自適應非線性小波在灰度級圖像去噪中的應用

胡 欣，張利軍

（1.長安大學 電控學院，陜西 西安 710064；2.長城鉆探測井公司 國際業務項目部，北京 100101）

1 引言

灰度級圖像的信噪比低、邊緣模糊、局部空間相關性較強，使灰度圖像難以從單一的方法中獲得滿意的去噪效果，目標局部失真度與圖像去噪效果不能達到統一。作為信號處理領域中的一種重要去噪方法，小波變換去相關特性在很大程度上可去除掉圖像像素直接相關性，局部時頻特性可在小波域維持圖像局部幾何特性，近年來在圖像去噪領域中得到了廣泛應用。然而線性小波變換難以描述圖像非線性特征。2000年，Heijmans推出了小波與數學形態學理論相結合的形態小波變換，在提升小波框架下提出了非線性小波變換[1-2]，將線性小波變換推廣到非線性領域，從而獲得對圖像邊緣和細節較好的保持作用。

線性提升小波構造出的小波基是平滑尺度函數和小波函數[3]，對抑制高斯白噪聲較為有效，但圖像的失真度大。非線性小波對細節特征的破壞小，但對高斯白噪聲的抑制效果差。單一的線性或非線性小波最大的缺點是對所有像素均采用統一的處理方法，為了獲得更好的濾波器性能，將線性與非線性自適應地結合，利用圖像局部特征自適應地選擇更新算子U和預測算子P，從而使更新算子或預測算子與圖像數據相關，得到噪聲抑制效果好而目標細節保留完整的圖像濾波。

筆者在二代小波提升框架下提出一種自適應算法,利用圖像的局部特征自適應地選擇小波算子，希望在濾除噪聲的同時不過多地平滑掉細節信息[4]，通過將線性小波和非線性小波自適應相結合，有效實現了線性小波對高斯白噪聲的去除，形態小波對目標細節的保留。實驗結果表明，本文方法能有效去除圖像的高斯白噪聲，減小目標的失真度。

2 形態小波

形態小波兼顧數學形態學的形態濾波特性與小波變換的多分辨力特性，是將小波變換和數學形態學算子相結合的一種非線性小波變換，具有更好的細節保留特性。形態小波中的分析和合成算子需要滿足小波變換的一些特性（正交性等），然而算子的選擇已不再局限于線性小波算子，而擴展到形態算子。

在二代小波提升框架下，設集合Vj和Wj表示第j級信號空間和第j級細節空間，存在信號分析算子和細節分析算子，存在信號合成算子輸入信號 x0∈V0通過分析過程分解為

其中

原始信號x0∈V0通過合成過程精確重建：

提升小波先預測后更新的結構由式（3），（4）構成，預測－更新提升框架的分析、綜合算子為

信號x1′和y1′對原始信號x0的重構表示為

在形態提升小波變換中對原始信號x實現lazy變換，有

將線性小波中的線性算子用非線性形態算子代替，可構成一類非線性形態小波。與線性濾波器加權平均的模糊模型會造成嚴重的細節損失不同，數學形態學擯棄了傳統的數值建模及分析的觀點，是作用于物體形狀的非線性算子的代數，以上確界 <和下確界 >為基本運算，能夠更好地保留圖像的細節部分，則一維形態Haar小波取

一維形態Haar小波變換分析算子表示為

一維形態Haar小波的重構運算可表示為

3 自適應提升小波

提升結構是由Sweldens提出的，其中算子P和U都是固定不變的，使實際應用這種結構存在局限性。自適應提升小波變換是根據信號的局部特性來自適應選擇預測算子P或者更新算子U，從而得到令人滿意的處理效果。

3.1 自適應提升框架

自適應提升框架是由Piella G，Heijmans提出的[5]，本文使用如圖1所示的自適應提升框架。

自適應提升框架引入決策參數d控制算子的選取，根據信號的局部特征自適應選取線性和非線性算法，使在側重保留細節時使用非線性形態小波，在側重去除噪聲時使用線性小波，最優地獲取線性小波和非線性小波在圖像處理中各自的優點，獲得比線性小波和非線性小波更好的結果。由于提升框架是可逆的，自適應變換能夠完全重建信號。

3.2 決策信號

定義梯度向量 v（n）=（v1（n），…，vN（n））T∈RN，vj（n）=x（n）-y（n+j），j=-K，…，0，…，N。

二次型半賦范表示為

根據梯度向量本文選取二值函數形式的決策參數

式中：v（n）為梯度向量，p為半范數，T>0為閾值。同時式（12）可寫為

若P為真，則[P]=1，否則為0。

4 自適應非線性小波的應用

一維信號中自適應選取小波算法1和小波算法2可實現自適應非線性小波變換。首先實現lazy分解，獲取x（n），y（n），計算 dn=D（x，y）（n）=[p（v（n））>T]；當 dn=1 時，采用小波算法1，否則采用小波算法2；得到近似系數x（n）和小波系數 y（n）后，利用閾值來提取疑似目標區域；重構運算得到信號去噪結果。

在自適應提升框架下，筆者提出一種自適應線性小波和非線性小波的提升方法，使在圖像去噪過程中獲得好的去噪效果同時，不會過多地破壞目標邊緣和細節特性。為了驗證這種自適應非線性小波算法的有效性和實用性，分別在一維信號和二維圖像中進行仿真。

4.1 自適應算法在一維信號去噪中的應用

圖2為自適應提升小波算法對信號的一維去噪結果，圖2a為不含噪的原始信號，圖2b為噪聲方差為20的含噪信號，圖2c為Haar小波的去噪結果，圖2d為db7小波的去噪結果，圖2e為形態Haar小波的去噪結果，圖2f為自適應算法的去噪結果，其中自適應算法中算法1取形態Haar小波，算法2取Haar小波。

圖2c和圖2d使用線性小波都不能完全刻畫出信號的細節部分，而且db7小波的平滑作用使信號失真。形態Haar小波對目標細節的刻畫更加準確，但對噪聲的去除不理想。本文提出的自適應形態小波利用自適應參數，在噪聲處利用Haar小波去除高斯白噪聲的能力，在目標處利用形態Haar小波保留細節的能力，如圖2f所示，結合了兩種算法的優點達到了更好的去噪效果，證明本文提出的自適應形態小波算法是可行的和有效的。

4.2 自適應算法在二維灰度級圖像去噪中的應用

利用二維可分離小波變換，將自適應小波分析在一維所具有的優異特性推廣到二維或更高維，可分離的自適應提升小波在灰度圖像的去噪算法：

1）分別對圖像的每行信號實現一維自適應小波變換；分別對變換后圖像的每列信號實現一維自適應小波變換。

2）使用閾值對系數進行閾值處理，提取圖像中疑似目標區域。

3）經過重構運算后，得到圖像去噪結果。

考慮到算法的實時性和有效性，本文提出了一種自適應算法：小波算法1取形態Haar提升小波，小波算法2取bior2.2提升小波。選取實驗的灰度圖像長度為200幀，每幀大小為 128×128，圖像灰度級是 0～255，實驗采用Matlab 7.0.4為軟件平臺， 閾值 T=Kδ=Kmedian/0.6745，δ為噪聲估計方差，ωj，k為原始圖像小波變換的小波系數，本文選取文獻[6]提出的閾值T=Kδ，取K=3。圖3為灰度圖像序列的去噪結果。

5 仿真結果及分析

為了說明濾波方法的有效性，引入了信噪比增益和峰值信噪比2個參量來評判濾波質量。信噪比增益（SNR Gain）定義為

式中：（SNR）out是背景抑制后的輸出圖像信噪比，（SNR）in是輸入圖像信噪比。峰值信噪比（PSNR）基于圖像像素灰度值進行統計和平均計算，是常用的衡量信號失真的指標。盡管對部分圖像或視頻質量評價時可能與主觀感知的質量產生較大的偏差，但PSNR對于多數圖像質量仍是有效的[7]，定義為

式中：f（i，j）為不含噪圖像，f＾（i，j）為去噪后的圖像，圖像大小為M×N。

為了分別對目標的局部處理性能進行比較，筆者提出一種新的性能指標參量，稱為目標局部峰值信噪比（TPSNR）。TPSNR不同于PSNR，只對目標所在區域的峰值信噪比進行計算，是僅衡量信號中目標信息失真的指標，通過這樣的指標能夠直觀地比較出圖像中目標信息的變化，定義為

式中：fT（i）為不含噪信號的目標區域，為去噪后信號的目標區域，信號中目標區域大小為NT。

分別使用db7、形態Haar和本文的自適應算法對3組不同的序列實現去噪處理后，表1為去噪圖像的GSNR和TPSNR參數比較。本文提出的自適應形態小波在GSNR上優于形態Haar小波，在TPSNR上優于db7小波。說明本文算法很好地結合了線性小波和非線性的優勢，是一種較好的圖像去噪方法。

表1 不同提升小波的性能比較

6 小結

在自適應非線性提升框架下，提出自適應非線性提升小波的灰度圖像去噪方法，將線性小波和非線性小波自適應地結合起來，有效實現了線性小波對高斯白噪聲的去除，形態小波對目標細節的保留，實驗結果表明，本文提出的方法能有效去除圖像的高斯白噪聲，突顯圖像中的弱小目標。

[1]HEIJMANS HJ.Morphological image operators[M].New York:Academic Press，1994.

[2]GOUTSIAS J,HEIJMANS H J.Multiresolution signal decomposition schemes.Part2： morphological wavelets[EB/OL].[2010-06-01].http：//citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.62.3172&rep=rep1&type=pdf.

[3]吳渝，劉伯紅，李剛，等.基于提升方案的自適應小波變換[J].計算機應用研究，2002（6）：18-20.

[4]吳永宏，潘泉，張洪才，等.基于提升框架的一種自適應濾波方法研究[J].電子與信息學報，2005，2（7）：1017-1020.

[5]PIELLA G，HEIJMANS H J.Adaptive lifting schemes with perfect reconstruction[J].IEEE Trans.Signal Processing，2002，50（7）：1620-1630.

[6]DIANI M，CORSINI G，BALDACCI A.Space-time processing for the detection of airborne targets in IR image sequences[J].IEEE Proceedings of Vision， Image and Signal，2001，148（3）：151-157.

[7]佟雨兵，張其善，祁云平.基于PSNR與SSIM聯合的圖像質量評價模型[J].中國圖象圖形學報，2006， 11（12）：1758-1763.