歸納、猜想及證明等差數列前n項平方和公式

陳 達

山東省常樂二中，山東濰坊 262400

歸納、猜想及證明等差數列前n項平方和公式

陳 達

山東省常樂二中，山東濰坊 262400

在不少題目中，當遇到有關“等差數列前n項平方和”的相關問題時，求解很麻煩，大家都很希望有一個解此問題的易理解的固定公式，因此筆者運用 “歸納推理法”加之“數學歸納法”證明推導了“等差數列前n項平方和”公式。

歸納推理；數學歸納法；等差數列；平方和；公式

本文所述內容是根據筆者歸納猜想證明出了“等差數列前n項平方和”公式，即：

1 想法的由來

2 規律的發現與歸納

寫出幾個等差數列中的幾項，通過計算得，這兩個值并不是總相等，只有n=1或d=0時才相等且=中位數的平方乘以其個數+R 。并且可斷定R定可以寫成dm(nk? 1 )的形式，筆者寫了一列式子（n≥4，∵n≤3時很難發現其規律）通過他們之間的規律進行了歸納猜想

3 猜想及表達

且每組的m1有一定規律：

根據這一點猜想歸納出n≥4時求的思路方法步驟進而寫出其整體表達式。

思路方法步驟：

1）求項數，之后求出與其項數相連的四個項數n1、n2n3n4，且n1、n4必為偶數 ，n2、n3必為奇數。

3）表示：項數分為4種情況：

4）推理公式：

觀察上面4種情況的最后結果可得都符合一個通式，即：

其中n為項數（n≠3Z，，且n≥4，n∈N+），d為公差。另外考慮當n=3Z或n≤3， n∈N+時等式是否成立，為了驗證是否在n=3Z或n≤3， n∈N+時等式也成立，我隨便舉幾個例子，看看例子是否成立，如果例子成立，我再進行證明即可。

舉例：1）當n=3時，不妨設數列為{1、2、3}，則左邊=12+22+32=14

2）當n=6時，不妨設數列為{1、2、3、4、5、6}則左邊=12+22+32+42+52+62=91

由上面的舉例可以看出，在n=3、6時都成立，于是筆者猜想n=3Z或n≤3， n∈N+時等式也成立。通過這些規律等式我大膽的提出一個結論：等差數列前n項平方和公式：

4 “數學歸納法“證明

2）假設當n=x時，等式成立。（x≥1，x ∈N+）

∴n=x+1時公式成立

綜上所述，對任意正整數，公式恒成立，即等差數列前n項平方和公式：

[1]人教B版.高中《數學必修5》之“數列”知識點.

[2]人教B版.高中《數學選修2-1》之“推理與證明”知識點以及“數學歸納法”知識點.

O13

A

1674-6708（2010）30-0164-02

陳達，學生，所在學校：山東省常樂二中