幾種GPS水準擬合方法的應用及比較研究

康英平

GPS定位技術以其精度高、速度快、自動化程度高、經濟效益顯著等特點,在平面控制測量中已得到廣泛應用,并對許多常規測量技術產生了極大沖擊,對幾何水準也不例外[1,2],首先,在不一定要正常高的許多場合,GPS可以代替水準測量,單獨完成工程和科學任務;其次,通過似大地水準面計算好確定高程異常后,GPS測量的大地高可以轉換成正常高,從而代替水準測量[3,4]。GPS技術的發展,特別是厘米級似大地水準面的發展,為GPS測量正常高提供了技術基礎[5],因此,對GPS水準的研究也是近幾年的一個研究熱點[6,7]。正是基于這個背景,本文給出了利用GPS進行大地水準面精化時常用的幾種大地水準面擬合方法,并利用實際數據對這些方法的適用性進行了驗證,得出了有用的結論與建議。

1 GPS水準的原理及方法

GPS水準就是在小區域范圍GPS網中,用水準測量的方法聯測網中若干GPS點正常高,這些點可稱之為公共點,然后根據公共點的大地高和正常高計算出各個公共點的高程異常,再由公共點的平面坐標和高程異常采用數值擬合計算方法,擬合出區域的似大地水準面,即可求出各點高程異常,并由此求出各GPS點的正常高。常用的高程異常擬合函數模型有平面擬合法,曲面擬合法和多面函數法。都是利用GPS水準點的高程異常與點的平面坐標函數關系式,構建相應的誤差方程,根據最小二乘原理求得模型的最參數,從而實現區域似大地水準面的逼近。平面擬合法在120 km2平原地區,擬合精度可達3 cm～4 cm。在小區域內,曲面擬合精度可優于3 cm。多面函數法適于比較復雜的地區。

2 實例計算及分析

為了對上述的三種擬合方法進行實際的驗證和分析,本文采用某測區的實測數據進行了實驗,實驗區面積約為840 km2,有25個已知點,呈帶狀分布,工程控制測量得到兩套成果:1)GPS測量的大地高數據;2)水準測量的正常高數據。本實驗主要對曲面擬合和多面函數進行比較。

2.1 二次和三次曲面擬合法實驗

對已知的25個水準聯測點,分別用二次多項式曲面函數、三次多項式曲面函數進行擬合,擬合參差分布圖見圖1。可知,三次曲面擬合的結果明顯優于二次曲面擬合的結果。外符合精度三次擬合比二次擬合有明顯提高。由圖1可以看出三次擬合的檢核點的殘差一般在±9 cm之內,而二次擬合的檢核點的殘差有一小部分超過25 cm。由此可得,該測區采用三次多項式曲面函數擬合效果較好。由于二次多項式曲面擬合法本身模型的限制,只能擬合單一地形變化的測區,從圖形上可以看出,曲面僅向一個方向凸出,無法顯示高程異常的復雜變化。

2.2 HARDY多面函數擬合法點數及平滑因子研究實驗

2.2.1 已知點個數對擬合精度的影響

已知實驗區有25個水準聯測點,本文選擇不同數目的點作為已知點,分別利用多面函數進行擬合,其擬合結果如圖2所示。

從圖2得知,隨著已知點個數的增加,擬合的精度隨之提高。外符合精度有明顯提高。同時可以看出多面函數擬合殘差分布是十分有規律的,即殘差呈波形分布。在已知點附近的點殘差最小,在兩個已知點的中間殘差最大。根據這一規律,在已知點比較多的情況下,多面函數擬合法的優勢比較明顯。而且,在應用多面函數法進行擬合時,已知點盡量要均勻分布,且在點位密集的測區最好要有已知點。

2.2.2 平滑因子對擬合精度的影響

本文在已知點為七個的情況下選不同的平滑因子δ進行擬合,得到如圖3所示的結果。

從圖3得知,隨著δ逐漸增大,擬合的精度隨之提高,當δ增大到一定程度后,擬合精度開始降低。就本次試驗數據而言,當δ增大到500左右時,精度最好。根據平滑因子在核函數中的作用,當δ較大時,核函數曲面趨向扁平,適合在高程異常變化不大的地區使用。反之,在高程異常變化較大的地區適合用較小的δ值。目前對δ的選擇提出了相關理論和方法,如基于統計學理論,以檢查點高程擬合方差最小為原則,確定最佳平滑因子;基于模糊數學理論,以已有模型對準理想模型的隸屬度最大為原則,確定最佳平滑因子。但這些方法都是從給定的幾個平滑因子中選擇最優,無法精確求解δ,即無法建立起與已知點之間的函數關系,經驗在平滑因子的選擇中起了很大作用。

2.2.3 綜合比較

通過對以上方法的分析,本文進一步對平面擬合、多面函數擬合、二次曲面擬合及三次曲面擬合四種方法進行了綜合的比較試驗,可看出,擬合精度最高的是三次曲面擬合法,其次是多面函數擬合法,然后是二次曲面擬合法,而平面擬合法的精度最差。但是考慮到三次曲面擬合法使用的已知點比多面函數法多三個,且根據點位分布圖,控制點呈帶狀分布,所以三次曲面擬合精度較好,而多面函數的優勢沒有完全發揮。所以這兩種算法在此測區精度相當。如果已知點進一步增加且合理分布,根據多面函數法的特點,其精度可以進一步提高。而二次曲面擬合法和平面擬合法則精度明顯較差,由于山區地形影響,高程異常變化劇烈。而平面和二次曲面變化過于平緩。因此,在丘陵和山區等高程異常變化幅度較大的地區不適合用二次曲面擬合法和平面擬合法進行GPS高程擬合。

3 結語

本文通過對多面函數已知點數及平滑因子選擇的研究,表明在應用多面函數法進行擬合時,已知點盡量要均勻分布,且在點位密集的測區最好要有已知點,同時,經驗在平滑因子的選擇中起了很大作用。通過對平面擬合、多面函數擬合、二次曲面擬合及三次曲面擬合四種方法的比較試驗表明:1)最小二乘平面擬合法只適于在地形起伏較小的平坦測區進行擬合。2)二次多項式曲面擬合法本身模型的限制,只能擬合單一地形變化的測區,僅適合于面積較小的測區擬合,對于高程異常變化比較大的地區,三次多項式曲面擬合的精度優于二次多項式曲面擬合的精度。3)多面函數擬合法是二次多項式函數的多重疊加,適合于地形復雜的測區擬合,當GPS水準聯測點越多、顯著點越多時,擬合精度就越高,同時平滑因子的選擇也很重要,要優化選取。

[1]陳俊勇,李建成.推算我國高精度和高分辨率似大地水準面的若干技術問題[J].武漢測繪科技大學學報,1998,23(2):95-100.

[2]沙月進.最小二乘配置法在GPS高程擬合中的應用[J].測繪信息與工程,2000(3):3-5.

[3]鄒賢才,李建成.最小二乘配置方法確定局部大地水準面的研究[J].武漢大學學報(信息科學版),2004,29(3):218-222.

[4]陶本藻,蔡鳳萍.大范圍GPS水準擬合模型的選取及其試驗研究[J].測繪通報,2005(1):47-49.

[5]陳俊勇,李建成,寧津生,等.中國似大地水準面[J].測繪學報,2002(3):1-6.

[6]雷曉霞.基于重力與GPS水準組合法的大地水準面精化研究[D].西安:長安大學,2005.

[7]李珊珊.河南省數字大地水準面的建立及其實現途徑[J].河南測繪,2003(3):1-2.