淺探“牽連運動”問題的處理方法— —運動的合成與分解

張恩許 周 勇

(江西省撫州市臨川二中,江西撫州 344100)

在運動的合成與分解問題中,牽連運動是要求較高的一類問題.接觸到的實際問題中,它的處理得當與否,常常成為解決這一類問題的關鍵.一個速度按矢量運算法則分解為兩個分速度,數量關系也許無誤,但若與實際情況不符,則所得分速度毫無意義.所以速度分解的一個基本原則就是按實際運動效果來進行分解.常用的思想方法有兩種:(1)先確定物體的實際運動方向,即合運動的速度方向,然后分析由這個合速度產生的實際運動效果,以確定兩個分速度的方向;(2)先虛擬合運動的位移,看看這個位移產生了什么效果,從中找到運動分解的方法.

1 “繩子”牽連運動問題

例1.如圖1所示,小車用輕繩子跨過光滑的定滑輪(不計滑輪的質量)牽引小船靠岸,若小車向左以 v0勻速運動,則小船的運動情況如何?

圖1

圖2

解析:要判斷小船的運動情況,只需求出小船運動的速度即可知小船的運動情況.

方法1:船向左運動的的方向就是合運動的速度方向,這個運動產生了兩個運動效果,其一是使系小船的繩子縮短,即沿繩子使繩子收縮的方向.其二是使繩子繞定滑輪順時針方向的擺動.所以小船向左的運動可以分解在沿繩子的牽引方向和垂直于繩子的方向,如圖2所示.令船的速度為v,船到達河岸之前繩子與水平方向的夾角為θ,由三角形知識(正交分解法)可知當小船向左運動時,夾角θ增大,cosθ減小,根據正余弦函數圖像的性質可知,cosθ不是均勻減小,而小車向左做勻速直線運動,v0不變,所以小船向左做變加速直線運動.

方法2:虛擬小船在Δt時間內從A運動Δs到達C.如圖3所示,這個運動可以設想兩個運動的合成,先被繩拉過Δs1到達 B點,再隨繩繞滑輪 O點做圓周運動到達C,位移為Δs2.因 OB=OC,故∠OCB=β=三角形的內角和為180°).

圖3

若Δt很短,Δθ趨于 0°,則 β 趨于 90°(微元法),那么Δs1與Δs2垂直,此時有Δs1=Δscosθ.由速度的定義有即 v0=vcosθ.故之后的解法同方法1.

點評:分析有關運動分解問題時,要正確判斷研究對象的實際運動(合運動),分析清楚分運動產生的實際意義及效果,這一點是解答問題的關鍵,也是重難點,若只滿足矢量運算法則是不夠的.有學生直接將v0分解,如圖4所示.認為繩子的水平分速度 v就是船沿水平方向前進的速度,假設是這樣,則船又有豎直分速度 v1,船將被繩子拉到岸上去,顯然與事實相違背,其錯誤原因是合運動與分運動概念不清.

圖4

巧解:應用能量轉化及守恒定律(功能關系),如圖 2所示,因小車向左做勻速運動,小車對繩子的拉力為恒力,而繩拉小船的力是變力(大小不變,方向改變),因繩子不可伸長,利用轉換研究對象的方法,小車對繩子做的功等于繩子對小船做的功(等效法),作用時間相同,所以功率相等,故小車對繩子做功的功率為P1=Fv0;繩子對小船做功的功率為 P1=Fv0cosθ,因為 P1=P2,即 Fvcosθ=Fv0,所以 v=之后的分析同方法1.

點評:很顯然這種方法計算簡單,但要注意不能直接計算繩子對小船做的功,這個功是變力做的功,但小車拉繩子的力是恒力,從而將變力做功轉化為恒力做功,可以用公式W=Fscosθ直接計算,根據運動的等時性,功率也相等.當然這種方法要在熟練掌握和理解功的概念的基礎上才能正確求解.

變式訓練:如圖5所示,A、B兩個物體系在跨過光滑的定滑輪的一根輕繩的兩端.當物體 A以速度v向左運動時,求系 A、B的繩分別與水平方向成θ和β角時物體B的速度.

解析:根據題意可知,物體 A向左的運動和物體B向右的運動為物體的實際運動,由 A和B的運動效果可以利用正交分解法求解.

圖5

方法1:根據 A、B兩物體的運動情況,將此時兩物體的速度 v和vB分解為兩個分速度v1(沿繩方向的速度)和v2(垂直于繩方向的速度),以及 vB1(沿繩方向的速度)和vB2(垂直于繩方向的速度),如圖6所示 .因繩不可伸長,故繩子上任意一點上的速度大小都相等,則 v1=vB1,即 vcosθ=vBcosβ,其 B 的速度大小為方向水平向右.

圖6

圖7

方法2:虛擬物體 A在Δt時間內從C運動Δs到達D,如圖7所示,這個運動可以設想兩個運動的合成,先被繩拉過Δs1到達D點,再隨繩繞滑輪O點做圓周運動到達B,位移為Δs2.因OB=OC,故∠OBC=α,若Δt很短,Δθ趨于 0°,則 α趨于 90°.那么 Δs1與 Δs2垂直,此時有 Δs1=Δscosθ.由速度的定義有即 v1=vcosθ.

點評:關鍵在于虛擬合運動的位移,看看這個位移產生了什么效果,從中找到分解的方法,也要求掌握對微元法的簡單應用.

2 “桿子”牽連運動問題

例2.一個半徑為 R的半圓柱體沿水平方向向右以速度v0運動.在半圓柱體上擱置一根豎直桿,此桿只能沿豎直方向運動,如圖8所示.當桿與半圓柱體的接觸點P與圓柱心的連線與豎直方向的夾角為θ時,求豎直桿運動的速度.

圖8

圖9

解析.方法1:設豎直桿運動的速度為v1,方向豎直向上,速度v1的實際效果可以分解為沿OP方向的運動和垂直于OP方向的運動.半圓柱體沿水平方向向右以速度為v0勻速運動,可以分解為沿 OP方向的運動和垂直于OP方向的運動,如圖9所示 .由于物體和桿是通過P點聯結在一起的,所以兩物體在沿 OP方向的分速度相同,即v1cosθ=v0sinθ,故 v1=v0tanθ.

方法2:虛擬聯結點P在時間Δt內桿子在豎直方向產生位移Δs1,即實際位移,可看作是沿 OP方向上的位移Δs1cosθ和垂直于OP方向上的位移Δs1sinθ的合位移,如圖10所示.半圓柱體在水平方向上的位移Δs0,即實際位移,可以看作沿 OP方向上的位移Δs0sinθ和垂直于OP方向上的位移Δs0cosθ的合位移,如圖11所示.由聯結點的關聯性可知,沿 OP方向上產生的位移相等,即Δs1cosθ=Δs0sinθ,由速度的定義有即 v1cosθ=v0sinθ,故 v1=v0tanθ.

圖10

圖11

巧解:聯結點P的運動是沿半圓柱體的切面豎直向上的運動(合運動),設桿在豎直方向上運動的速度為v1,這個運動產生了兩個運動效果,一個是P點沿水平方向的運動v0(即半圓柱體沿水平方向的運動),另一個是P點沿半球面切線方向的運動v切,如圖12所示.由合運動與分運動的關系及三角形知識可知tanθ=故v1=v0tanθ.

圖12

點評:很難理解為什么可以這樣分解,其實不難想到這是小船過河問題的分析方法的遷移與應用,v0相當于水流的速度,v切相當于小船垂直過河時,船頭的方向,v1為小船運動的實際速度(即合速度).不論采用哪一種方法,聯結點的選取至關重要,在進行運動(包括速度、加速度、位移)的分解時,都要分清合運動(物體的實際運動)與分運動,由物體的實際運動確定合運動由哪些分運動合成.

變式訓練:一根長為 L的桿OA,O端用鉸鏈固定,另一端固定著一個小球 A,靠在一個質量為 M,高為h的物塊上,如圖13所示,若物塊與地面摩擦不計,試求當物塊以速度 v向右運動時,小球 A的線速度vA(此時桿與水平方向夾角為θ).

解析:選取物與棒接觸點B為聯結點(不直接選A點,因為 A點與物塊速度的v的關系不明顯).因為B點在物塊上,該點運動方向不變且與物塊運動方向一致,故 B點的合速度(實際速度)也就是物塊速度 v;B點又在棒上,參與沿棒向 A點滑動的速度v1和繞O點轉動的線速度v2.因此,將這個合速度沿棒及垂直于棒的兩個方向分解,由速度矢量分解如圖14所示,得 v2=vsinθ.設此時OB長度為a,則.令棒繞O點轉動角速度為ω,則 ω==故 A的線速度為vA=ω L=

圖13

圖14

點評:如不能恰當選取聯結點 B來分析,則題目無法切入,無法判斷B點參與的分運動方向,因此判斷和選取聯結點尤為重要.這類題目學生顯得比較陌生,往往無從下手.如果選取合適的聯結點(該點必須能明顯地體現出參與了某個分運動),然后確定物體的實際運動(合運動)產生的效果,從而根據平行四邊形定則或者三角形定則確定分速度方向來尋找速度關系,本題還可以使用擬合位移的方法求解,由于篇幅關系,這種方法留給讀者完成.

3 解題點睛

3.1 分運動與合運動的關系

(1)獨立性:一物體同時參與幾個分運動時,各分運動獨立進行,各自產生效果(v分、s分)互不干擾.

(2)同時性:合運動與分運動同時開始、進行、同時結束.

(3)等效性:合運動是由各分運動共同產生的總運動效果,合運動與各分運動總的運動效果可以相互替代.

3.2 處理速度分解的思路

(1)選取合適的聯結點(該點必須能明顯地體現出參與了某個分運動).

(2)確定該點合運動方向(通常以物體的實際速度或位移為合運動).

(3)確定該點合運動的實際運動效果,從而依據平行四邊形定則(三角形定則)確定分速度方向.

(4)作出速度分解的示意圖,尋找速度或位移關系.