改進的灰色模型與ARMA模型的股指預測

吳朝陽

ARMA(autoregressive integrated moving average)模型作為使用最廣泛的時間序列模型，一直以來被許多學者用于股票價格序列的研究中［1-4］.其本質是利用平穩時間序列的統計相關性來進行未來價格的預測.灰色GM(1，1)模型是基于灰色理論的時間序列預測方法，近年來也被廣泛地用于股票價格的時間序列預測中［5］.GM(1，1)模型的核心思想是用指數方程來捕捉隱藏在時間序列中的能量聚集，而這種聚集可以通過累加操作顯現出來，從而可以用指數方程來進行擬合.可以看出這2種辦法對于股價的預測都有各自的側重.由于股價序列的復雜和多樣性，以上2個模型中的任意一個都不能完全地描述股價運動，因此一個常規的想法就是結合這2種預測模型建立組合模型.其思想是用GM(1，1)模型來捕捉股價運動的趨勢，而用ARMA模型通過挖掘殘差序列的相關性來進行股價的預測.

實際上，這種基于灰色GM(1，1)模型和ARMA模型的組合模型已經被廣泛地用于時間序列的預測中，并被稱呼為GM-ARMA模型(grey model-autoregressive integrated moving average model)［6］.但是由于組合模型中GM(1，1)模型不是最優的，并且沒有考慮最優的結合點，因此傳統的GM-ARMA模型不是最優的.本文將針對這2點不足提出了RGM-ARMA模型并用于股指的預測.

1 通用的GM-ARMA模型

對于給定的時間序列 X=(x1，x2，…，xn)，首先用經典的GM(1，1)模型求出其灰色預測序列和點 n+1 的灰色預測值，然后針對灰色殘差序列建立ARMA模型，并用該模型求出灰色殘差序列Y在點n+1的預測值GM-ARMA模型可以被表示為

可以看出GM-ARMA模型存在2點不足:1)由于GM(1，1)模型不是最優的，導致了GM-ARMA模型也可能不是最優的;2)在用GM(1，1)模型進行建模的過程中，并不考慮對ARMA模型的影響，反之亦然，因此也就不存在最優結合點，這也導致了GMARMA模型不是最優的.針對以上情況，本文在先優化GM(1，1)模型的基礎上，找到灰色模型和ARMA模型的最佳結合點，最后找到最優的GM-ARMA模型.

2 優化的GM(1，1)模型

當前，對GM(1，1)模型的優化主要集中在2個方面.

一個方面是通過選擇合適的建模所用的數據維度來優化GM(1，1)模型.在經典的GM(1，1)預測中，灰色建模主要是基于少量的數據，因此一般都是直接選擇所有的數據進行建模.但是對于一些可以得到大量數據的時間序列來說，選擇合適的數據維度來建立GM(1，1)模型就變得很重要了.郝永紅等在用GM(1，1)模型預測人口的時候指出，不同的數據維度將導致預測誤差差別較大，他們分別用5～8維4種數據維度對人口進行了灰色預測，發現用6維數據進行預測時，預測誤差最低［7］.李國平等［8］也對這種問題進行了研究，他們指出:“在對股票價格進行灰色預測時，數據量不同，預測結果將有所不同，有時甚至差別很大”.為此他們提出了用黃金分割法來尋找合適的建模所需的數據量.

另一類優化集中在對白化背景值z(1)(k)的優化上.在經典的灰色模型的教科書［9-10］中，對于累加變量x(1)(k)的白化背景值z(1)(k)的定義是

很多學者認為常數0.5將導致預測值不是最優的.為了解決這個問題，他們引進了1個參數來替代常數0.5.不同學者采用不同希臘字母代替常數0.5，這里統一用希臘字母μ來表示這個參數，因此白化背景值z(1)(k)新的定義為

這種改進的GM(1，1)模型通常稱為GM(1，1，μ)模型.因為發展系數a和控制變量b是被白化背景值z(1)(k)所控制的，而z(1)(k)又是被參數μ所控制的，因此，優化GM(1，1)的過程就是優化參數μ的過程.為了找到最優的μ，許多學者提出了各種各樣的算法，其中有劉虹等的微粒群算法［11］，謝開貴等的遺傳算法［12］，陳舉化等的最優擬合點群逼近原始點群的算法［13］.

通過上面的研究可以看出數據維度和影響白化背景值z(1)(k)的參數μ確實對預測精度有影響.同時也看到上面的研究主要集中在分開對這2種影響因素進行研究，而沒有同時考慮這2個因素對預測精度的影響.針對以上情況，本文嘗試提出改進的灰色模型以便同時考慮這2個因素對預測精度的影響.為了方便和統一起見，這里稱呼影響白化背景值z(1)(k)的參數為灰色變量，并用希臘字母μ來表示，對數據維度用希臘字母v來表示，并將這種改進的 GM(1，1)模型命名為 GM(1，1，μ，v)模型.

由于本文的研究重點是對股票價格的灰色預測，因此參數μ和v的優化原則也將基于一定的金融背景.在金融股票市場中，人們通常用點數的得失來評價他們的投資策略在過去一段時間的表現，這種度量在統計上，可以用總絕對值誤差σTAE(total absolute error)來度量.σTAE越小，說明投資誤差在過去的一段時間越小.因此這里認為最優的參數μ和v就是其σTAE最小的參數.基于最小σTAE來選擇最優參數組合(u，v)的準則稱為TAE準則.對于不同的應用，建立GM(1，1，μ，v)模型可以用不同的準則，但是原理上都是基本一樣的.

用TAE準則建立 GM(1，1，μ，v)模型的思路概括來說就是首先對參數μ和v設立上下限:μ∈(l，L)，v∈(r，R)并離散化以便構造1個有界的離散參數空間.對于給定的時間序列X=(x1，x2，…，xn)和1 個離散參數組合(μ，v)，μ∈(l，L)，v∈(r，R)都可以構造GM(1，1，μ，v)模型并得到序列X的灰色預測序列.因此也就可以得到式中:xj表示真實值表示灰色預測值.對每一個參數組合(μ，v)，都可以用以上方法就算出σTAE.參數組合(μ，v)滿足:

就是最優的參數，相應的GM(1，1，μ，v)模型就是基于TAE準則的最優的灰色模型.

3 RGM-ARMA模型

建立了優化的灰色模型 GM(1，1，μ，v)后，就可以通過找到灰色模型和ARMA模型的最佳結合點來整合這 2個模型了.整合 GM(1，1，μ，v)和ARMA(p，q)的過程就是找到最佳組合(μ，v，p，q)的過程，其基本的前提條件就是參數(μ，v)和(p，q)的選擇必須基于相同的統計準則.

在 ARMA(p，q)中，經典的選擇參數(p，q)的準則是BIC(Bayesinformationcriterion)和AIC(Akaike’s information criteria)準則;但是由于 BIC和AIC不能用于(μ，v)的選擇，那么惟一可能的就是看(p，q)是否可以用TAE準則進行選擇.為了驗證TAE準則是否可以用來建立ARMA(p，q)，首先要針對ARMA(p，q)模型定義TAE準則.參考BIC和AIC的定義，定義TAE準則如下.

對AR(autoregressive model)模型和MA(moving average model)模型的級數設定上界P和Q，針對每個參數組合(p，q)，0≤p≤P，0≤q≤Q 建立ARMA(p，q)模型，并基于相同的歷史數據計算σTAE，最佳的模型滿足:

相應的參數(p，q)也就是最優的參數.為了比較BIC、AIC和TAE準則在預測誤差上的不同，用相同的數據基于以上3個準則計算了平均絕對值誤差σMAPE(mean absolute percent error).這里的數據來源于YAHOO金融板塊，數據為TXS加拿大綜合指數日線數據，總數是2008年6月30日—2009年2月6日的一共152個數據，其中2008年6月30日—2008年12月31日的半年的126個數據用于建模，2009年1月2日—2009年2月6日的26個數據用于模型的評測，因此σMAPE的計算為

結果見表1.

表1 不同準則下的σMAPE的比較Table 1 Comparison between different criterions

從表1可以看出，基于3種不同標準的預測誤差并不大，實際上，基于TAE準則的預測誤差甚至小于基于BIC準則的預測誤差，這經驗地證明了TAE準則可以用來對參數(p，q)進行選擇.

由于 GM(1，1，μ，v)中 的 參 數 (μ，v)和ARMA(p，q)中的參數(p，q)都可以用TAE準則來選擇，這就為整合2個模型并找到最優的組合(μ，v，p，q)提供了基礎.具體來說，構造RGM-ARMA模型的思想為:

首先對參數(μ，v，p，q)設定上下限，并對連續參數進行相應的離散化處理，以便形成離散參數空間:μ∈(l，L)，v∈(r，R)，p≤P，q≤Q.對于給定的歷史時間序列X=(x1，x2，…，xn)和給定的位于離散參數空間的參數組合(μ，v，p，q)，通過式(1)可以建立相應的GM-ARMA模型，并可以用該模型計算出擬合序列，因此也就可以計算出σTAE為

最優的GM-ARMA模型滿足:

4 實例研究

為了說明RGM-ARMA模型的建模過程，這里用與上例相同數據來建模，其中開始的126個數據用于模型的建模，后面的26個數據用于模型的檢驗.

首先需要對參數(μ，v，p，q)建立合適的上下界，其原則是盡量包含最優的解，同時又讓計算量不要太大，經過研究比較，這里對參數(μ，v，p，q)定義的上下界為

其次需要對惟一的連續參數μ進行離散化處理，這里用的離散間距為0.1以減少計算量.這樣就總共有了880 個(μ，v，p，q)的參數組合，針對每個組合可以基于歷史數據計算出相應的σTAE，最小σTAE所對應參數組合(μ，v，p，q)和相應的 GM-ARMA 模型就是最優的模型.

對于本例的歷史數據X=(x1，x2，…，x126)和某一個參數組合(μ，v，p，q)=(0.6，7，1，0)，其具體的σTAE計算過程如下:

由于(μ，v)=(0.6，7)，因此用相應的GM(1，1，0.6，7)模型來得到時間序列X的灰色預測時間序列這里 GM(1，1，0.6，7)的意思是用固定的7個灰色數據量和0.6的灰色參數建立的GM(1，1)模型.其中開始的7個灰色預測數據等于原始的 7 個數據(x1，x2，…，x7)，第8個灰色預測數據^z8是7個原始數據(x1，x2，…，x7)建立的GM(1，1，0.6，7)模型預測出來的，第9個灰色預測數據^z9是7個原始數據(x2，x3，……x8)建立的GM(1，1，0.6，7)模型預測得來的，以此類推，第126個灰色預測數據^z126是7個原始數據(x119，x120，…，x125)建立的 GM(1，1，0.6，7)模型預測得來的.由此，可以得到全部126個灰色預測序列 Z^和灰色殘差序列 Y=X －=(y1，y2，…，y126).由于(p，q)=(1，0)，因此對灰色殘差序列 Y建立ARMA(1，0)模型并可得到相應的Y的ARMA模型的預測擬合值，這里是空值.由于灰色模型和 ARMA 模型都要用以前數據遞推的緣故，是y8通過建立的ARMA(1，0)計算得到，以此類推是 y125通過建立的ARMA(1，0)計算得到.這樣序列X基于參數組(μ，v，p，q)=(0.6，7，1，0)的 GM-ARMA 模型的擬合的就為

總絕對值誤差σTAE就為

以上算法可以用Matlab編程實現，本節的例子中，當(μ，v，p，q)=(0.4，6，3，1)的時候，基于歷史數據 X 計算出來的 σTAE最小，因此用(u，v，p，q)=(0.4，6，3，1)建立的 GM-ARMA 模型就是基于 TAE準則的最優GM-ARMA模型.其意思是要用6個數據段和采取灰色參數0.6建立GM(1，1)來進行灰色預測，并對灰色殘差建立ARMA(3，1)模型來進行預測.效仿前面的(μ，v，p，q)=(0.6，7，1，0)的例子，用(μ，v，p，q)建立 GM-ARMA 模型，可以得到第127個點的灰色預測值和灰色預測殘差的預測值，并由此得到序列X在127個點的預測值為

因此，根據RGM-ARMA模型，對TSX指數第127個點的預測值，也就是時間2009年1月2日的日線收盤價的預測值為8 953.2.對于第128個數據，將用開始的127個數據建立改進的GM-ARMA模型來預測，以此類推，可以得到從2009年1月2日—2009年2月6日的全部26個預測數據.并計算出σMAPE為

由于股市判斷方向也重要，這里也計算出了方向錯誤率σDIR(directional errors)為

這里，

因為GM-ARMA模型并沒有給出選擇GM(1，1)模型的準則，這說明任何灰色維度超過3就可以用，因此這里選擇了幾個不同的灰色維度來建立GM(1，1)模型，而對殘差用常用的BIC準則來構建不同的GM-ARMA模型.用相同數據計算這些模型的誤差率，表2列出了各個模型的比較.

表2 不同模型的比較Table 2 Comparisons between models

由表2可以看出，RGM-ARMA模型的3種預測誤差都小于ARIMA模型和GM-ARMA模型的各種組合，這也說明了RGM-ARMA模型在實踐中是可行的.

5 結束語

本文解決了傳統的GM-ARMA模型中GM(1，1)模型并不是最優化的問題，也提出了整合GM(1，1)模型和ARMA模型的一個全新的解決思路，即基于某種定量的原則來建立最優的組合模型而不是依靠經驗來建立組合模型.實驗結果表明，這種整合思想所得到的結果在誤差上小于ARIMA模型和GMARMA模型.更重要的是，提出了一種新的建立組合模型的思想，通過修改組合的條件，該思想可以推廣到建立多種組合模型上去.雖然是針對股票的特點提出了基于TAE準則來建立GM(1，1)和ARMA模型的組合模型，但是也可以基于TAE準則建立其他模型的組合模型.例如基于TAE準則建立GM(1，1)、小波分解和ARMA模型的組合模型.或者也可以針對其他的實際情況，通過修改準則來合成組合模型，例如預測國民生產總值GDP這種時間序列時，可以修改成MAPE準則來建立GM(1，1)和AR-MA模型的組合模型.

［1］朱寧，徐標，仝殿波.上證指數的時間序列預測模型［J］.桂林電子工業學院學報，2006，26(2):124-128.ZHU Ning，XU Biao，TONG Dianbo.Time-series prediction model of Shanghai composite index［J］.Journal of Guilin University of Electronic Technology，2006，26(2):124-128.

［2］POTERBA J M，SUMMERS L H.The persistence of volatility and stock market fluctuations［J］.American Economic Review，1986，76:1143-1151.

［3］郭寧，向鳳紅.灰色理論和神經元網絡在證券市場中的應用［J］.自動化技術與應用，2008，27(10):1-3.GUO Ning，XIANG Fenghong.Application of grey model and neural network in the stock-market［J］.Techniques of Automation and Applications，2008，27(10):1-3.

［4］FRENCH K R，SCHWERT G W，STAMHAUGH R F.Expected stock returns and volatility［J］.Journal of Financial Economics，1987，19:3-29.

［5］李國平，于廣青，陳森發.中國股票價格灰色預測研究綜述［J］.東南大學學報:哲學社會科學版，2005，7(2):28-30，126.LI Guoping，YU Guangqing，CHEN Senfa.A review of research on stock price gray forecast in China［J］.Journal of Southeast University:Philosophy and Social Science，2005，7(2):28-30，126.

［6］吳庚申，梁平，龍新峰.基于GM-ARMA的年電力負荷組合模型［J］.湖北電力，2005，29(2):21-23.WU Gengshen，LIANG Ping，LONG Xinfeng.An annual electric consumption combined model based on GM-ARMA［J］.Hubei Electric Power，2005，29(2):21-23.

［7］郝永紅，王學萌.灰色動態模型及其在人口預測中的應用［J］.數學的實踐與認識，2002，32(5):813-820.HAO Yonghong，WANG Xuemeng.The dynamic model of gray system and its application to population forecasting［J］.Mathematics in Practice and Theory，2002，32(5):813-820.

［8］鄧聚龍.灰色系統基本方法［M］.武漢:華中理工大學出版社，1988.

［9］袁嘉祖.灰色系統理論及其應用［M］.北京:科學出版社，1991.

［10］李國平，林敬松.一種改進的灰色模型在股票價格中的應用［J］.商場現代化，2005(10):188-189.

［11］劉虹，張岐山.基于微粒群算法的 GM(1，1，λ)模型的機械產品壽命預測［J］.機械設計，2007，24(10):4-5，61.LIU Hong，ZHANG Qishan.Life-span prediction on mechanical products of GM(1，1，λ)model based on particle swarm algorithm［J］.Journal of Machine Design，2007，24(10):4-5，61.

［12］謝開貴，李春燕，周家啟.基于遺傳算法的 GM(1，1，λ)模型［J］.系統工程學報，2000，15(2):168-172.XIE Kaigui，LI Chunyan，ZHOU Jiaqi.Gray model(GM(1，1，λ))based on genetic algorithm［J］.Journal of Systems Engineering，2000，15(2):168-172.

［13］陳舉華，史巖彬，沈學會.GM優化方法在機械系統壽命預測中的應用［J］.山東大學學報:工學版，2003，33(4):379-381.CHEN Juhua，SHI Yanbin，SHEN Xuehui.Application of GM(1，1，ω*)methods in the life prediction of mechanical systems［J］.Journal of Shandong University:Engineering Science，2003，33(4):379-381.