對一道高考題的解法辨析

陳其躍

(寧波市鎮海中學,浙江寧波 315200)

題目.(2009年江蘇卷)如圖1所示,兩質量相等的物塊 A、B通過一輕質彈簧連接,B足夠長、放置在水平面上,所有接觸面均光滑.彈簧開始時處于原長,運動過程中始終處在彈性限度內.在物塊 A上施加一個水平恒力,A、B從靜止開始運動到第一次速度相等的過程中,下列說法中正確的有

(A)當 A、B加速度相等時,系統的機械能最大.

(B)當 A、B加速度相等時,A、B的速度差最大.

(C)當 A、B的速度相等時,A的速度達到最大.

(D)當 A、B的速度相等時,彈簧的彈性勢能最大.

圖1

解析:選項(B)、(C)、(D)正確.對 A、B在水平方向受力分析,F1為彈簧的拉力,對 A有F-F1=maA,對 B 有F1=maB,在A物與B物第一次速度相等前的整個過程中A的合力(加速度)一直減小而B的合力(加速度)一直增大,在達到共同加速度之前 A的合力(加速度)一直大于B的合力(加速度),之后 A的合力(加速度)一直小于B的合力(加速度).兩物體運動的 v-t圖像如圖2所示,t1時刻,兩物體加速度相等,斜率相同,速度差最大,t2時刻兩物體的速度相等,A速度達到最大值,兩實線之間圍成的面積有最大值即兩物體的相對位移最大,彈簧被拉到最長;除重力和彈簧彈力外,恒力對系統做正功,系統機械能增加,t1時刻之后拉力依然做正功,即加速度相等時,系統機械能并非最大值.

該試題和解答均沒有問題,但筆者在教學中學生提出了以下兩個問題:①A的速度達到最大時對應A加速度為零,當 A、B的速度相等時,A的加速度為零嗎?②當 A、B的速度再次相等時,(C)和(D)選項是否仍然正確?

筆者把該問題與物理競賽輔導相結合,采用質心參考系定量解決了該問題.

取向右為正方向,設 A、B質量均為m,則 A和B質點系的質心加速度為

圖2

質心速度為

在質心參考系中慣性力大小FA=FB=maC=,方向與F方向(也即aC方向)相反,A、B相對質心做簡諧運動,質心把原彈簧分成左右兩根彈簧,其等效勁度系數

當彈簧拉伸 x0時,處于平衡位置,

因此簡諧運動振幅為

簡諧運動角頻率為

周期為

簡諧運動最大速度為

A相對質心速度為

B相對質心速度為

A相對地面速度為

B相對地面速度為

由(2)、(8)～(12)式得

對(13)、(14)式求導得

彈簧形變量(拉伸量)為

總形變量為

圖3

由(17)式得,當n為奇數時彈簧形變量最大,xm=彈簧彈性勢能最大值 Epm=.n為偶數時彈簧彈性勢能為零.

參考答案中 A、B兩物體運動的v-t圖像只是定性圖像,定量圖像如圖3[取F=10 N,m=10 kg,k=500 N/m,有vA=0.5t+0.05sin(10t),vB=0.5t-0.05sin(10t)]、圖 4[取 F=10 N,m=10 kg,k=5 N/m,有 vA=0.5t+0.5sint,vB=0.5t-0.5sint]所示.

由圖3、圖4可得 A、B兩物體運動的v-t圖像的特征與F、m、k的取值無關.

圖4