讓學生親歷定理的發現過程

?青海省格爾木市萬化中學 秦萬明

“數學課程標準”在關于課程目標的闡述中，大量使用了“經歷（感受）、體驗（體會）、探索”等刻畫數學活動的過程性動詞.具體而言，就是在數學學習的過程中，要讓學生經歷知識與技能形成的過程，經歷數學思維的發展過程，經歷應用數學能力解決問題的過程，從而形成積極的數學情感與態度.本文就數學課堂教學中如何設計教學方案讓學生親歷定理的發現過程，舉例說明.

三角形內角和定理的教學

有不少教師已注意到突出定理結論的發現過程的重要性，利用剪拼方法，歸納得出三角形內角和為180°的結論.但是很少注意到暴露定理被發現的過程，而這正是一個重要的思維環節.為此，我設計如下教學方案.

1.如圖l，a//b，它們被c所截得的同旁內角和∠1+∠2=？

圖l

圖2

2.若a與b相交，如圖2，∠l+∠2仍然等于180°嗎？發生了什么變化？減少了多少？∠3跑到哪里去了？可以得到什么結論呢？

這樣的教學設計，暴露了“三角形內角和”與“平行線性質定理”的關系，突出了它們的內在聯系.

圓周角定理的教學

教材通過由特殊到一般的程序，突出了定理的證明方法.但仍然沒有暴露概念形成與定理發現的過程.因此，可設計如下教學方案.

1.提供問題的背景.

如圖3，∠AOB為⊙O的圓心角，∠AOB如何度量？

圖3

2.提出問題一般化.

若∠AOB的頂點不在圓心，而是圓內任意一點P，∠APB如何度量？如圖4.

圖4

引導學生比較圖3中的∠AOB與圖4中的∠APB，特別在∠AOB的兩邊都通過圓心.那么，O在AP邊上，則∠APB如何度量？如圖5.

圖5

3.特殊化思考.

當P在AO上運動時，∠APB仍然不是定值，能否考慮更特殊的情況，比如P在圓周上（直徑的端點）時，不難得到∠APB=∠AOB，如圖6.

圖6

若圓心O不在角的任何一邊，又有什么結論呢？如圖7和圖8.

圖7

圖8

你能否化歸為已經解決的圖6的問題.

這樣我們發現了圓周角的度量方法，給出圓周角定理.如上教學設計，揭示了圓心角、圓周角的內在聯系，既突出了知識結構，又強調了化歸的基本思想方法.

平行線分線段成比例定理及其推論的教學

用運動變化的觀點闡述幾何定理，可借助教具通過演示，揭示知識的發生、發展過程，使學生對定理的形成過程有一個完整的認識.例如“平行線分線段成比例定理”及其推論，可以借助教具演示，用運動變化的觀點加以分析，使學生看到數學知識不再是零碎的、孤立的、靜止的內容，而是一個活生生的整體.

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

從圖9可以清楚地看到，把CD向上運動，即得圖10.把AE逐漸向右運動，即得圖11與圖12.而把圖11與圖12中的直線看作線段，即是圖13與圖14.這樣，由平行線等分線段定理到平行線分線段成比例定理及其推論間的相互聯系，也就躍然而出.

這里用運動的觀點暴露了由特殊到一般的認識過程，又讓學生體會到“新→舊→新”的轉化過程.

實踐表明，學生充分經歷學習過程，思維高度集中，參與教學過程，擺脫被動接受知識的心理狀態，變“苦學”為“樂學”.從教育學的角度看，在教師的啟發下學習，使教與學有機結合，學生的主體地位得到了加強，使學得的知識更加扎實，分析解決問題的能力也相應地提高，從而大面積提高教學質量.