彈性碰撞中的漏解討論

馬 蔚

(江蘇省如東高級中學,江蘇如東 226400)

兩物體發(fā)生相互作用,如果同時滿足動量守恒和動能守恒,則作用后兩者的速度可能取什么值?各類教材、教參在進行數學推導時,只求出了其中的一組解,而舍去另一組解.那么另一組解是否有物理意義呢?只要設計出一個合適的物理模型,就會發(fā)現,兩組解可以在不同的情景中出現,都是有意義的.具體分析如下:

1 彈性碰撞模型

如圖1所示,設質量分別為 m1、m2的兩個小球,分別以初速度v1、v2在光滑水平面上沿同一直線做勻速直線運動.相遇后發(fā)生彈性碰撞,求碰撞后兩球的速度分別等于多少?

設碰撞后兩物體的速度分別為 v1′、v2′,則由動量守恒定律及機械能守恒定律得

圖1

移項得

由(4)÷(3)式得

聯立(3)、(5)式得

上述求解過程中,用(4)式÷(3)式時,將二元二次方程化為二元一次方程,從而漏掉一組解.當(3)式兩邊皆等于零,即 v1′-v1=0,v2′-v2=0 時,不能以(3)式作分母 .即漏解為

那么,該組解在上述彈性碰撞中有無物理意義呢?

對圖1,從速度變化的角度看,要保證這兩個小球發(fā)生碰撞,必須滿足 v1＞v2.碰撞后,m2球的速度必定增大,即v2′＞v2;若 m1球繼續(xù)向右運動,其速度必定減小,即 v1′＜v1,所以(8)、(9)兩式不能成立.從能量變化的角度看,若(8)、(9)式成立,就意味著 m1從 m2球中穿過,而這種碰撞必然會損失機械能的,與彈性碰撞的條件不符.可見在圖1所限定的彈性碰撞中,v1′=v1,v2′=v2這組解是不可能成立的.

2 類彈性碰撞模型

圖1所描述的彈性碰撞,只是滿足動量守恒和動能守恒的一種特殊情形.而公式(1)、(2)卻適用于各種滿足動量守恒及動能守恒的問題.我們可以設計出一種更具一般性的物理模型,使之包含(6)～(9)4式確定的2組解所描述的物理情景.

如圖2所示,將圖1中的m2小球改為一個內、外均光滑的彎管,此管可在光滑水平面上自由滑動.設彎管自然彎曲,管徑略大于小球直徑,m1球在此管中運動時,兩者之間的相互作用是完全彈性的.若 m1和m2球的初速度分別為 v1、v2,m1從 m2球的 A端進入,試討論 m1與m2球發(fā)生作用后,兩者速度的可能值.

當小球在彎管中運動時,兩者之間無摩擦力作用,也不發(fā)生非彈性碰撞,故系統機械能守恒.兩物體間的相互作用結束后,有兩種可能狀態(tài):一是m1球越過最高點B后,從C端滑出;二是 m1球沒能達到最高點B,最后從 A端返回.這兩種情形,系統末狀態(tài)的勢能都等于初始值,故系統動能守恒,類似于彈性碰撞,公式(1)、(2)適用.

當 m1球越過 B點從m2管的 C端運動出來時,v1′＞v2′,(6)、(7)兩式所確定的解不合題意,而(8)、(9)式所描述的解與實際情景吻合;若 m1球速度較小,未能達到 m2管的最高點 B,便返回 A端,則 v1′＜v2′,此時所反映的物理情景與圖 1相同,其解為(6)、(7)兩式.

可見,圖2所假設的模型概括了兩種可能的結果.若根據題目已知條件不能判斷 m1是否越過 B點,則公式(1)、(2)的完整解應為由(6)～(9)四式組成.

圖2

3 兩類模型的比較與討論

3.1 作用過程中系統動能與動量的變化

圖1和圖2所示的兩種模型,在兩個物體相互作用的過程中,具有不同的動量轉化形式.圖1中有動能與彈性勢能的轉化.當兩球速度相等時,兩球的形變最大,即彈性勢能最大,此時系統動能最小;可見彈性碰撞的過程中,系統動能并不守恒,只有在兩物體作用前后、系統的動能才是相等的,但動量是一直不變的.圖2中有動能與重力勢能的轉化.小球不僅有水平方向的速度在改變,而且豎直方向的速度也在時刻變化著,因此在兩者作用過程中,系統的動能和動量都不守恒,但在始、末狀態(tài),動量和動能都相等.

3.2 作用結束后末速度大小與質量的關系

圖1所示模型與圖2中小球從 A端返回的情形相同,此時以兩種極限情況討論:

(1)若 m1?m2,則由(6)、(7)兩式可得兩者碰撞后的速度分別為

這種情景可理解為一個質量很大的鉛球與一只乒乓球發(fā)生碰撞,碰后鉛球速度近似不變,而乒乓球速度增大.

(2)m1?m2,則由(6)、(7)兩式可得兩者碰撞后的速度分別為

這種情景可理解為一只乒乓球撞擊一個質量很大的鉛球,碰后鉛球速度近似不變,而乒乓球以原來的速度反彈.

上述兩種結果表明,兩物體作用后的末速度大小與兩者的質量大小有關.

圖2中,若 m1球越過B點后從C端滑出,仍可以兩種極限情況討論:

(3)若 m1?m2,則 m2管的動能忽略不計,作用后 m1球的動能近似不變,進而得兩物體的末動量也不變,故 m1從 m2的 C端滑出時,v1′=v1,v2′=v2.

(4)若 m1?m2,則 m1球對 m2管的作用不足以改變m2管的動能,m2管的動能近似不變,同樣可得到兩物體的末動量也不變,仍有 v1′=v1,v2′=v2.

可見,兩物體作用后的末速度大小與兩者的質量大小無關,與(8)、(9)兩式所得結果吻合.

一般說來,根據物理公式求出的結果若有兩組解,則需進行檢驗,舍去不合題意的解.但不合題意的解也往往有其物理意義,通常可以找到另一種物理模型,出現另一組解所描述的情形.教學過程中,注意引導學生建立模型,探究每一組解的物理意義,對培養(yǎng)學生嚴謹的思維習慣,開拓思路,探索各種物理現象間的內在聯系是大有裨益的.