“微元法”在高中物理教學(xué)中的滲透

蔡麗芬 王 飛

(1.南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇南京 210097;2.沈陽師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,遼寧沈陽 110034)

“微元法”通俗地說就是把研究對象分為無限多個無限小的部分,取出有代表性的極小的一部分進行分析處理,再從局部到全體綜合起來加以考慮的科學(xué)思維方法.“微元法”是高中物理涉及到的一種數(shù)學(xué)方法之一,滲透著微積分的思想,是物理學(xué)發(fā)展過程中最重要的科學(xué)思維方法之一,是牛頓力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).微元法對中學(xué)生來說顯得有一定的難度(屬于較高要求).但在人教版的高中物理新教材中恰當(dāng)?shù)剡x擇了一些物理問題進行“微元法”的滲透,使學(xué)生逐步對“微元法”了解、熟悉,層次較高的學(xué)生甚至能利用“微元法”解決一些實際問題,近幾年的江蘇高考中也將微元法的應(yīng)用作為對較高層次學(xué)生的要求.

1 “微元法”在新教材中的呈現(xiàn)

人教版的高中物理新教材強調(diào)方法,對科學(xué)方法的學(xué)習(xí)做了系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的處理,在整個必修教材中對微元法采用了逐步滲透的方法.現(xiàn)將涉及內(nèi)容統(tǒng)計如表1.

表1

從表1可以看出,新版教材的必修部分在各個章節(jié)都將“微元法”以多樣化的形式展現(xiàn)給學(xué)生,使學(xué)生在潛移默化中對“微元法”有所認識、了解、熟悉.

2 課堂內(nèi)外對“微元法”的滲透

教師除了讓學(xué)生通過教材對“微元法”的思想有所了解之外,還可以在平時的教學(xué)中經(jīng)常性的補充一些微元法的應(yīng)用問題,使學(xué)生在實踐中對“微元法”領(lǐng)悟更深,豐富學(xué)生處理問題的手段,拓展學(xué)生的思維.現(xiàn)筆者從以下幾個方面舉些例子.

(1)利用微元法將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功.

例1.如圖1(a)所示,某個力 F=10 N作用于半徑 R=1 m的轉(zhuǎn)盤的邊緣上,力F的大小保持不變,但方向保持任何時刻均與作用點的切線一致,則轉(zhuǎn)動1周,這個力F做的總功為多少?

圖1

解析:由于力F的方向與作用點的速度方向一致,因此力F做功不為零,且此力不為恒力.可以考慮把圓周劃分為很多“微元”來研究.如圖1(b)所示,當(dāng)各小段的弧長Δs足夠小(Δs→0)時,在這 Δs內(nèi)F 的方向幾乎與該小段的位移重合,每一小段里恒力 F做功 ΔW=FΔs,則 F做的總功為 W=FΔs1+FΔs2+FΔs3…=F?2πR=20πJ.

這等效于將本來是曲線的圓周拉直.在這里,力 F所做的功相當(dāng)于力和物體運動路程的乘積.

(2)利用微元法“化曲為直”求曲線運動的瞬時速度

例2.某行星圍繞太陽C沿橢圓軌道運行,它的近日點A離太陽的距離為a,行星經(jīng)過近日點 A時的速度為vA,行星的遠日點B離太陽的距離為b,如圖2所示,求它經(jīng)過遠日點B時的速度vB的大小.

圖2

解析:由開普勒第二定律可得,近日點速度大,遠日點速度小,具體大小關(guān)系如何?在這里我們可以利用微元法在近日點和遠日點分別取很短的時間Δt,如圖2所示,在Δt內(nèi)可認為行星做勻速直線運動,掃過的面積即三角形面積,根據(jù)開普勒第二定律有

所以

(3)利用微元法“化整為零”從局部求整體

例3.杯子中裝有半杯水,當(dāng)杯子以恒定的加速度 a向右運動時,液面形狀如何?

圖3

解析:此問題若直接取杯中水研究很難突破液面形狀問題,我們可在液面上任取一薄薄的微液片,如圖3所示,設(shè)其質(zhì)量為Δm,微液片受向下的重力G和內(nèi)部液體的彈力N,因其加速度水平向右,所以G、N的合力F必水平向右,設(shè)液面與水平面的夾角為θ.由牛頓第二定律有F=Δmgtanθ=Δma.所以

(4)利用微元法將一般回歸到特殊

例4.如圖4所示,均勻帶電圓環(huán)的帶電荷量為+Q,半徑為 R,圓心為 O,P為垂直于圓環(huán)平面的對稱軸上的一點,OP=L,P點的場強為多少?

圖4

解析:本題中的帶電體為一般帶電體,而非點電荷,所以不能直接運用點電荷電場公式.但我們可以利用微元法將一般帶電體的場強計算轉(zhuǎn)化為點電荷場強的計算,即在圓環(huán)上取一小段Δl,設(shè)圓環(huán)上電荷的分布密度為ρ,則該小段的帶電荷量Δq=ρ?Δl,在 P點產(chǎn)生的場強:E=而r2=R2+L2,P點處的場強又可分解為

因為圓環(huán)上電荷分布具有對稱性,所以y軸方向的合電場為0.則 P點的場強為

通過上面的舉例我們可以看出,“微元法”使曲與直統(tǒng)一起來了,使變與不變統(tǒng)一起來了,使一般與特殊統(tǒng)一起來了.通過對教材的認識,通過平時的訓(xùn)練,相信學(xué)生在教師的引導(dǎo)下必定能夠逐漸領(lǐng)會微元法的奇妙之處,達到一通而百通. (收稿日期:2010-02-01)