船舶振蕩運(yùn)動仿真的方向譜方法

趙振民，孔民秀，杜志江，孫立寧

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人與系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150080，zhaozhenmin@sohu.com;2.黑龍江科技學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院，哈爾濱 150027)

船舶振蕩運(yùn)動仿真的方向譜方法

趙振民1，2，孔民秀1，杜志江1，孫立寧1

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人與系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150080，zhaozhenmin@sohu.com;2.黑龍江科技學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院，哈爾濱 150027)

為了解決船舶振蕩運(yùn)動時域仿真和海浪與船舶運(yùn)動一致性問題，提出了一種以頻譜分析方法為基礎(chǔ)，用方向譜代替海浪譜的船舶振蕩運(yùn)動計算方法.對海浪譜、方向譜進(jìn)行數(shù)學(xué)描述和關(guān)系分析，并選擇適合用于船舶振蕩分析的長峰海浪譜和ITTC方向譜，根據(jù)Gerstner模型對海浪進(jìn)行分解，建立了船舶在海浪中的振蕩運(yùn)動計算模型.采用響應(yīng)振幅算子法描述遭遇波面與船舶運(yùn)動的聯(lián)系，根據(jù)線性疊加假設(shè)給出了船舶振動運(yùn)動的時域解和頻域解.

船舶仿真;海浪仿真;海浪譜;方向譜

從20世紀(jì)40年代起，研究人員開始致力于船舶振蕩流體動力理論的建立.Haskind提出了在線性理論范圍內(nèi)將流場中的擾動速度勢分解成繞射速度勢和輻射速度勢，該方法仍然是處理搖蕩問題中線性擾動勢的經(jīng)典方法［1］.隨著高速電子計算機(jī)的出現(xiàn)，船舶振蕩運(yùn)動理論也逐漸由二維理論發(fā)展到三維理論、由頻域發(fā)展到時域、由線性假設(shè)發(fā)展到非線性處理［2－6］.

常見的頻域分析方法都采用海浪譜描述隨機(jī)海浪，很難以之為基礎(chǔ)進(jìn)行隨機(jī)海浪上的船舶振蕩運(yùn)動時域仿真并使海浪和船舶振蕩運(yùn)動協(xié)調(diào)一致.為了解決該問題，本系統(tǒng)采用方向譜代替海浪譜進(jìn)行頻譜分析，建立基于方向譜的船舶振蕩仿真系統(tǒng)，可以得到船舶運(yùn)動和海面運(yùn)動更加協(xié)調(diào)一致的效果.

1 海浪數(shù)學(xué)模型分析

1.1 海浪譜、方向譜及方向分布函數(shù)

根據(jù)Gerstner模型，海浪譜描述固定點(diǎn)的波面，因此只需要考察海浪場中一固定點(diǎn)的波面即

可.海浪高度場中一定點(diǎn)的一維高度表達(dá)式為

由式(1)規(guī)定

式中:S(ω)為海浪譜(稱其表達(dá)式為海浪譜函數(shù))，表示在頻率ω附近單位頻率范圍內(nèi)的組成波所具有的波動能量;方向譜描述海浪內(nèi)部各個方向上的波面，因此對方向譜的研究必須從海浪場中任意點(diǎn)(x，y)的波面開始.根據(jù)Gerstner模型，海浪高度場中任意點(diǎn)(x，y)的高度表達(dá)式為

式中:χ為第ω號組成波的傳播方向與x軸的夾角(浪向角)，?ω為第ω號組成波的波數(shù)，由頻散關(guān)系 ωω= ω(?ω)確定.

由式(2)規(guī)定:

式中:S(ω，χ)為方向譜(稱其表達(dá)式為方向譜函數(shù))，它表示在浪向χ以及頻率ω附近單位角度和頻率范圍內(nèi)的組成波所具有的波動能量.

海浪譜與方向譜的關(guān)系為

則稱D(ω，χ)為方向分布函數(shù).

1.2 長峰海浪譜及ITTC的方向譜

如果海浪的組成波都相互平行，且它們的浪向都與海風(fēng)的主風(fēng)向相同，這種海浪就被稱為長峰海浪.Pierson和Moscowitz從北大西洋的460組風(fēng)浪觀測資料中挑選出54組屬于充分成長情形的數(shù)據(jù)，按照風(fēng)速分組，并利用譜分析方法得到海浪譜函數(shù):

式中:A=8.11 ×10－3g2;B 為0.74 g4/μwind4，μwind為海面上方19.5 m處的風(fēng)速，該譜被稱為Pierson-Moscowitz譜，簡稱P－M譜.

ITTC推薦的方向分布函數(shù)如下:

式中:α為組成海浪的方向χ與中心海浪χCW的夾角(本文簡稱浪向夾角);

將式(5)和式(6)代入式(4)，可得到基于P－M譜和ITTC方向分布函數(shù)的方向譜:

1.3 海浪的仿真

1)方向譜的選擇.方向譜的選擇直接影響仿真結(jié)果的質(zhì)量，本文為了研究的通用性，選擇最常用海浪譜方向分布函數(shù)構(gòu)造了基于P－M譜和ITTC推薦方向分布函數(shù)的方向譜進(jìn)行后續(xù)的計算.

2)海浪的分解.根據(jù)Gerstner模型的假設(shè)，海浪是由許多個規(guī)則波組成的，而海浪的分解就是要根據(jù)一定的原則得到這些規(guī)則波的分布.

當(dāng)用方向譜描述海浪時，對海浪的分解需要從空間和頻率兩個方向進(jìn)行.本文選擇了先進(jìn)行空間分解而后進(jìn)行頻率分解的順序，它的含義是，總海浪由各個方向的子海浪組成，而每個子海浪又由各個頻率段的規(guī)則組成波構(gòu)成.本文出于簡化的目的，在空間分解時采用了等角度法，在頻率分解時采用了等頻率法.

根據(jù)基于P－M譜和ITTC推薦方向分布函數(shù)的方向譜的特點(diǎn)，參考文獻(xiàn)［7］，確定相應(yīng)的頻率仿真范圍.本文只考慮風(fēng)速對方向譜的影響，當(dāng)風(fēng)速確定后，每個子海浪的頻率劃分采用相同的方法.

2 海浪中船舶振蕩運(yùn)動數(shù)學(xué)模型分析

2.1 坐標(biāo)系選取與各振蕩運(yùn)動量定義

在本文中采用3個坐標(biāo)系描述船舶振蕩運(yùn)動.

1)慣性坐標(biāo)系(O0－x0y0z0).該坐標(biāo)系固定于海面，不隨波浪或船體運(yùn)動;其中O0－x0y0平面與靜水面重合;通常是岸上的觀測者所采用的坐標(biāo)系，因此該坐標(biāo)系是定義各物理量(航速、風(fēng)速、方向譜等)的通用坐標(biāo)系.

2)參考坐標(biāo)系(O′－ x′y′z′). 該坐標(biāo)系以船體前進(jìn)的平均速度移動，但不隨船體振蕩;其坐標(biāo)原點(diǎn)與船舶處于靜水穩(wěn)定時(既沒有任何振蕩運(yùn)動時)的重心位置重合，x′軸指向船艏;該坐標(biāo)系是定義各遭遇物理量(遭遇頻率、遭遇海浪譜等)的坐標(biāo)系;

3)動坐標(biāo)系(O－xyz).該坐標(biāo)系與船體固定，既以船體前進(jìn)的平均速度移動，又隨船體發(fā)生振蕩運(yùn)動;其坐標(biāo)原點(diǎn)位于船舶的重心，x軸指向船艏;在其中描述的船體坐標(biāo)是定值而不是時間的函數(shù)，同時也可以用此坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系的位置來定義船舶的振蕩運(yùn)動.

把船舶作為六自由度剛體，并利用動坐標(biāo)系在參考坐標(biāo)系中的相對位置定義各振蕩運(yùn)動分量(如圖1).各運(yùn)動量定義如下:動坐標(biāo)原點(diǎn)O在參考坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)x′0稱為縱蕩，垂向坐標(biāo)y′0稱為垂蕩，橫坐標(biāo)z′0稱為橫蕩;繞動坐標(biāo)系3個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動依次為橫搖φ′0，縱搖θ′0和首搖ψ′0.在船舶振蕩研究領(lǐng)域常常引入常量表示法來表示這6種振蕩運(yùn)動，其對應(yīng)關(guān)系下式所示:

圖1 船舶振蕩運(yùn)動的坐標(biāo)系與船舶振蕩運(yùn)動的定義

2.2 遭遇頻率與遭遇海浪譜

假設(shè)船舶以平均速度μship運(yùn)動，且慣性坐標(biāo)系的χ0正方向軸與船舶航向相同(見圖2慣性坐標(biāo)系部分，μship=0°).根據(jù)前面對慣性坐標(biāo)系和參考坐標(biāo)系的定義，得到兩個坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量間的關(guān)系:

將式(7)代入式(2)可得參考坐標(biāo)系下的海浪波面表達(dá)式，即遭遇波面的表達(dá)式

式中:μω為第ω號組成波在參考坐標(biāo)系下的浪向，稱為遭遇角.可以用組成波與船體運(yùn)動正方向的夾角表示，規(guī)定順時針為正，且當(dāng)組成波與船體運(yùn)動方向相同時為0°，具體參考圖2.

圖2 遭遇角μω以及船舶的航行狀態(tài)的定義

式(8)～(10)中，t前的系數(shù)定義為船舶的遭遇頻率，再考慮到無限水深條件下h=ω2/g(g是重力加速度，常取g=9.8 m/s2)，就可以得到遭遇頻率和自然頻率的數(shù)學(xué)關(guān)系為

根據(jù)式(11)由能量守恒定律可知，波面承載的能量是常數(shù)，不會因?yàn)樽鴺?biāo)系的變化而發(fā)生改變，從而有如下海浪譜和遭遇海浪譜的關(guān)系:

2.3 遭遇海浪譜與船舶運(yùn)動關(guān)系

在得到了遭遇海浪譜后，利用響應(yīng)振幅算子以及遭遇海浪譜函數(shù)得到船舶運(yùn)動譜函數(shù)，而后把描述規(guī)則波成分的參數(shù)帶入船舶運(yùn)動譜函數(shù).

在進(jìn)行基于方向譜的船舶振蕩運(yùn)動仿真時，海浪被分解為許多個不同浪向的子海浪，所以必須得到需要仿真的所有航速和所有子海浪的遭遇角下所有的響應(yīng)振幅算子.根據(jù)文獻(xiàn)［8］，響應(yīng)振幅算子由振幅頻率函數(shù)|RAO(ωe，μ，μship)|及相位頻率函數(shù)φ(ωe，μ，μship)兩部分組成，通常記為

2.4 船舶振蕩運(yùn)動頻域解

根據(jù)船舶運(yùn)動響應(yīng)的線性假設(shè)［8］，并且按照上述振幅響應(yīng)算子的定義，船舶在一定海況中的振蕩運(yùn)動響應(yīng)譜值可用下式計算［9］:

式(12)表示當(dāng)遭遇角為μmain(即中心海浪的浪向?yàn)棣諧W而船舶航向?yàn)棣謘hip)且船舶航速為μship時，第i號運(yùn)動的船舶振蕩運(yùn)動響應(yīng)譜值為各組成波和船舶振蕩運(yùn)動響應(yīng)相位值.

式(13)表示由第(i，j)號組成波所造成的船舶振蕩運(yùn)動響應(yīng)譜值，第(i，j)號組成波是第i號子海浪中的第j號頻率的組成波，而Sij(μi，ωj)是此組成波的方向譜值.方程中的M是響應(yīng)振幅算子進(jìn)行無量綱化時產(chǎn)生的系數(shù)，它的取值如下:當(dāng)需要計算的自由度屬于線位移時M= 1，角位移時M=?(?為波數(shù))，力時M=1/c(c是回復(fù)力系數(shù)).式(14)表示當(dāng)遭遇角為μmain(即中心海浪的浪向?yàn)棣諧W而船舶航向?yàn)棣謘hip)且船舶航速為μship時，第i號運(yùn)動的船舶振蕩運(yùn)動響應(yīng)相位為由該遭遇角μmain和船舶航速μship共同確定的相位頻率函數(shù)值.需要指出的是，浪向χ、浪向夾角α和遭遇角μ之間的關(guān)系可以通過式(10)及式(6)唯一確定.

在大多數(shù)情況下浪向χ是最先獲得也是最受關(guān)注的，所以，采用公式(15)～(18)這組公式計算船舶的振蕩運(yùn)動響應(yīng)譜值.

2.5 船舶振蕩運(yùn)動時域解

與對海浪波面描述類似，船舶的振蕩運(yùn)動的描述也可以表示為許多組成運(yùn)動的疊加［10］，基于線形假設(shè)，通常用三角函數(shù)的形式表達(dá)這些組成運(yùn)動［11］，其表達(dá)式如下:

式中:ηl為自由度的位移，為自由度由第(i，j)號組成波造成的組成運(yùn)動的振幅，ωe為自由度由第(i，j)號組成波造成的組成運(yùn)動的遭遇頻率，φ為自由度由第(i，j)號組成波造成的組成運(yùn)動的隨機(jī)相位，θi為自由度由第(i，j)號組成波造成的組成運(yùn)動的響應(yīng)振幅算子相位響應(yīng)，第(i，j)號組成波是指第i號子海浪中的第j號頻率的組成波.

3 結(jié)論

本文介紹了與本系統(tǒng)相關(guān)的數(shù)學(xué)模型和基于方向譜的船舶振蕩分析方法.從這些數(shù)學(xué)模型中推導(dǎo)出的基于方向譜的船舶振蕩分析方法以頻譜分析方法為基礎(chǔ)，通過把方向譜代替海浪譜得到了基于方向譜的船舶振蕩運(yùn)動分析方法，并以基于P－M譜和ITTC推薦的方向分布函數(shù)的方向譜為例完成了基于方向譜的船舶振蕩運(yùn)動分析.

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Simulation method for ship oscillation based on directional spectrum

ZHAO Zhen-min1，2，KONG Min-xiu1，DU Zhi-jiang1，SUN Li-ning1

(1.State Key Laboratory of Robotics and System，Harbin Institute of Technology，Harbin 150080，China;2.College of Electric and Information Engineering，Heilongjiang Institute of Science and Technology，Harbin 150027，China)

To solve the problems of the simulation in time domain and the consistent movement between waves and ships，based on frequency-spectrum analysis method，a novel method for calculating the ship oscillation movement is proposed，in which directional spectrum is used instead of using ocean wave spectrum.Mathematic expressions and the relationship between wave spectrum and directional spectrum are introduced and the long-crested wave spectrum and ITTC directional spectrum suitable for ship oscillation movement analysis are selected.The ocean wave is decomposed using Gerstner model，and then the simulation model of ship movement in the waves is built.The relationship between encounter wave surface and ship movement is described by response amplitude operator method.With the linear superposition assumption，the results of ship oscillation movements in frequency domain and time domain are obtained.

ship simulation;ocean wave simulation;ocean wave spectrum;directional spectrum

TP391.9

A

0367－6234(2010)05－0742－04

2009－12－26.

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃資助項(xiàng)目(2006AA040103).

趙振民(1967—)，男，博士研究生;

孫立寧(1963—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

(編輯 楊 波)