處嚙合,因此在完整嚙合過程中先后有54個輪齒參與嚙合。完整嚙合過程的計算要涉及36或32個不同的嚙合位置。因此,若采用完整模型計算不同嚙合位置時的齒根應力大小,必須將所有涉及輪齒都進行密化,其計算量將十分龐大。為此,在保證計算精度的條件下,通過適當簡化計算模型,減小有限元計算規模,實現整個嚙合過程中齒根應力的計算。

通過試算我們發現,某個輪齒的齒根應力主要受到本身及其相鄰的2個齒上所承受的嚙合力的影響,而與其相鄰較遠的齒上的嚙合力對該齒的齒根應力的影響非常小,可以忽略。所以為了完成上述大規模計算,將太陽輪、行星輪和內齒環模型統一處理為下述的五齒模型：只保留一處相互嚙合時的5個齒,并在中間的3個齒上加載,另外2個齒保留齒輪的完整性;其余未嚙合輪齒均以節圓圓柱面代替。太陽輪的簡化模型如圖3所示。

圖3 簡化的模型

3.2 邊界條件的施加

由于采用簡化模型,所以邊界條件也需進行相應的改變。

(1)太陽輪。花鍵處施加周向位移約束,以代替太陽輪與輸入軸連接的花鍵。

(2)行星輪。軸孔處施加徑向位移約束,以代替行星輪與行星軸之間的作用。

(3)內齒環。對外側花鍵節圓面上所有節點進行全約束,以代替內齒環與組合齒圈的作用。

對因簡化模型而忽略的齒輪嚙合副,可以在相應位置的節圓面處施加固定約束,以代替該位置處的嚙合作用。太陽輪的簡化有限元模型如圖4所示。

圖4 太陽輪簡化有限元模型

3.3 計算過程

下面以太陽輪為例介紹求解整個嚙合過程中齒根應力的過程。

太陽輪與行星輪嚙合的總重合度為4.3504,一個基節內嚙合位置的總數nmesh=8,接觸線總數n line=36。用圖5表示簡化的齒輪模型。將5號齒定為關注對象,1～9號齒為在整個嚙合過程中先后與5號齒嚙合的輪齒,其中4、5、6號齒為參與本次計算的輪齒,用實線表示,其余輪齒用虛線表示。觀察輪齒5從進入嚙合到退出嚙合整個嚙合過程中齒根彎曲應力的變化。

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利用Pro/E與ANSYS接口程序,將齒輪模型導入ANSYS中,設定單元類型和材料屬性,并劃分有限元網格。為了得到較為精確的結果,需在輪齒4、5、6的齒面和齒根進行網格密化。載荷及位移邊界條件的施加過程如下：

圖5 齒輪簡化模型示意圖

如圖5所示,K=i(i=0,1,2,3,4)表示5號齒在某個時刻已經歷的完整基節數目。K=0時,1～5號齒參與嚙合;K=1時,2～6號齒參與嚙合,依此類推。K每改變一次,太陽輪與另兩個行星嚙合處施加的固定約束就要旋轉一個輪齒的角度。

用變量k mesh表示一個基節內嚙合位置的順序,其值從1～n mesh變化。設5號齒上接觸線編號為mesh num,mesh num=Kn mesh+k mesh,通過改變K和k mesh,可保證 mesh num從1到n line變化。meshnum=1表示該齒在進入嚙合臨界點;mesh num=n line表示該齒在退出嚙合臨界點。比5號齒提前一個基節進入嚙合的4號齒上的接觸線編號為meshnum+nmesh,比5號齒延遲一個基節進入嚙合的6號齒上的接觸線編號為mesh numn mesh。計算時只在 4、5、6號齒上進行加載,忽略其余齒的載荷。若4號和6號齒上接觸線編號小于0或大于n line,表明該齒未處于嚙合狀態,將不施加載荷。

太陽輪的整個計算過程共需要36次靜力學計算。計算過程中,可采用ANSYS的APDL語言控制實現載荷和約束的自動施加,并實現多次循環計算。每步計算結束時,提取出所需節點的應力值,并保存入數組。在循環計算完成后,可在ANSYS中進行數據處理,實現結果的自動保存。計算的流程如圖6所示。

4 計算結果及分析

通過計算,可得到所關注輪齒在整個嚙合過程中最大應力的變化歷程,如圖7～圖9中的a圖所示,圖中的數字4和5代表該位置時的嚙合齒數。找出最大應力的極值點編號后,從結果中選出該節點在其他嚙合位置下的應力,其變化歷程如圖7～圖9中的b圖所示。圖10給出了在最大彎曲應力發生的嚙合位置下,各接觸線上的載荷分布情況,圖中數值為該接觸線上節點載荷的最大值。

圖6 計算流程圖

圖7 太陽輪各嚙合位置下的應力

分析圖7～圖10,我們可以看出大重合度齒輪的齒根應力有如下特點：

(1)輪齒在剛進入嚙合時,承受載荷較小,齒根應力也較小。隨著嚙合時間的增加,齒根應力也會很快地達到較大值,由于人字齒嚙合齒對較多,齒根的最大應力在嚙合齒數交替時變化并不明顯,因此傳動更為平穩,應力波動較小,如圖7～圖9中的a圖所示。

圖8 行星輪各嚙合位置下的應力

圖9 內齒輪各嚙合位置下的應力

圖10 最大應力時各接觸線上的載荷分布

(3)應力極值點一般出現在整個嚙合過程的中期,即接觸線最長的時候(見圖10),且應力有“低-高-低”的變化趨勢(見圖7～圖9中的b圖),這與實際情況也較為吻合。經辨認,這些點可能出現在輪齒邊緣的齒根處,也有可能出現在輪齒中段的齒根處。

(4)對直齒輪而言,應力極值點一般為少齒嚙合區的上界點,但對大重合度的齒輪而言,應力極值點可能出現在多齒嚙合區,如表2所示。

表2 各齒輪的應力極值情況

(5)從圖10可以看出在最大應力產生時,考察齒在產生最大應力時,其接觸線上的最大節點載荷并不一定是該時刻所有齒對節點中載荷的最大值。這時因為齒根應力不僅要受到接觸線上節點載荷的影響,同時與嚙合位置有關,齒根產生最大彎曲應力的時刻難以直接得到。

5 結論

(1)本文在對齒輪進行了精確的三維參數化建模的基礎上,利用線性規劃法求解了齒輪副在嚙合過程中各位置的載荷分配。本方法可以實現齒輪在整個嚙合過程中各嚙合位置的自動計算和結果處理,得到最大應力點的位置及其應力變化過程。

(2)人字齒在整個嚙合過程中的彎曲應力波動較小,最大應力一般出現在考察齒承受最大載荷的時刻附近。

(3)由于各接觸線的載荷分配并不均勻,所以不同嚙合位置對齒根的作用無法直接預測,導致人字齒輪的齒根最大彎曲應力點可能出現在少齒嚙合區,也可能在多齒嚙合區。

(4)應力極值點在整個嚙合過程中的應力變化曲線與法向載荷歷程的趨勢較為吻合。

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