基于幾何參數化的連續潮流算法研究

向 潔 韓富春 李少華 楊 宇

（1.太原理工大學電力與動力學院，太原 030024；2.山西省電力公司，太原 030001）

1 引言

在電力系統電壓穩定性研究中，PV曲線是進行電壓穩定研究的有效工具。PV曲線的求取可以獲得電力系統電壓穩定的功率傳輸極限和電壓穩定的臨界值[1]，因此PV曲線的準確求取對電力系統靜態安全及電壓穩定具有重要意義。

采用常規潮流計算方法求取 PV曲線，在負荷接近臨界點時，往往會出現雅克比矩陣奇異，導致迭代不收斂[2]。針對在鞍結分岔點附近的潮流迭代不收斂的問題，近年來，眾多研究人員提出了各種計算傳輸功率極限的方法和各種不同的解決方案。如文獻[3]對重負荷節點采用導納模型；文獻[4]通過回避崩潰支路來進行不含崩潰支路的潮流迭代；文獻[5]中引入參變量參數化，避開雅克比矩陣的奇異；文獻[6]中提出利用潮流多解，采用新的變量形成雅克比矩陣。以上這些方法對電壓穩定極限的求取已經取得了一系列的研究成果

本文在基于連續潮流法算法基礎上，提出了一種改進的連續潮流算法。該算法采用幾何參數化，通過增加一維校正方程改變雅可比矩陣結構。從而改變其收斂方向，有效地消除了在分歧點附近的雅可比矩陣奇異的現象，避免了在極限傳輸點的迭代發散。可以精確獲得電壓穩定極限以及完整的 PV曲線。

2 算法原理

2.1 連續潮流的基本原理

電力系統的常規潮流方程可以表示如下，記為

其中，式（1）中的PGi，QGi分別表示第i個節點的發電機出力，PLi，QLi表示第i個節點的負荷，V和θ分別表示電壓的模值和相角。

若在式（1）中加入未知量λ，表示發電機和負荷的增長；Kpg，Kpl，Kql分別表示發電機和負荷的有功、無功增長的方向向量。此時形成以負荷變化為參數的潮流方程可以表示為如下

在（2）式中，當λ=1時，PLi0，QLi0，PGi0分別表示初始條件下PQ節點的有功、無功以及PV節點的有功，因此它既適用于單個的節點也適用于整個系統。一旦負荷變化方式和發電機模型確定了，就可以采用常規潮流法計算出各種負荷條件下的電壓值。

若用矩陣和向量表示潮流[7]。則可以表示為

潮流方程的狀態變量X表示V和θ。為了求取潮流的下一步解，先采用切線預估來近似估計下一步的狀態變量的解。將式（3）求取全微分，在 X0處展開

由于潮流方程中引入參數λ，增加一個未知的狀態變量，因此需要增加關于λ的一維規范化方程，從而使潮流雅可比矩陣相應的增加一行和一列。擴展后的潮流方程[8]可以表示為

在式（5）中，ek是行向量，除了第k個元素為1以外，其他的元素均為0。由方程組可得到切向量，再確定步長因子為σ，下一步的預報解為

然后，預測下一個運行點，迭代求解得到真解。以上即為連續潮流法的基本原理。

2.2 連續潮流法所存在的問題

目前連續潮流法存在的主要問題如下：

（1）局部參數連續法：該方法通過控制連續變量對曲線進行參數化。在修正方程中新增方程是將某一個連續變量值固定，這個連續變量可以是節點的電壓幅值V或負荷增長參數λ，其參數化方程表示為

圖1 局部參數連續示意圖

（2）正交參數法：該方法采用了預測方向的正交面作為實際值的校正路徑，其增加的參數方程表示為

其中，式（9）中ΔX，Δλ為每次迭代的預估值，在迭代時為常量。從圖中可以看出，在接近臨界點時，預估值的正交平面也有可能與 PV曲線沒有交點，同樣會使得迭代無法收斂[10]。

圖2 正交參數法示意圖

（3）弧長參數法：該方法雖然這是對正交法的改進，但采用曲線的弧長進行非線性方程的參數化，校正過程為沿著所給定的弧長所確定的圓弧上來追蹤實際解，其參數化方程

雖然在N+1維的平面中的超球面或超橢球面可以與曲線相交，可以實現步長隨曲線曲率自動變化，但是在電壓極限點的附近，會因為曲率過大而弧長半徑會繞過臨界點，仍然會因與曲線無法相交而沒有解[11]。

3 改進算法

針對目前連續潮流在改變收斂方向中所存在的問題：即在改變收斂方向的過程中可能存在不收斂現象。本文提出采用幾何原理，重新構造第N+1個方程，所得的方程可以表示為

圖3 幾何參數法示意圖

如圖3所示，其中，每一步的預估步為（Vk，λ），而（Vk0，λ0）是在平面選取任意一個固定點，是一個相對獨立的變量。α為節點電壓與有功功率的正切值，其預估步長與固定點的連線方向就是收斂方向，新的雅可比矩陣為

對于固定點的選取，一般取在所求曲線的電壓最大點和最小點之間，使得這個點與曲線上每一個點都有交點，這樣就可以保證在校正過程中每一步校正都收斂。一般取其中間值（（Va+Vb）/2，( λa+λb)/2）為固定點。（其中為（λa，Va）為初始值，(λb，Vb)為最后一個值）。

對于每一步校正而言，α是一個可算出的固定常數。α的獲得是通過下面的公式[12]

其中，每預估一次，α的值就需計算一次。而在每步的校正過程中，α保持不變，校正步的收斂方向也就確定了，這樣就可以繪出完整的 PV曲線了。從理論上，只要固定點選擇恰當就不會存在不收斂的問題。而連續參數X的選取，一般選擇沿切線方向變化較快的變量。

4 算例分析

本文通過對IEEE39節點和IEEE118節點的電力系統進行計算，并按本文所述的方法編寫幾何參數化的程序進行計算分析。系統負荷增長方式均為有功和無功等比例同時增長，步長因子σ取0.01～0.02之間，仿真中取容許誤差為10-6。

圖4 幾何參數法的IEEE39節點全網負荷增長時總負荷的PV曲線

對 IEEE39節點的系統采用本算法，選取固定節點（Vk0=0.8，λ0=0），并通過公式（13）計算出參數α。圖4是全網負荷同時增長時總負荷的PV曲線。從圖中可以看出，幾何參數連續潮流法在計算過程中都比較穩定，即使在臨界點也保持著良好的收斂性，可一直計算到 PV曲線的下半枝，整個過程的每一步迭代均不超過5次，能夠完整的繪出整條PV曲線。

圖5 幾何參數法的IEEE118節點系統全網負荷增長時單個節點（43與44節點）的PV曲線

對118節點的系統計算可以得到相同的結論。如圖5和圖7所示，分別表示全網負荷增長時單個節點的 PV曲線（43和 44節點）和系統總負荷的PV曲線，初始點參數設為（0.85，0）。并在相同條件下，并用本算法的計算結果同正交參數法進行了比較。

圖6 正交參數法的IEEE118節點全網負荷增長時總負荷的PV曲線

圖7 幾何參數法的IEEE118節點全網負荷增長時總負荷的PV曲線

通過對圖6的正交參數法和圖7的幾何參數法計算結果的比較：圖6表明正交法在功率增長還沒有到達臨界值時就已經出現不收斂的現象，而本算法繪出的 PV曲線在臨界點附近沒有遇到迭代不收斂的問題，可以一直計算到 PV曲線的下半支，可以完整地繪出整條PV曲線。

5 結論

（1）本文給出了一種求取電力系統PV曲線的改進算法。該算法是以連續潮流為基礎，采用了幾何參數化，有效地解決了迭代過程中的振蕩及不收斂問題，并保持較好的收斂性。可以精確地求出整條PV曲線和功率極限電壓的臨界值。

（2）本文所提出的算法原理簡單，求解的過程穩定，只需對原來連續潮流程序稍作修改即可完成。

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