談判定常見圖形對稱性的規律

?哈爾濱市第69中學 劉洋

對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，他具有結構美觀、勻稱、旋轉穩定等特殊性質，在實際生活中有著廣泛應用.判定圖形的對稱非常適于考查學生觀察猜想、動手操作、推理判斷的能力.因此，考查圖形（或圖案）的對稱性問題備受中考青睞.本文就判定初中幾何圖形（或圖案）的對稱作一探討.

一、軸對稱圖形的判定

軸對稱圖形是關于直線對稱的圖形，它具備下列基本性質：

1.圖形沿對稱軸對折后，圖像上的任意一個點關于對稱軸存在另一個點與之唯一對應（對稱點）.特別當圖形上某一個點處在對稱軸上時，其對稱點就是它自身；

2.對稱軸垂直平分不在對稱軸上的對稱點所連成的線段.

軸對稱圖形中基本的對稱圖形是角與線段.角只有一個頂點（奇數），角的平分線是對稱軸，顯然對稱軸平分處在對稱軸上的定點所在位置的內角.線段有兩個端（頂）點（偶數），線段的垂直平分線是其中一條對稱軸，顯然對稱軸垂直平分不在對稱軸上的對稱點所連成的線段.

軸對稱圖形的判定有下列一般規律：

1.圖形的頂點個數是奇數.

（1）圖形只有一個頂點時，同時平分一組從頂點出發的兩條直線所構成的夾角（夾角為180°時兩條直線在同一條直線上）的直線（如圖1）.

（2）圖形中若存在一個內角（至少）的角平分線垂直平分某一條邊，同時在此角平分線一旁的其余各點總能在該直線另一旁找到一個點，使得這兩個點所連成的線段被該直線垂直平分，此直線一定是對稱軸（如圖2）.

圖1

圖2

2.圖形的頂點個數是偶數.

（1）如星中若存在一條邊垂直平分線垂直平分另一條邊，在此垂直平分線一旁的其余各點總能在該直線另一旁找到一個點，使得這兩個點所連成的線段被該直線垂直平分，此直線一定是對稱軸（如圖3）.

（2）圖形中若存在一個內角（至少）的角平分線平分另一個內角，同時在該直線一旁的其余各頂點總能在該直線另一旁找到一個點，使得這兩個點所連成的線段被該直線垂直平分，此直線一定是對稱軸（如圖4）.

圖3

圖4

二、中心對稱圖形的判定

中心對稱圖形是關于點對稱的圖形，它具備下列基本性質：

1.圖形上的任意一個點關于對稱中心旋轉180°后所到達的位置，原圖形總存在一個點與之唯一對應（對稱點）；

2.圖形上的任意一個點不與對稱中心重合，圖形的任意一個點不能構成自對稱；

3.對稱中心平分經過對稱中心的圖形的對角線（對角線即對稱點所連成的線段）.

中心對稱圖像中最基本的對稱圖形是線段，線段有兩個端（頂）點（偶數），對稱中心是線段的中點.

判定中心對稱圖形有下列一般規律：

1.圖形的頂點個數是偶數；

2.連接圖形上各個頂點的所有對角線中，對角線同時經過一點，且被此點平分，此點一定是對稱中心.

特別地，相交直線的焦點不能看作圖形的頂點.其頂點是除交點以外的直線上的點.交點是對稱中心（如圖5、6）.

圖5

圖6

三、同是軸、中心對稱圖形的判定

這類圖形既是關于直線對稱、又是關于點對稱的圖形，它必須同時具備軸對稱、中心對稱圖形的性質.因此，其判定有下列一般規律：

1.圖形的頂點個數是偶數.

2.圖形是至少存在兩條互相處置的對稱軸的軸對稱圖形.

3.圖形是對角線平分且過對稱軸交點的中心對稱圖形.這樣的圖形一定既是軸對稱又是中心對稱圖形（如圖7）.

圖7

四、圖案對稱性圖形的判定

圖案是由“基本圖形或基本圖案”通過平移、旋轉、軸對稱以及組合而構成，這種變化的圖案形式多樣.軸對稱圖案，中心對稱圖案，同時軸、中心對稱圖案，是對稱圖案的3種基本特征：

1.“基本圖形與圖案”是軸對稱圖形.

2.“基本圖形與圖案”是中心對稱圖形.

3.“基本圖形與圖案”同是軸、中心對稱圖形.

因此，對稱圖案的判定有下列一般規律：

1.軸對稱圖案（1）任意圖形直接運用軸對稱形成的圖案.（2）基本圖形的平移方向垂直于“基本圖形”的對稱軸、沿“基本圖形”的對稱軸上下平移、沿“基本圖形”的對稱軸兩側與對稱軸成等角平移且距離相等形成圖案（如圖8）.（3）對“基本圖形”旋轉任意角度后形成的圖案（如圖9）.仍符合軸對稱圖形的判定規律.

圖8

圖9

2.中心對稱圖案（1）基本圖形平移后，“基本圖形”的對稱中心共線或連接“基本圖形”對稱中心的圖形是中心對稱圖形的圖案（如圖10、11）.（2）直接以“基本圖形”的對稱中心旋轉任意角度后形成的圖案（如圖12）.（3）運用軸對稱形成的圖案（圖略）.人符合中心對稱圖形的判定規律.

3.同是軸、中心對稱圖案：圖案符合軸對稱、中心對稱圖案的判定規律（如圖11、12）.

圖11

圖12

綜上所述，判定圖形或圖案的對稱是有規律可循的.掌握了圖形或圖案對稱的一般規律，學生不僅能夠解決圖形或圖案的對稱性問題，而且有利于學生利用圖形或圖案的對稱規律解決其他實際問題.