2009年高考理綜全國卷Ⅱ壓軸題的一種簡捷解法

黃 瑜 李 力

(重慶清華中學,重慶 400054)

“從生活到物理,從物理到社會”是新課改的基本理念,而“以知識為載體、從能力立意”則是高考命題一貫的原則.作為2009年高考理綜全國卷Ⅱ壓軸題的第26題,充分地體現了“能力立意”和“注重STS聯系”的高考命題特點.在當今全球能源危機的背景下,此題以“石油勘探”為素材,通過石油存在時產生的重力加速度反常現象的研究,勘探測定石油的位置與儲量.此題對學生的能力要求較高,考查的能力也比較全面,閱讀理解能力、建模能力、分析綜合能力、應用數學處理物理問題的能力都囊括其中.據某省的抽樣統計,學生的得分率不到1分(滿分21分),且學生反映不容易讀懂高考評分答案的解法.鑒于此,本文給出一種非常直觀清晰、簡捷易懂的解法.由于此題的困難在于第(1)小題,第(2)小題是第(1)小題的自然延伸,在第(1)小題得到的答案基礎上可以輕易解決,故以下我們只研究它的第(1)小題.

圖1

題目:如圖1,P、Q為某地區水平地面上的兩點,在 P點正下方一球形區域內儲藏有石油,假定區域周圍巖石均勻分布,密度為ρ;石油密度遠小于巖石密度,可將上述球形區域視為空腔.如果沒有這一空腔,則該地區重力加速度(正常值)沿豎直方向;當存在空腔時,該地區重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏離.重力加速度在原豎直方向(即PO方向)上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”.為了探尋石油區域的位置和石油儲量,常利用P點附近重力加速度反常現象.已知引力常量為G.

(1)設球形空腔體積為 V,球心深度為d(遠小于地球半徑),求空腔所引起的 Q點處的重力加速度反常.

解析:如圖2所示,在 Q點處放一單位質量的質點.假如球形空腔填滿密度為ρ的巖石,它對 Q處質點的引力為F1,球形空腔外的其余部分對質點的引力為F2,F1與F2的合力即為正常情況下的重力加速度g(單位質量的物體所受的重力即為重力加速度).

假如球形區域內填滿石油,則它對質點的引力減小為F1′,而球形空腔外其余部分對質點的引力仍舊為F2.這樣一來 F1′與F2的合力變為 F′,此即現在的重力加速度 g′,它偏離豎直方向的夾角為α.

圖2

由上述可得

根據題意和圖2中幾何關系可知“重力加速度反常”為

聯立以上各式解得

又因為 ρ?ρ油,所以得

此解法的特點是:第一,比較直觀簡捷,符合學生的理解水平與接受能力.第二,(4)式是沒有忽略石油密度時重力加速度反常的通解式,而高考評分答案直接研究忽略石油密度的情況,從而僅得到了特解(5)式.第三,從我們的解法可以看出,題目并不要求g′偏離豎直方向的夾角α必須非常小,換句話說該地區重力加速度的大小和方向可以和正常情況有較大的偏離,這種解法和得到的答案都同樣正確.