基于響應面的可變復雜度方法在桁架式Spar平臺方案設計中的應用

姜 哲，崔維成，黃小平

（1上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海 200030；2中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082）

基于響應面的可變復雜度方法在桁架式Spar平臺方案設計中的應用

姜 哲1，崔維成2，黃小平1

（1上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海 200030；2中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082）

多學科設計優化在實際應用中，幾乎都采用了可變復雜度方法（variable-complexity method,VCM)來平衡計算成本和計算精度。然而，VCM通常需要計算大量的初始樣本點以保證精度。為降低VCM對初始樣本點的依賴，文中提出了一種基于響應面更新的可變復雜度方法。以桁架式Spar平臺的多學科設計優化為例，首先根據試驗設計選取樣本點，采用數值方法計算平臺的各項性能，建立了響應面模型；應用協同優化算法求解，并通過響應面的不斷更新提高精度，在此基礎上應用可變復雜度方法校正響應面分析結果。計算結果表明：基于響應面更新的可變復雜度方法可在較少初始樣本點情況下，獲得較高精度的計算結果。

多學科設計優化；可變復雜度方法；響應面更新方法；桁架Spar平臺

1 引 言

船舶和海洋平臺的設計其本質上是一個多學科優化的問題，傳統的設計過程很難綜合考慮各個學科間相互耦合所產生的協同效應，無法通過系統的綜合分析來進行方案的選擇和評估，這很可能降低系統的總體性能。近年來，很多研究嘗試應用多學科設計優化（Multidisciplinary Design Optimization，MDO）來進行船舶和海洋平臺的設計，特別是在方案設計階段。多學科設計優化的基礎是各子學科的性能分析，在目前海洋工程研究中，更多的是使用數值仿真軟件進行學科計算，如進行水動力分析的Fluent軟件和進行結構分析的ABAQUS軟件等，并結合模型試驗對結果予以校正。然而，使用這些軟件進行仿真計算需要大量時間，例如采用Fluent軟件進行水動力分析，一次分析可能就需要幾天甚至幾周時間。而優化又是一個反復迭代的過程，這種基于復雜學科分析模型的優化設計，其計算時間將成倍增長，如果是進行涉及多個學科的系統分析，其計算時間的耗費是令人無法接受的。

近似方法是解決以上問題的有效途徑。近似方法是通過插值或擬合來構造近似模型，利用已知樣本數據來預測未知點處響應的數學方法。通常，在構造近似模型時，需要根據試驗設計預先選定一些點進行學科分析，并利用分析數據構造近似函數，從而，使用這些計算周期短、精度適當的近似模型來替代復雜的、高精度的分析工具，避免在優化過程中直接結合復雜的、高精度的學科分析模型，達到減少計算量的目的。目前，常用的近似模型有響應面模型（Response Surface Method，RSM）、KRIGING模型、徑向基神經網絡等。

然而，由于近似模型本身的精度限制及其與真實模型間存在著差距，近似模型很難確保分析結果的有效性。為減小近似模型與物理模型/高精度模型間的差距，人們開展了一系列的研究。總的來說，解決問題的思路可以歸納為如下兩個方面：

一方面，根據不同的問題，選擇合適的近似模型方法，同時，通過不斷更新近似模型的方法，以實現提高近似模型精度的目的；

另一方面，為了在近似模型中體現高精度模型結果，發展了可變復雜度方法（Variable Complexity Method，VCM）。VCM的主要思想是在迭代過程中主要采用近似分析方法，然后用高精度分析的結果來修正近似分析方法。通過使用大量低精度分析模型降低計算成本，而使用少量高精度分析模型，提高整個優化的精度。

本文將首先介紹可變復雜度方法的基本流程，并指出傳統可變復雜度方法需要大量初始計算以保證計算精度的缺點。為解決這一問題，嘗試將以上兩種減小近似模型與物理模型間差距的思路結合起來，提出基于響應面更新的可變復雜度方法，并應用該方法進行桁架式Spar平臺的多學科設計優化。

2 可變復雜度方法

最初可變復雜度方法被用來發展基于梯度的優化技術，整個設計過程由一組優化循環組成。在各優化循環開始的時候采用精確分析，而近似分析則運用于各循環內的后續計算。精確分析獲得一個修正因子，用這個修正因子調整近似分析模型，而且這個修正因子可以在設計過程中不斷更新[1-2]。VCM的基本流程為[3]：（1）分別應用高精度模型和低精度模型計算初始點X0處的目標函數值和約束值；（2）求解標度函數；（3）使用修正后的低精度模型進行優化搜索；（4）對優化結果應用高精度模型進行評估；（5）滿足收斂條件則計算終止，否則更新標度函數，從第二步開始重新計算。

常用的標度函數包括乘法標度和加法標度。設X為設計變量向量，fhigh表示高精度模型的分析結果，flow表示低精度模型的分析結果。則初始點X0處乘法標度函數為：在優化循環中，近似分析模型f()x則為：

顯然f()X既包含了高精度模型的信息，又采用了低精度模型簡化了計算過程。在下一個循環開始時，再進行一次高精度計算，更新標度函數，使優化迭代進行直至收斂。在X0點附近,乘法標度函數可根據泰勒級數定義：

初始點X0處加法標度函數的數學形式是：

不論是乘法標度函數還是加法標度函數，都只用一個點的高精度分析結果，為了盡可能多地利用高精度模型分析結果，產生了多點法[4]。

其中，在Xi點處同時進行了高精度分析和低精度分析；α1()X為乘法修正，α2()

X為加法修正，當二者都為常數時，為兩點修正。

VCM在MDO應用中常常跟近似方法結合使用，最典型的是與響應面的結合。在高速民用運輸機（High-Speed Civil Transport，HSCT）的設計中，成功地應用了該方法。在研究中，首先對由全因子試驗設計獲得1296個方案進行初步可行性分析，去除明顯不合理的設計，余下157個設計方案。然后，對這些方案進行低精度模型的分析，建立二次多項式響應面，并根據方差分析（Analysis of Variance,ANOVA）去掉對響應值影響小的項；再根據D-最優設計（D-optimal point selection）選擇50個方案進行高精度分析，并以其結果建立響應面模型（采用方差分析后的響應面形式），以此作為優化對象，該方法取得了良好的結果[5]。

3 基于響應面更新的可變復雜度方法

在HSCT的設計中，為了獲得良好的響應面模型，首先進行了大量的低精度模型分析，并通過一系列數理統計方法進行篩選判斷，這種方法雖然可以極大程度地保證近似模型的精度，然而對于桁架式Spar平臺的多學科設計優化卻是不合適的。一方面是因為桁架式Spar平臺是相對較新的設計概念，其應用不過十多年，尚未形成關于各種構型特性的數據庫；另一方面，對于深水平臺，所謂的低精度分析，也不是可以通過解析的方法獲得諸如結構強度等參數的結果，而僅僅是通過簡化的模型計算，獲得粗略值，低精度模型分析同樣需要大量時間。因而，通過大量初始模型分析提高響應面模型精度的方法，對于桁架式Spar平臺的多學科設計優化是不合適的。

基于這點考慮，作者綜合了響應面更新方法與可變復雜度方法的特點，利用響應面的不斷更新，來增加其精度和可靠性，而不依賴大量試驗點；并用可變復雜度方法，使用高精度模型分析信息，從而不斷地減小近似模型和高精度模型的差距。具體地，可以有兩種更新思路：

（1）同步更新--即在每一次優化結束后，對優化結果使用高精度模型分析，同時更新響應面和標度函數，直到二者都達到收斂要求。通過對此方法的應用，計算多步后發現，每步優化結果變動很大，主要原因是由于初始響應面模型的精度問題，因而當針對某個局部點做一階一致性更新時，會影響整個響應面的性能，此時響應面很難表達每個點的信息，而以這樣的響應面作為下一步優化對象，具有很大的不確定性，難以達到同步收斂的目標。

（2）先后更新--即先后更新響應面模型和標度函數。先根據試驗設計安排，對一些預先選擇的點進行低精度模型分析，建立響應面模型，求解優化問題，然后對獲得的最優解仍使用低精度模型分析，把新的優化點及其響應值加入到響應面模型中，不斷更新，直到連續兩次優化解收斂到同一點。在此基礎上，再用高精度模型信息修正低精度模型計算結果，此時不再更新響應面，只更新標度函數，整個流程如圖1所示。

圖1 基于響應面更新的可變復雜度方法的流程圖Fig.1 The iterative process of variable-complexity method based on adaptive RSM

4 應用舉例

Spar平臺系統是具有高復雜度的工程系統，在設計中涉及到多個學科，包括水動力學學科，結構力學學科、工程應用學科、成本分析、系統可靠性等。因此，在桁架式Spar平臺的設計中應用多學科設計優化方法是非常有必要的。

本文以桁架式Spar平臺方案設計為例，說明基于響應面更新的可變復雜度方法的過程。在船舶與海洋工程設計中，水池模型試驗是精度最高的分析技術，然而其相對成本很高，很難為了優化而進行大量的試驗研究；其次是數值分析技術，精度最低的是近似模型。對于數值分析技術，也可以根據所建模型的精細程度區分為高精度模型和低精度模型。研究中采用協同優化算法[6]，以下數學模型也以協同優化框架展開。

4.1 模型概述

本次研究的對象桁架Spar平臺的作業水深為960m，工作地點為墨西哥灣；其系泊系統和立管系統的設計參照Gunnison Spar[7]，海洋環境條件如表1所示。平臺需要滿足ABS船級社的相關要求[8]。

表1 墨西哥灣十年一遇的冬季風暴海況Tab.1 10-Year winter storm data for Gulf of Mexico

如圖1所示，首先根據試驗設計的安排，對一系列方案進行分析以建立近似模型。對于每一個方案，根據傳統Spar平臺設計方法進行設計[8]，并進行初步的結構尺寸設計。硬艙、浮艙、軟艙的殼體加筋板式結構及垂蕩板板架結構均采用ABS規范中推薦的骨材設計方法[8]，而對于桁架立腿與撐桿結構采用API RP 2A-LRFD[10]規范設計。

在設計初期建立近似模型時，為提高計算效率，可采用低精度有限元模型。對于外殼、甲板和艙壁等主要承載構件可以采用粗網格的殼單元，其上的次要加強構件，例如縱骨、環形加強筋等，可以用做等效板厚處理，則折算后的板厚為t′=t+A/d，其中加強筋剖面面積A，加強筋間距d，設計板厚t；在后期可變復雜度建模時，采用高精度有限元模型，即完全根據設計結果，建立詳細的有限元模型。

4.2 桁架式Spar平臺方案設計優化數學模型

4.2.1 設計變量

在本文中，以桁架式Spar平臺的主尺度參數為優化目標。全局設計變量為硬艙直徑D,硬艙高度Hh,吃水T,軟艙高度Hs.。其他參數設置為：中央井立管采用3×3布置，間距為3.963m。垂蕩板的水平剖面和軟艙的甲板皆為正方形，邊長等于D，設置三層垂蕩板。典型的垂蕩板間距的形狀比H/L=0.70～0.75（H為板間距，L為板寬，L=D），形狀比作為約束條件之一。

4.2.2 系統級目標函數

在本次研究中，設計所依據的ABS規范是基于承受靜水壓力而設計的，對于海洋平臺，結構重量的80%-85%都是為了抵抗靜水壓力而設計，而且殼體的結構重量與設計變量具有很強的相關性，因而將殼體結構重量Whull作為系統級目標函數。

4.2.3 子系統目標函數及約束條件

在本文中，主要考慮三個學科作為優化對象，即穩性學科、水動力學科和結構學科。

●穩性學科

首先要保證對于任何工況都有正的初穩性高。對于動穩性，取決于作用在平臺上的傾覆力矩與平臺在傾斜情況下產生的回復力矩之間的關系。本文以平臺在風暴狀態下，平臺的完整穩性為研究對象，以平臺的穩性衡準數K為優化目標，如圖2所示。

根據ABS[8]的規定，K=1.3；同時，過大的穩性會影響人的舒適度，由于設計時為了獲得更大的可變載荷，很少會設計很大的穩性，因而，船級社通常不設上限，為了優化的目的，人為地設置了上限值。

●水動力學科

在方案設計階段，水動力分析的主要任務是校核主尺度和重量分布的合理性，其主要標準是平臺一階運動的共振周期遠離所在海區的波浪周期。應用WADAM[11]計算出的Truss Spar六個自由度運動響應傳遞函數，并根據水池模型試驗結果獲得平臺的阻尼系數對計算結果進行修正，其中垂蕩和縱搖的阻尼系數分別為0.199和0.038[12]。

圖2 ABS規范對浮式結構物的完整穩性要求Fig.2 Stability requirements by ABS rules

在計算得到平臺的運動響應算子后，分別對橫浪下垂蕩運動和迎浪下縱搖運動進行短期預報，得到在一定海況條件下（見表1），目標平臺的垂蕩和縱搖運動短期預報的百一值A和θ，作為學科優化目標。根據頻域分析理論，對于短期預報，由下式：

式中，Sr(w)為運動響應譜；H(w)為運動傳遞函數；Sw(w)為波浪譜。

●結構學科

在方案設計階段，主要校核由靜水力和波頻運動誘導載荷的組合應力引起的結構應力和變形情況。在海洋工程應用中，對于波頻運動引起的結構載荷效應，通常采用設計波法[13]。

研究中選取對于Spar平臺最重要的兩種波浪工況--硬艙底部甲板最大水平剪切力狀態和硬艙底部甲板最大垂向彎矩狀態。選取硬艙底部甲板與桁架連接處的區域為研究對象，分別計算這兩種工況下的平均Von Mises應力σ1和σ2，并以二者的平均值σ作為本學科的優化目標，σ需要小于板的屈服強度（355MPa）除以安全系數（1.67）。為了考察底板厚度對強度的影響，增加局部設計變量td。

4.3 響應面模型的建立

由于Spar平臺重量等性能參數的經驗公式很少，需要對試驗設計選定的初始方案，應用數值方法計算，獲得每個方案的重量Whull、穩性衡準數K、垂蕩短期預報值A、縱搖短期預報值θ和強度σ，以此建立近似模型。計算時采用低精度的有限元模型。根據均勻設計表U15*（157）[14]安排初始方案，各個設計變量的取值范圍如表2所示。

由于每個全局/局部設計變量的變化范圍各不相同，甚至有的范圍差別懸殊，為了統一處理，對各個變量進行歸一化處理，使其值都在[-1，1]之間。

本文使用響應面模型作為近似模型。響應面模型是采用多項式函數通過最小二乘回歸來近似目標函數和約束函數的近似模型，以二次多項式響應面模型為例，其數學模型為：

表2 設計變量變化范圍Tab.2 Range of design variables

其中，xi為影響響應值Y的變量，b0，bi，bii和bij為待定系數，通過最小二乘回歸獲得。

分別建立Whull、K、A、θ和 σ 的響應面模型，其精度參數復相關系數R2，修正復相關系數，剩余均方根RMSE如表3所示。

表3 響應面的精度參數Tab.3 The quality of RSM

4.4 協同優化框架

本文選擇協同優化（Collaborative Optimization,CO）作為多學科優化框架。CO方法的提出源于對大型復雜工程系統進行分布式設計的迫切要求，它具有子系統自治性強，系統級對學科級的依賴度低，工程適用性強等特點，適合于學科間耦合度相對較低，系統級設計變量較少的多學科優化問題。協同優化算法的框架結構和數學模型見文獻[6]。

圖3給出了本文研究的桁架式Spar平臺方案設計協同優化框架，優化采用序列二次規劃算法。殼體結構重量作為系統級，穩性學科、水動力學科和結構學科作為并行的子系統。基于優化的目的，垂蕩和縱搖分在兩個并行系統，垂蕩板形狀比和干舷的約束放在縱搖子系統。

4.5 優化過程及響應面更新

在試驗設計的初始樣本點中，選擇重量值最低的點X0（D=-1，Hh=0.428 6，T=-0.433 3，Hs=1，td=-0.712）作為優化起始點。開始時，一致性約束的收斂精度ε設置為1E-4。優化經過84步迭代收斂，系統級目標函數優化迭代過程如圖4所示，優化結果如下：

圖3 桁架式Spar平臺方案設計協同優化框架Fig.3 Collaborative optimization architecture for Truss Spar concept design

在優化結束后，根據圖1流程進行響應面更新。對優化結果的點重新設計和進行低精度模型計算，并把結果加入到數據庫中，更新響應面，重新進行優化，直到連續兩次更新響應面后收斂到同一點（對于任何一個設計變量，連續兩次優化結果歸一化值的絕對差小于0.001），此時響應面更新結束。經過14次更新后，滿足收斂要求，各設計變量的更新變化過程如圖5和圖6所示，更新結束時，優化結果為XR（D=-0.948 9,Hh=1.0,T=-0.992 4,Hs=1.0,td=0.848 6）。

圖4 系統級目標函數優化迭代過程Fig.4 The iteration history of Whull

4.6 可變復雜度方法

4.6.1 傳統可變復雜度方法

根據可變復雜度方法，在未更新響應面模型前，對初始點X0（D=-1,Hh=0.428 6,T=-0.433 3,Hs=1,td=-0.712）建立高精度有限元模型，數值分析計算得到結果：

而由低精度模型構造的響應面結果：

由表3可以看出，A，θ和K的響應面的RMSE很低，上面的兩種分析模型結果也印證了這一點，因而對A，θ和K不做可變復雜度修正，保持原響應面不變，對Whull和σ進行可變復雜度修正，采用乘法標度函數。Whull的標度函數為1.010 47，σ的標度函數為0.806 07，修正后的響應面模型如下：

根據修正后的模型進行優化，如圖7至圖9所示，結果為D=-0.944 4，Hh=0.956 3，T=-0.991 8，Hs=1.0，td=-0.717 9；Whull=10 580.9ton，A=0.186m，θ=1.377 9deg，K=21.22，σ=212.57MPa

對優化結果點進行高精度模型分析，求得相應目標值為：

可見，由高精度模型計算得到的結果與由響應面計算得到的結果差距很大，這是由于初始模型的樣本點不夠多，無法充分真實反映物理模型。

4.6.2 基于響應面更新的可變復雜度方法

對于響應面更新模型最終的結果點XR（D=-0.948 9,Hh=1.0,T=-0.992 4,Hs=1.0,td=0.848 6）進行詳細的結構設計，并建立高精度模型，計算得到結果為：

由低精度模型構造的響應面結果：

分別使用乘法標度函數、加法標度函數和兩點法進行修正，下面以兩點法為例，說明其過程，同時使用X0點和XR點的高精度模型分析信息。

重量修正因子α1=0.998 937，β1=126.13；強度修正因子α2=1.173 08，β2=-38.63。修正后的響應面模型如下：

根據修正后的模型進行優化，如圖10至圖12所示，結果為：

對優化結果點進行高精度模型分析，求得相應目標值為：

可見，由高精度模型計算得到的結果與由響應面計算得到的結果差距很小，可以較好地反映真實的物理模型，特別是在最優解的一定鄰域空間內。分別使用乘法標度函數、加法標度函數和兩點法的優化結果如表4所示。

表4 三種標度函數收斂結果對比Tab.4 The comparison of the optimized results for three methods

4.7 討論

（1）從4.6.2節可以看到，在響應面經過更新后，再進行可變復雜度方法修正，獲得的優化結果的各性能參數與高精度模型分析結果相吻合。

（2）由表4可以看到，三個標度函數都收斂到相近的結果，可見當響應面模型達到一定精度時，采用哪種標度函數修正區別很小；從收斂精度角度，乘法標度可達到的收斂精度最高。

（3）從4.6.1節和4.6.2節的對比可以看到，分別以X0點和XR點為初始點作可變復雜度模型比較，XR點作初始點獲得的結果與真實值更加接近，具有很高的準確度，這證明了在進行可變復雜度方法與RSM結合求解問題時，RSM精度非常重要。

5 結 論

本文結合響應面方法和可變復雜度方法，以桁架式Spar平臺為例，對其方案設計進行了多學科設計優化研究。針對傳統可變復雜度方法需要大量初始計算，本文提出了基于響應面更新的可變復雜度方法。研究結果表明，該方法可以在較少初始樣本計算的情況下，獲得精度很高的結果，這樣就節省了大量初始計算的時間。

然而，研究中的響應面模型的魯棒性并不是很好，響應面更新方法雖然可以通過不斷迭代保證在最優解附近的信賴空間內具有較高的魯棒性，卻很難保證全局的魯棒性。這是由于試驗次數不夠多，無法去除RSM中對響應值影響很小的干擾項造成的，在目前階段是很難避免的。要想將響應面建立的模型應用到實際工程中，需要不斷積累數據庫，結合統計方法，去掉干擾項。

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Response surface based variable-complexity method for optimization of Truss Spar concept design

JIANG Zhe1,CUI Wei-cheng2,HUANG Xiao-ping1
(1 State Key Laboratory of Ocean Engineering,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200030,China;2 China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

In the application of multidisciplinary design optimization(MDO),variable-complexity method(VCM)was widely used to balance the computational efficiency and accuracy.However,VCM generally requires large number of calculations for initial sampling points to ensure precision.In order to overcome such a deficiency,an improved VCM strategy utilizing adaptive response surface method is proposed.The strategy is illustrated in the application of MDO to Truss Spar concept design.In this study,multidisciplinary numerical analyses are conducted for initial sampling points to build the response surface models(RSMs).A collaborative optimization is used as MDO algorithm and RSMs are sequentially updated until convergence criterion is met.Finally,VCM is adapted to correct RSMs by using the results of high-fidelity analysis tool.The results show that the improved VCM strategy can attain high accuracy with a small number of initial sampling points and is an effective way to minimize the computational cost.

multidisciplinary design optimization;variable-complexity method;adaptive response surface method;Truss Spar

U661.4

A

1007-7294（2010）07-0771-11

2010-01-22 修改日期：2010-06-01

姜 哲（1982-），男，上海交通大學博士生；

崔維成（1963-），男，博士，中國船舶科學研究中心研究員，博士生導師。