讓平面幾何題更加生動活潑——傳統平面幾何題的升華

?山西省長治市第19中學 劉明輝

對當前的初中平面幾何課程的改革，我們至少有以下三點認識：第一，平面幾何教學要選取現實的、有意義的、富有挑戰性的內容，緊緊與學生的生活經驗與活動經驗相聯系，為學生提供生動的幾何背景；第二，幾何的學習方式應該包含觀察、實驗、猜想、證明等多種形式的數學活動；第三，初中平面幾何課程應該兼顧培養學生的演繹推理和合情推理兩種能力，從改進以往傳統的幾何教學目標的角度看，當前尤其需要加強合情推理能力的培養.概括起來，本次初中平面幾何課程改革的著眼點在于：不是把平面幾何課程當作一系列現成的、凝固的、經典的知識體系去讓學生接受，而是把它作為一個可以動態生長的知識領域讓學生去探究.在這里，我們探討傳統平面幾何題的升華，這既是新課程改革帶來的理念的注入，也是來自中學數學教育工作者發自內心的創新和探索，它對新課程平面幾何的教學是大有裨益的.

1.讓背景“活”起來——應用式升華.

傳統的平面幾何題一般都過于平淡、缺乏生活氣息.如果對其賦于與學生密切相關的生活情境，不僅可以激發學生的參與熱情，而且還有強烈的教育意義.

例1：如圖1，△ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連結A與BC中點D的支架.求證：AD⊥BC.

圖1

例2：如圖1，△ABC是 一個房屋的人字梁，其中AB=AC，為了使人字梁更加穩固，房主要求小木工在頂點A和橫梁BC之間加一根柱子AD.可小木工由于未學過幾何，不知榕眼D該鑿在BC何處，才能使AD⊥BC.請問你能幫助他嗎？寫出方案并說明理由.

【點評：例2是由一個傳統題如例1升華為應用性的問題.與例l相比，例2的優越性在于：首先，題型開放了.有的學生憑直覺大膽猜想D為BC的中點；也有的學生依賴生活經驗，用懸掛鉛垂線的方法尋找D點（鉛垂也可用小石塊代替）；還有的學生想到先拉根細線，再用三角板靠，等等.其次，背景活了.創設“小木工由于未學幾何以至不會畫圖”的情境，不僅可以激發學生學習幾何的興趣，同時也教育學生：學好幾何是何等重要！】

2.讓題型“活”起來——開放式升華

把過去傳統幾何題的證明結論，升華為猜想發現結論；或尋找條件部分，然后證明，由封閉向開放轉化.

例3：如圖2，△ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC邊和CA邊上，BD=2DC，CE=2EA，AD與BE相交于 G.求證：AD=BE.

圖2

例4：如圖2，△ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC邊和CA邊上，BD=2DC，CE=2EA，AD與BE相交于G，試就有關圖形的形狀、大小和關系得出盡可能多的結論.

【點評：傳統題例3隱去結論“求證AD=BE”，就升華為開放題例4.結論是多種多樣的，學生不同的思維方式、不同的數學認知結構和不同的數學能力，可能出現不同的結果.如先考慮三角形的全等關系，有（l）△ACD≌△BAE；由此可推出，（2）AD=BE，（3）∠DAC=∠EBA ，（4）∠ADC=∠BEA；再考慮特殊角，（5）顯然，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，（6）聯系（1），有 ∠AGE=∠EBA+∠GAB=∠EAG+∠GAB=∠EAB=60°；進一步推出：（7）∠DGE=120°，（8）D，G、E、C 四點共圓，（9）AE·AC=AG·AD，或BG·BE=BD·BC，（10）2AG·AD=BG·BE，（11）∠GDC+∠CEG=180°，（12）△AGE≌△ACD.】

3.讓手“活”起來——實驗、操作的升華.

傳統的平面幾何題，注重對學生思維能力的培養，而忽視動手能力的訓練.其實，結合題目的特征，把傳統幾何題改編為實際操作題，讓學生的手動一動，不但能提高學習興趣，而且還能加深學生對題目的理解，強化實踐能力.

例 5：已知：如圖 3，點 A'，B'，C'，D'分別是正方形 ABCD四條邊上的點，并且AA'=BB'=CC'=DD'.求證：四邊形A'B'C'D'為正方形.

圖3

例6：如圖4，若把正方形ABCD的四個角剪掉，試問怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形？請在圖上畫出一個可行的方案，并說明理由.

圖4

【點評：與例5相比，例6難度雖然大了，但易操作.學生通過動手實踐發現：當剪下的四個角是全等三角形時，剩下的四邊形恰好是正方形.從而為畫出方案圖和證明奠定了基礎.】

例7：把一個等腰直角三角形ABC沿斜邊上的高線CD剪一刀（圖5），從這個三角形中剪下一部分，與剩下部分能拼成一個平行四邊形ABCD，如圖6所示.

圖5

圖6

探究1：

（1） 想一想：判斷A'BCD是平行四邊形的依據是____；

（2）做一做：按上述的剪裁方法，請你拼一個與圖 6位置或形狀不同的平行四邊形.

探究2：

（1）試一試：你能拼得所有的不同類型的特殊四邊形有_______；它們的裁剪線分別為________；

（2）畫一畫：請畫出你拼得的特殊四邊形的示意圖.

【點評：例7以動手實驗為基礎，展示問題的探究即結論的產生過程.對動手實驗、周密思考、探索驗證能力要求較高.】

我們還可以借助于紙片、三角板等，在幾何圖形中融入折疊、交換操作等現實情境，把靜態的題目向動態轉化，把畫圖形向“實驗”（折疊等）與運動操作轉化.

例8：如圖7，已知在正方形ABCD中，E是AB的中點，EF⊥DE且交∠ABC的外角平分線BF于點F.

（1）求證：DE=EF；

（2）若將上述條件中的“E是中點”改為“E是AB上任意一點”，其余條件不變，則結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由.

圖7

這樣一個稍具開放的傳統題可增加“現實情境”——三角板，升華如下.

例9：如圖8、9，四邊形ABCD是正方形，M是AB 延長線上一點.直角三角尺的一條直角邊經過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線相交于點F.

（1）如圖8，當點E在AB邊的中點位置時：

①通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數量關系是_________；

②連結點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數量關系是_________；

③請證明你的上述兩個猜想.

圖8

（2）如圖9，當點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE=BF，進而猜想此時DE與EF有怎樣的數量關系.

圖9

4.讓過程“活”起來——探究過程的升華.

把幾何（數學）的研究過程融入題目中，體現數學活動過程，如猜想、類比、發現，一般化與特殊化，試題由形式單一向形式多樣轉化，由靜態向動態轉化.其實，前面的問題也不同程度地體現了探究過程.

例l0：在一次課題學習活動中，老師提出了如下問題：點P是正方形ABCD內的一點，過點P畫直線l分別交正方形的兩邊于點M、N，使點P是線段MN的三等分點，這樣的直線l能夠畫幾條？

經過思考，甲同學給出了如下畫法：如圖10，過點P畫PE⊥AB于E，在EB上取點M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線.

圖10

根據以上信息，解決下列問題：

（1）甲同學的畫法是否正確？請說明理由.

（2）在圖10中，能否再畫出符合題目條件的直線？如果能，請直接在圖11中畫出.

（3）如圖11，A1、C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點，且A1C1//AD.當點P在線段A1C1上時，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？

圖11

（4）如圖 12，正方形 ABCD 邊界上的 Al、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在邊的三等分點.當點P在正方形ABCD內的不同位置時，試討論，符合題目條件的直線l條數的情況.

圖12

【點評：例10把以前的靜態問題升華為數學過程，是一道關注學生數學活動和探究過程的好題.本題以課題學習的形式來呈現問題，讓學生在解決問題的過程中，親身經歷“創設情景——實踐探索——建立模型——熟悉模型——反思——應用與拓展”的探究過程.設計新穎，構思精巧，可謂獨具匠心！首先，通過判斷甲同學解答的正誤來創設問題情境；然后讓學生在判斷正誤的互動中，探究出畫符合條件直線的理論依據，進而建立“如何畫符合條件的直線”的模型（方法）；之后，通過模仿（在畫一條符合條件的直線）來熟悉數學模型；接下來，再通過一個特殊位置來反思數學模型，揭示問題本質；最后，把模型放到整個正方形中，實現對模型的應用與拓展.這個題目的布局從一般到特殊再到一般，立足于培養學生發現問題、解決問題的能力和創新意識.由于第（4）小題是前3小題的綜合與拓展，所以還需學生有分類討論的意識.】

我們從“應用”“開放”“實踐”“過程”對傳統題升華為新題型作了概括和探討，此類升華題已成為近年中考平面幾何試題的主流.