孤立子及其應用

韓瑞功

(濰坊科技學院,山東 壽光 262700)

在非線性動力學系統中除存在混沌現象外,還可能存在定域行波解,它們在物理上可初見為非線性激發的、能量不彌散的穩定的準粒子或孤立子.孤立子具有波粒二象性,但遵循經典運動規律.這種孤立子已經在宇觀、宏觀和微觀領域內的許多方面得到了應用.特別是近代,隨著計算機媒體、網絡和科學技術的發展,其內在的應用意義凸現出來,成為物理學以及生命科學研究的課題之一.

1 孤立波的發現

孤立波是在100多年前由英國科學家拉塞爾最早提出的.關于他觀察到的奇妙現象有這樣一段生動記載:“我正在觀察一條船的運動,這條船被兩匹馬拉著,沿著狹窄的河道迅速前進,船忽然停下了,而被水所帶動的水團卻沒有停下來,它們積聚在船頭周圍激烈地擾動著,然后突然形成一個巨大、平滑且輪廓分明的孤立波峰,急速地離開船頭滾滾向前.這水峰約有30英尺長,1～1.5英尺高,在河道中行進并一直保持著原來的形狀,速度未見減慢.我騎著馬緊緊追隨,發覺大約以8～9英里/小時的速度前進,后來的波高度漸漸減小,在跟蹤了1～2英里后它們終于消失在蜿蜒的河道中.”拉塞爾曾將觀察到的這一現象在英國第14次科學促進會的會議上作了生動的報告.但由于當時科學技術的限制,沒有人再對這一問題作出進一步的理論或實驗研究.過了60年以后,在1895年,科特維格和德弗里斯提出了一個狹窄水波的運動方程,現通常簡稱為KDV方程,從而為孤立波的研究提供了理論基礎.特別是該方程的一個特解可用來表示拉塞爾所描述的水團的形狀和傳播情況,此解可表示為

這里c是水團的行進速度,A為幅值,水域的寬度為b,濃度為h.這個解就是一個典型的孤波.但當時由于人們懷疑這個方程的解是否穩定而把它擱在一邊,孤立波又一次被“孤立”了.

救活這一工作的是20世紀50年代費米等人研究的所謂FPU問題.他們設想了一個由64個質點用非線性彈簧相連的一條非線性振動弦系統,并計算該系統中各質點的能量分布.他們的這個工作開創了利用計算機對復雜物理問題進行數值計算研究的先例.他們發現,所得結果與線性系統中能量均分定理的結果明顯不同,系統存在孤波解.由此他們受到啟示:除了流體以外,在其他系統中也可能觀察到非線性的孤立波.其后人們又考察了等離子體的非線性的孤立波.在這些研究中人們還發現,兩個孤立波可以發生碰撞,但碰撞后他們的形狀不會改變.這個結果為孤立波的研究進一步打開了大門.1973年,人們又在實驗室的水箱中再現了拉塞爾所觀察到的KDV孤立波,從而一度在世界范圍內掀起了“孤波熱”.

2 孤立波的物理特征

由于兩列孤立波碰撞后保持各自原來的形狀,不改變波形也不改變傳播速度,因此現在又稱它們為“孤立子”,簡稱“孤子”.自20世紀 70年代以后,人們在大到宇宙、小到微觀基本粒子、復雜到生物體等許多物理系統上發現了孤立子的存在.

孤立子具有波動性,它是一種行波,可以在時空中傳播,也可以在空間中處于靜止狀態,后者稱為非傳播孤立子.孤立子還具有粒子性,它具有一切粒子的基本特性,如能量、動量、電荷、自旋等.同時,它們在相互作用過程中遵循自然界的各種守恒定律,如能量、動量、質量守恒定律等.因此從上述意義上說,與量子力學的情況類似,孤立子也具有波粒二象性.但是應當指出,這里所說的孤立子完全屬于經典物理范疇,它們遵循經典運動規律.

3 孤立子的數學基礎

孤立子在數學上是某些非線性偏微分方程的局域行波解,這類非線性方程中包含有色散項.因此,穩定的孤立子解是在非線性力和色散力同時作用和相互競爭中所形成的一種穩態解.

(1)KDV方程.KDV方程是最早建立的描述在狹窄通道水面上產生孤立波的方程,KDV方程的形式是

在上式左邊第2項是非線性項,第3項是色散項.

(2)非線性薛定諤方程.1958年人們發現在強磁場中的等離子體內也可產生孤立波,并由此建立了一類非線性偏微方程,稱為非線性薛定諤方程,它的一維形式是

與通常的(線性)薛定諤方程相比,上式中多了一項非線性項,其中 G是參數.這個方程常常被應用于非線性光學中的自聚焦現象和等離子體中的單色波自調制問題.

(3)正弦-戈爾登(SG)方程.在超導材料和鐵磁體理論的某些問題中會出現又一類非線性方程,稱為正弦-戈爾登方程,其一維形式是

上式等號左邊的形式與(線性)波動方程類似.

需要說明的是,除了上述介紹的3類孤波解的非線性方程外,還有許多其他類型的存在孤波解的非線性方程.目前,能找到非線性方程的孤波形式解析解還僅僅限于一維情況,是否存在二維,甚至三維的情況,還有待于物理學家和眾多研究孤立波的人們的努力.

4 孤立子的應用

經過科學家的研究,特別是對于非線性方程的孤波解或孤子解已經有大量成果,其中不少成果已應用于幾個科學領域,如固體和凝聚態物理、導電塑料、激光和光導纖維、電磁導彈等.

(1)光纖孤子通信.1968年孤子理論就被應用于光纖通信問題中.光纖通信系統中光脈沖的傳輸面臨兩個問題,一是脈沖的能量損失,二是脈沖的展寬.發送脈沖過密或傳輸距離過長都會在接收端造成脈沖重疊而使信號無法識別,因此脈沖展寬已是限制已有的線性光纖通信系統擴大傳輸容量的主要因素.于是在光纖中利用振幅、脈寬和形狀都保持不變的非線性光孤子來傳輸信號,當然會引起人們極大的興趣.這樣,不僅解決了一技術性的難題,重要的是拓寬了孤立子特性的應用,具有重要的科技含量和發展前景.

為實現光孤子的傳輸,首要的問題是研制出精確可控的孤子激光器,目前已經制成的孤子激光器有拉曼孤子激光器、摻鉺光纖孤子激光器和鎖模半導體激光器等.實用化的光纖通信系統的研究也正在形成中.有人預言,在未來的信息社會中光孤子通信可能會發揮“神經樞”的作用.

(2)生命過程中的孤立子.生物體是一個開放系統,它在不斷地與外界環境交換能量和物質的過程中可能出現自組織耗散結構,以維持生命活動.因此,生物能量和信息的傳輸是生命活動的最基本也是最主要的過程.烏克蘭科學家達維多夫于1979年最早將一維孤立子理論應用到α—螺旋蛋白質分子中結合能的傳輸問題.他指出,α-螺旋蛋白質分子中由于集體激發而產生的激子和分子鏈位移變化的運動方程在連續性近似下可化為典型的非線性薛定諤方程,它的解就稱為達維多夫孤立子.以后,其他科學家進—步研究了這個問題,并將它應用于解釋肌肉收縮等生理現象,獲得了一定的成功.這就是傳遞生物能量和信息的達維多夫孤立子機制.

生命過程中的另一個重要問題是,DNA(脫氧核糖核酸)分子作為生物遺傳物質基礎和生物遺傳信息負載者是怎樣完成復制功能的問題,研究這個問題對于人們認識生物遺傳與變異,以及諸如癌癥等疾病的致病原因都是有重大意義的.20世紀80年代以來的一些研究表明,DNA分子可以出現包括混沌狀態在內的各種空間構象和局域性漲落,在一定條件下也存在各種各樣的孤子激發.利用這些孤立子的不同性質和變化特點,借助于各種酶的參與,研究人員解釋了DNA的解鏈和復制過程.此外人們還進一步發現,DNA復制現象是一種分形,其分形維數為0.63.可以預言,深入研究孤立子和生命過程的關系將對于進一步揭示生命的奧秘有著重要的意義.

1 教育部師范教育司組織編寫.20世紀物理學概觀.上海:上海科技出版社,1999.