多相異步電機的數(shù)學(xué)模型及仿真研究

石媛 李明勇 朱軍

（中國船舶重工集團公司七一二研究所，武漢430064）

1 引言

近年來，隨著電力電子技術(shù)的發(fā)展，大容量的交流電機調(diào)速系統(tǒng)在工業(yè)中得到越來越廣泛的應(yīng)用。在這些調(diào)速系統(tǒng)中，為了減少電機電磁轉(zhuǎn)矩的脈動，或者為了減輕調(diào)速系統(tǒng)對電網(wǎng)的諧波污染，有時采用多相交流電機[1]。目前，多相變頻調(diào)速系統(tǒng)主要的應(yīng)用領(lǐng)域有三個，一是系統(tǒng)可靠性要求很高的場合，二是低壓大功率的傳動場合，如潛艇的動力系統(tǒng)、核電站水冷系統(tǒng)、戰(zhàn)車、城市輕軌的牽引系統(tǒng)等。三是大功率精密傳動場合，多相變頻調(diào)速系統(tǒng)由于其轉(zhuǎn)矩脈動小，轉(zhuǎn)速平穩(wěn)，轉(zhuǎn)矩響應(yīng)快，因而適用于軋鋼等對速度控制精度要求很高的場合[2]。多相變頻調(diào)速系統(tǒng)有著廣泛的應(yīng)用前景，但是還有很多問題需要研究，其中最基礎(chǔ)的問題就是多相電機的數(shù)學(xué)模型。已經(jīng)有不少人研究過多相電機的數(shù)學(xué)模型，也提出了多種不同的模型，但很少有人提及它們內(nèi)在的聯(lián)系。本文擬從變換的本質(zhì)及其物理意義出發(fā)研究不同的模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，并且通過五相電機的仿真證實目前最常用的幾種數(shù)學(xué)模型在本質(zhì)上是一致的。

2 多相電機的常用數(shù)學(xué)模型

一般而言，n（n ≥ 3）相電機定子繞組中可以流過n個相互獨立的電流，所以n相感應(yīng)電機可以認為是一個n維的系統(tǒng)。n維空間向量可表示為：向量可以是電流、電壓、磁鏈等正弦對稱的時變信號。從幾何上說，對n相電機的控制等價于將定位于某個n維空間的平面上，并使之按照給定速度旋轉(zhuǎn)。而在自然坐標系下的n相感應(yīng)電機數(shù)學(xué)模型是一個高階、非線性、強耦合的多變量系統(tǒng)，因而完成上述控制任務(wù)十分困難，選擇適當(dāng)?shù)目臻g變換，可以使得上述控制任務(wù)得到簡化。

在三相變頻調(diào)速系統(tǒng)中，通過一個3× 3的實矩陣將交流電機的三相對稱繞組等效為一個兩相繞組d、q和一個零序繞組，從而將三維空間的電流、電壓、磁鏈等向量定位于d、q組成的平面上，使得分析過程大大簡化[4,5]。三相電路坐標變換的理論基礎(chǔ)本身并不依賴于電路的相數(shù)，因此可以將其推廣到一般的多相對稱系統(tǒng)，通過一個n× n的實變換矩陣將交流電機的n相對稱繞組等效為一個兩相繞組和一系列“零序繞組”，從而將n維空間的電流、電壓、磁鏈等向量定位于某個平面上。下面將具體分析如何選取這個n× n的實變換矩陣。

取兩個線性無關(guān)且相互垂直的向量如下：

其中i=1,2,3…，為任意自然數(shù)，n為電機相數(shù)。則這兩個向量可以構(gòu)成n維空間的一個平面，edi(0)和 eqi(0)是這個平面的一組基，且構(gòu)成這個平面內(nèi)一組靜止的坐標系。

設(shè)任意i次諧波向量如下：

其中i=1,2,3…，θ1=ω1t，ω1為基波角頻率。

當(dāng) i = 1 時為基波向量。易證 si(θ1)是 edi(0)和eqi(0)的線性組合，因此i次諧波在 edi(0)和 eqi(0)構(gòu)成的平面上，此平面就稱之為i次諧波平面，edi(0)和 eqi(0)構(gòu)成i次諧波平面上的一組靜止坐標系， i = 1 時稱為基波平面。對稱分量經(jīng)過坐標變換后，基波只會出現(xiàn)在基波平面上，i次諧波出現(xiàn)在i次諧波平面上，在其它平面上的投影為零，即將基波和各次諧波可以定位于相應(yīng)的平面上。

如果使i次諧波平面內(nèi)坐標系的旋轉(zhuǎn)角速度為ω，則可取如（2）式所示兩個向量，其中θ=ωt ，ω為旋轉(zhuǎn)坐標系相對于定子的旋轉(zhuǎn)角速度。易證edi和eqi都是edi(0)和eqi(0)的線性組合，且相互垂直，所以（2）式中的edi和 eqi構(gòu)成i次諧波平面上的一組以ω為角速度旋轉(zhuǎn)的坐標系。如果取i=1,2,3…，即依序取基波平面和各次諧波平面，則n×n的實變換矩陣可以取如（3）式所示矩陣[2]。當(dāng)n為偶數(shù)時，m=n/2-1；當(dāng)n為奇數(shù)時，m=(n-1)/2，并去掉最后一行。

如果使i次諧波平面內(nèi)坐標系的旋轉(zhuǎn)角速度為 iω，則可取如（4）式所示兩個向量。同理可得（4）式所示的 edi和 eqi構(gòu)成i次諧波平面上的一組以iω為角速度旋轉(zhuǎn)的坐標系。如果取i=1,3,5…，即取基波平面和奇數(shù)次諧波平面，則n× n的實變換矩陣可以取如（5）式所示的矩陣[3]。當(dāng)n為偶數(shù)時，m=n-3；當(dāng) n為奇數(shù)時，m = n - 2 ，并去掉最后一行。

（3）式和（5）式即為目前較常用的兩種多相異步電機的數(shù)學(xué)模型。通過上面的分析可得這兩種模型都可以將基波和各次諧波定位于相應(yīng)的平面上。 如果i次諧波平面上旋轉(zhuǎn)坐標系的角速度與給定諧波信號的角頻率一致，則該諧波信號在相應(yīng)的諧波平面上的投影為一直流量，如果不一樣，則為一交流信號。

對于（3）式中i=2,4,6…2l（l=1,2,3…）等偶 數(shù) 次 諧 波 平 面 來 說 ， 因 為 cos(2l·2π/n)=cos(n-2l)·2π/n ，sin(2l·2π /n)= -sin(n-2l)·2π/n，所以（3）式中偶數(shù)次諧波平面的基與（5）式中(n-2l)次諧波平面的基相同，即（3）式中的偶數(shù)次2l諧波平面與（5）式中(n-2l)次諧波平面是同一個平面。所以（3）式中的n維空間與（5）式中的n維空間都是用相同的諧波平面構(gòu)成的,只是諧波平面上的旋轉(zhuǎn)直角坐標系的旋轉(zhuǎn)角速度不一樣,（3）式中的旋轉(zhuǎn)角速度是ω，而（5）式中的旋轉(zhuǎn)角速度是iω。因此這兩個變換矩陣對于同一個多相異步電機來說是等效的。

3 五相電機的數(shù)學(xué)模型

按照上面的(3)、(5)式，五相電機的兩種數(shù)學(xué)模型如（6）、（7）式所示。（6）式中五維空間是由基波平面、二次諧波平面和零序平面組成，二次諧波平面上的旋轉(zhuǎn)坐標系的角速度為ω；（7）式中的五維空間由基波平面、三次諧波平面和零序平面組成，三次諧波平面上的旋轉(zhuǎn)坐標系的角速度是3ω。由第二節(jié)的分析可知，二次諧波平面與三次諧波平面其實是同一個平面。因此對于五相電機的坐標變換來說，上面兩個矩陣是等效的。下面采用MATLAB仿真來驗證其等效性。

五相電機額定參數(shù)：額定功率 PN=5.5 kW,相電壓Uφ=150.111 V，額定頻率fN=50 Hz,額定相電流Iφ=10.433 A，相數(shù)m=5，同步轉(zhuǎn)速ns=1500 r/min，額定轉(zhuǎn)速 ns=1417.8266 r/min，極對數(shù) p=2。

電機仿真參數(shù)為L1l=0.00687 H，L2l=0.00404 H，Lm=0.0993 H，r1=0.9546 Ω，r2=0.7786 Ω，np=2，J=0.056 kg·m Ω。

分別在原始坐標系和上述兩種坐標系下進行建模，電機的數(shù)學(xué)模型采用 s_fun程序編寫，開環(huán)控制，正弦波疊加三次諧波給定，三次諧波幅值為基波的十分之一，空載自由啟動。仿真結(jié)果如下：圖1為原始坐標系下的仿真波形，圖2為（6）式表示的坐標系下的仿真波形，圖3為（7）式表示的坐標系下的仿真波形。

從以上仿真波形可以看出，在正弦波疊加三次諧波給定的情況下，兩種情況下的仿真波形一致，說明（6）式和（7）式表示的電機的數(shù)學(xué)模型是等效的。

圖1

圖2

圖3

4 結(jié)論

(1)以（3）式和（5）式為基礎(chǔ)的坐標變換應(yīng)用于多相對稱系統(tǒng)時，可以將n維空間的電流、電壓、磁鏈等向量定位于某個平面上，從而可以使多相系統(tǒng)的控制任務(wù)大為簡化。

(2)以（3）式和（5）式為基礎(chǔ)的坐標變換在本質(zhì)上是一樣的。

[1]黃進.p對極n相對稱系統(tǒng)的變換理論.電工技術(shù)學(xué)報, 1995.2.

[2]陳菊明, 劉鋒, 梅生偉, 盧強. 多相電路坐標變換的一般理論. 電工電能新技術(shù), 2006, 25(1)： 44-48.

[3]莊朝暉. 多相感應(yīng)電機變頻調(diào)速系統(tǒng)控制方法研究.武漢： 華中科技大學(xué)博士論文, 2001.

[4]陳堅. 交流電機數(shù)學(xué)模型及調(diào)速系統(tǒng). 北京： 國防工業(yè)出版社.

[5]E Levi, M Tones. S N Vukosavie. Even-phase multi-motor vector controlled drive with signal inverter supply and series connection of stator windings[J]. IEEE Pro. Eletr.Power. Appl. 2003,150(5)： 580-590.