混凝土三維彈塑性本構模型研究

陳中生

（深圳市市政設計院有限公司，廣東深圳518000）

0 引言

隨著國民經濟的飛速發展，人們對建筑結構的要求越來越高，各種高層、超高層結構不斷涌現。由于約束混凝土組合結構具有較高承載力和經濟性，因而該組合結構在這些高層結構中的應用日益廣泛。對這些約束混凝土構件進行精細化的三維有限元分析要求一類新的能夠反映多軸應力下強度提高和剪漲效應的混凝土本構模型。在過去的幾年里人們提出了各種混凝土的三維本構模型，例如Darwin等人[1]的較簡單的非線性彈性經驗模型，Bazant等人[2]提出的具有21個材料參數的復雜微平面模型等。對工程應用而言，一個成功的混凝土本構模型應該在精確性和適用性之間取得合理的平衡。本文介紹的模型能夠較精確地描述混凝土三維應力狀態下的行為且參數標定簡單，適用于工程應用。該模型是在經典增量塑性理論下建立的，模型由加載屈服函數、強化函數、軟化函數以及塑性流動函數組成。與經典塑性理論不同的是，該模型采用了塑性體積應變作為強化和軟化的內變量，這樣可以較好地描述混凝土的剪漲效應。模型中的各種材料參數最后都可以通過唯一的材料參數（混凝土的單軸壓縮強度）來表示，從而使其應用極其方便。

1 塑性理論基本方程

根據經典塑性理論，在任意時刻的總應變增量可以分解為如下：

式中，dεe為彈性應變增量，dεp為塑性應變增量。

塑性應變增量可以通過流動法則確定，一般來說混凝土并不滿足正交流動法則，因而本文采用了非關聯流動法則，也就是說，塑性應變增量方向是塑性勢函數的外法線方向，而不再與屈服面正交。因而塑性應變增量為：

為了方便計，下面的屈服函數和流動函數都是建立在Haigh-Westergaard應力空間的。該應力空間的基本參量是描述靜水壓力的長度參量ξ，應力偏量長度ρ，以及Lode角θ。本文建議的屈服函數基于Menetrey-Willam三參數屈服函數：

式中，k（κ）和c（κ)分別為混凝土的強化和軟化函數，內摩擦系數m和橢圓偏心函數r（θ，e），定義為：

因而，用混凝土的單軸拉伸強度ft、單軸壓縮強度fc及偏心率參數e就可以確定混凝土屈服函數在三維應力空間的大小和形狀。通常根據《規范》混凝土的單軸拉伸強度取為其單軸壓縮強度的0.1倍；理論上偏心率取值為0.5～1，Menetrey等人[3]建議混凝土的偏心率可以取為0.52，通過公式（3）可知這對應與混凝土的雙軸強度和單軸強度比（）為1.14，這對于普通混凝土而言具有足夠的精。但是對于高強混凝土，不同標號的混凝土其稍有不同，因而偏心率稍有差別，根據試驗資料回歸得到的混凝土關系為：

因此不同標號的混凝土偏心率可以利用公式（5）和公式（3）求得。

2 混凝土的強化和軟化函數

混凝土的強化和軟化可以視為屈服面在應力空間形狀和位置的變化，可以分別用強化函數k（κ）和軟化函數c（κ）來描述。常規塑性理論強化和軟參數往往取為等效塑性應變或塑性功，它表示起強化或軟化作用的是塑性應變長度的某種度量，很難滿意地描述混凝土多軸下的強度提高，往往得到的體積變形過大，不能反應圍壓的約束作用。鑒于此有的研究者就將強化參數與圍壓或塑性體積變形聯系起來，以期能夠反應隨著圍壓增大混凝土的不斷增強的變形能力，但是這需要增加材料參數，往往給塑性模型參數標定帶來困難。既然混凝土的體積膨脹與約束有關，圍壓對混凝土的塑性變形能力有著重要的影響，因而其對合理描述混凝土的三軸變形行為相當關鍵[4]。Grassl等人[5]建議用塑性體積應變作為塑性參數并取得了較好的效果，因此塑性參數可以定義為：定義強化函數為：式中，εpv,t是混凝土單軸壓縮峰值應力時的塑性體積應變，k0定義為混凝土單軸壓縮初始屈服的強度與峰值強度比：

對于普通混凝土初始屈服強度大約是峰值強度的30%-40%。

隨著混凝土塑性變形的進一步發展，塑性變形將會出現局部化，從而變形將會集中在某些特定的點在宏觀上表現為混凝土的塑性軟化。Grassl等人[5]建議塑性軟化可以通過軟化函數c(κ)描述：

式中，參數t控制軟化速度定義為：

t=fc/15000 （11）

可見，定義了強化函數和軟化函數后，混凝土的強化可以視為屈服函數在應力空間沿靜水應力軸正方向的平移和膨脹，而混凝土的軟化則可視為屈服函數在應力空間沿靜水應力軸負方向的平移。

3 混凝土的流動函數

由于混凝土塑性變形存在剪脹效應，往往采用非關聯流動法則，合理塑性勢函數對描述混凝土的塑性變形至關重要。它控制著塑性流動的方向和塑性應變的累積。試驗表明混凝土圍壓越大，混凝土的體積膨脹越小，約束效果越明顯，合理的塑性流動函數應該能夠反應這一點，即塑性流動函數在Haigh-Westergaard坐標中的子午線隨著靜水壓力的增加不再是直線變化，而是變斜率的，逐漸偏向靜水壓力軸，使塑性體積應變的分量越來越小，從而增強混凝土的塑性變形能力。顯然，基于直線變化的Drucker-Prager形式的塑性流動函數不能較好地反映這一點。Grassl等人給出了一種非線性塑性流動函數，隨著圍壓增加（ξ增加），子午線不斷向靜水壓力軸靠攏，曲線斜率不斷減小，塑性體積分量越來越小，能夠較好地描述圍壓對塑性變形的約束作用和混凝土強度的提高。Vassilis等人建議的流動函數為：

式中，材料參數A，B，C的標定可見Vassilis等人的工作。由此建立了混凝土的彈塑性本構模型，雖然在模型中出現了較多的材料參數，但是這些材料參數都可以在現有試驗結果的基礎上通過唯一的參數—混凝土單軸峰值強度進行標定，從而使模型工程應用極其方便。

4 數值計算

在混凝土的彈塑性數值求解上，Ortiz[6]等人建議了一類稱為算子分離法的回映算法，為了減小迭代過程中重復計算Lee[7]等人在建議了對應力張量進行譜分解的方法，Vassilis[4]等人建議了一種后退Euler法的隱式積分算法，并且還采用了半分法來加快收斂速度，減小迭代計算量。由于完全隱式的后退Euler回映算法具有較高的精度可成熟的算法，本文采用了不同于Vassilis等人的半分法方法，采用完全隱式的后退Euler法求解提高了計算精度和穩定性。

基于對率形式的本構方程進行積分的算法稱為應力更新算法，在完全隱式的算法中，在步驟結束時計算塑性應變和內變量的增量（后退歐拉算法），同時強化屈服條件。基本思路是先彈性預測，再按最近點投影塑性修正（回映算法），積分算法寫為：

式中，rn+1是n+1時刻的流動方向，hn+1是n+1時刻的塑性硬化函數。將公式（13.b）代入（13.d）得到：

利用通用非線性有限元分析軟件Abaqus的用戶材料子程序接口（UMAT）可以將上述混凝土彈塑性本構模型嵌入到Abaqus中進行混凝土結構的彈塑性非線性分析。

5 模型計算結果

為了考察模型的性態和有效性，首先用Abaqus模擬了兩組Dahl等人[8]關于混凝土的單軸受壓應力-應變關系試驗研究的結果，試驗中兩組混凝土的實測值分別為21.7 MPa及31.7 MPa；模型計算的峰值應力分別取為20.0 MPa及30.0 MPa。二者比較如圖1所示，按照Abaqus的約定，受壓符號為負，故下面各圖均標示為負值，“Model”標示該模型計算結果，“Exp”標示試驗結果。可以發現模型計算結果和試驗結果在上升段、峰值應力和峰值應變吻合較好，下降段模型計算結果比試驗稍有區別，考慮到試驗離散型可以認為該模型可以很好地描述混凝土單軸應力-應變關系。

圖2給出了單軸峰值強度分別為20 MPa、30 MPa、40 MPa、50 MPa、60 MPa、70 MPa、80 MPa的混凝土單軸應力-應變關系，圖2中數值標示混凝土的單軸壓縮峰值強度。

混凝土壓縮的一個重要的現象就是體積膨脹，試驗時隨著荷載的不斷增加，混凝土先經歷了體積壓實的過程，隨后由于剪切破壞內部出現了較多裂紋，出現剪脹現象，剪脹現象見圖3所示。圖3中“volume”表示體積應變隨單軸荷載變化關系。

約束對混凝土強度提高的效果在圖4中得到集中體現，圖4是強度為47.4 MPa的混凝土在不同約束應力下的應力-應變關系曲線。圖中標示“uniaxial”表示單軸應力應變曲線關系，數值標示約束應力，如4.74 MPa標示約束應力為4.74 MPa時的應力應變關系，其他標示類似。可見隨著約束應力的增加，混凝土強度有了顯著的提高。

6 結語

上述混凝土彈塑性本構模型能夠很好地描述混凝土的體積膨脹和圍壓對塑性變形的約束作用及強度提高，由于模型引進了橢圓方程，使屈服（破壞）子午線能夠隨相似角不斷變化，從理論上來講可以描述任何圍壓下的混凝土三維受力特點。由于塑性體積應變是圍壓的直接度量，用它作為強化，軟化參數就可以直接反應圍壓的影響；同時塑性勢函數在在Haigh-Westergaard坐標中，子午線是曲線變化的，相似角相關，使得高圍壓下混凝土的塑性體積變形得到了有效約束，強度得到提高。

[1]Darwin,D.,Pecknold,D.A..Nonlinear biaxial stress-strain law for concrete[J].Journal of Engineering Mechanics,ASCE.1977,103(2),229-241.

[2]Bazˇant,Z.P.,Prat,P.C.Microplane model for brittle-plastic material:I.Theory[J].Journal of Engineering Mechanics,ASCE.1988,114(10),1672-1688.

[3]Menetrey,P.,Willam,K.J.Triaxial failure criterion for concrete and its generalization[J].ACI Structural Journal.1995,92(3):311-318.

[4]Vassilis K.Papanikolaou,Andreas J.Kappos Confinement-sensitive plasticity constitutive model for concrete in triaxial compression[J].International Journal of Solids and Structures.2007,44:7021-7048.

[5]Grassl,P.,Lundgren,K.,Gylltoft,K.Concrete in compression:a plasticity theory with a novel hardening law[J].International Journal of Solids and Structures.2002,39(20):5205-5223.

[6]Ortiz M.,Simo J.C.An analysis of a new class of integration algorithms for elastoplastic constitutive relations[J].International Journal for numerical methods in engineering.1986,23:353-366.

[7]Lee,J.,Fenves,G.L.A return-mapping algorithm for plastic-damage models:3-D and plane stress formulation[J].International Journal of Numerical Methods in Engineering.2002,50:487-506.

[8]Dahl,K.K.B.A constitutive model for normal and high-strength concrete[C].ABKReportNo.R287,DepartmentofStructuralEngineering,Technical UniversityofDenmark,1992.