對一個變質量系統重心的研究

洪雪芹 楊月春 石 紅 吳 蓓 房艷萍 戴景生

(1.中原油田技術安全培訓部,河南濮陽,457001;2.中國石油大學中原油田學習中心,河南濮陽 457001;3.中原油田第二高級中學,河南濮陽 457001)

1 引言

文獻[1]中有這樣一個問題:一個圓球形薄殼容器所受重力為 G,用一細線懸掛起來,如圖1所示,現在容器里裝滿水,若在容器底部有一個小閥門,當小閥門打開讓水慢慢流出,在此過程中,系統(包括容器和水)的重心位置

(A)慢慢下降.

(B)慢慢上升.

(C)先下降后上升.

(D)先上升后下降.

本題可以這樣考慮,以小閥門所在位置為坐標原點,水平方向為 x方向,豎直方向為y方向建立直角坐標系xOy,y軸過“水球”球心,如圖2所示.設“水球”的半徑為 R.水未流出時,連同圓球形薄殼容器在內的系統的重心位置在y=R處,水流盡時,系統的重心位置也在y=R處,水在流動過程中“水球缺”的重心在 y=R以下,系統的重心位置也在y=R以下,故選擇(C),即系統的重心位置先下降后上升.

據此可以想到:(1)水在流動過程中,系統的重心應該有一個最低位置,它在哪里?(2)從打開閥門開始,水流多長時間,系統的重心位置最低?(3)從打開閥門開始到水流盡,需要多長時間?

圖1

圖2

圖3

2 對系統重心的研究

在 xOy平面與“水球”的截面圓內觀察,水位線與圓周的交點P跟圓心連成的圓的半徑為R,此R與y軸負方向的夾角為θ,如圖2所示.設水的密度為 ρ,考慮半徑為 r厚度為 dy的圓形薄水層,其 r=Rsinθ,縱坐標 y=RRcosθ,θ∈[0,180°],體積 dV=πr2dy,質量 dm=ρ dV=ρ πr2dy.

從圖3看出,高度為 H的“水球缺”質量為

系統在地球附近,所占空間又很小,其重心與質心是重合的,計算重心位置與計算質心位置的方法一樣.

根據物理學對物體質心的定義,高度為H的“水球缺”的質心坐標為

系統的質心坐標,也是重心坐標為

由式(1)看出,系統的重心坐標不僅與水面高度(由θ表現出來)有關,還與圓球形薄殼容器的質量跟水的總質量的比值有關.

3 水流時間的計算

假設上面的水面與大氣連通且沒有粘滯性,僅靠自身重力自由流出.水經閥門流出時,水面的坐標是流水時間的函數.設閥門是截面積為SB的圓孔,某時刻圓孔處水的流速為 vB,水面的高度為 y,經 dt時間后水面下降 dy,圓孔流出水的體積微分dVB=SBvBdt.在水面處,同一時間內流水體積的微分是dV=-πr2dy(水流出時體積增量為負值),根據流體連續性原理,SBvBdt=-πr2dy.結合伯努利方程求出,再利用 r=Rsinθ,得

兩邊積分得

4 結束語

從式(1)看出,系統重心坐標的最小值與圓球形薄殼容器的質量跟水的總質量的比值有關,對于不同的系統重心坐標的最小值不同,從打開閥門開始,到水流到系統重心最低時所用的時間也不同.

在求系統重心坐標最小值時,按照傳統的辦法是將yC系統對cosθ求導數,找出駐點,再求極值.本題這樣做勢必產生高次方程,高次方程非常難解.與其解復雜的高次方程,還不如借助計算機用逼近法[注]來尋找答案.

[注]關于數學上用逼近法求極值的進一步解釋:因cosθ∈[-1,+1],故取 cosθ=-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1分別代入式(1)計算yC系統,用手持計算機可以很方便的計算出結果.再從yC系統最小的那個值對應的cosθ兩側分別取一個值代入式(1)計算 yC系統,比較其大小.循環進行,很快就找到最小的 yC系統,如用電腦編程計算就更快捷.逼近法求極值適用于已知函數在某個區間內有一個確定的極值的情形.

1 孫翔峰.《創新方案》高考總復習?物理.北京:人民日報出版社,2006.3

2 吉永錄.小孔泄流時間問題.物理教學,1984(3):42-43

3 肖士旬.理論力學簡明教程.北京:人民教育出版社,1980.91-92

4 樊映川.高等數學講義下冊.北京:人民教育出版社,1980.138-140