伽利略對拋體運動的研究

王春英

(西北民族大學電氣工程學院,甘肅蘭州 730030)

伽利略(1564～1642)是意大利的物理學家、天文學家.他在1632年發表了《關于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》一書,1638年又發表了《關于兩門新科學的對話》一書.書中,涉及到了現代力學中的許多概念、定理和公式.通過解讀伽利略的相關著作,我們不僅能夠深刻地了解伽利略的工作和思想,而且能夠更深刻地理解那些公式、定理的含義,下面筆者就以拋體運動為例探析伽利略的工作和思想.

1 慣性思想的提出

在17世紀以前,人們就注意到了以下現象:從一座塔上下落的球會垂直落在塔底;向上拋出的球仍舊落在原處.這是為什么呢?究其原因導致了慣性概念的產生.在伽利略之前,人們對運動的看法是建立在亞里士多德觀念的基礎上.亞氏把運動與靜止看作是兩種對立的狀態,從運動到靜止或從靜止到運動就必須實施力的作用.因此,在地靜說的基礎上,他們給出的解釋是:小球在橫向方向沒有受到外力的作用,在垂直方向由于其“重”的本性作自然運動,因此小球垂直落下.然而,伽利略認為,亞氏的許多命題都是錯的.首先,地球不是靜止的,而是運動的,那么在運動的地球上如何解釋上面的現象呢?伽利略認為:“同地球保持一致是這個球作為地球上的物體無法擺脫且不可分離地參與了的基本的、永恒的運動,物體憑借本性具有這種運動并且將永遠擁有這種運動.”[1]當球從塔上下落到地球上時,由于沒有原因促使球自西向東運動停止,所以它與塔保持一致.伽利略還通過圖1的理想實驗進一步表達了他的思想.把一個小球放在具有一定高度的光滑斜面AB上,這個小球必然自發地沿著斜面加速地滾下來,到達B點小球獲得一定的速度,這個速度可使小球沿著光滑斜面BC減速地上升到同樣高度.如若把 BC面變成光滑的、無限長的水平面,由于小球在B點獲得的速度既不能增加也不能減少,小球就會以這個速度一直運動下去.這種在亞氏學派看來,不可能存在的運動形式被伽利略揭示出來:一個不受力的物體也會運動.事實證明,力不是維持物體運動狀態的原因,運動是物體的固有屬性.

圖1

伽利略沒有使用“慣性”這個詞,但他已表達出慣性的思想.遺憾的是,伽利略遵循舊傳統認為物體這種基本的、永恒的運動是勻速圓周運動,但對無限大的地球局部來說,圓周曲線運動等同于直線運動.

2 落體運動的研究

亞氏把從塔上靜止下落的小球,看作是自然運動,并把它歸因于形式因.在他看來這類運動的本性和形式只有在它們的天然位置才能實現,并利用“元素說”,把物體所含重元素的量作為物體下落速度快慢的判據.按照這一判據,兩個物體在空氣中從同一高度下落,重物體比輕物體先落地.亞氏還注意到了介質對下落物體的影響.[2]他根據經驗斷定,介質對運動起阻礙作用,介質密度越大阻礙就越大.如果把物體所含重元素的量設為Q,把介質密度設為ρ,我們試著把亞氏的思想用符號形式反映出來,即為

亞氏雖然沒有用符號形式表達他的思想,但這是歷史上第1個有關落體運動規律的描述.

1638年伽利略發表了《關于兩門新科學的對話》一書,書中伽利略公布了他的兩項重要發現,其中之一是他的自由落體定律.在這個問題上,伽利略推翻了他那個時代幾乎所有人都認為落體速度與其重量成正比的錯誤觀點.筆者們可以通過他的相關著作,了解他的工作和思想.伽利略認為,自亞氏以來人們借助于“四因說”來解釋物體的運動,是導致沒有意義結果的重要原因.人們應該改變觀念,轉換視角,從研究“為什么”轉變為“怎么樣”.為實現這一轉變,伽利略轉向了對運動現象的數學描述.他把運動物體看作質點,排除了形狀對運動的影響.他不考慮空氣的作用,在純化了的條件下凸顯出落體運動的主要特征.他定義了勻速運動,并重點觀察了落體運動的下落方式,考察了運動變化的性質.他發現落體在重力的持久作用下,速度并不均勻,而是有規則的變化,這種規則性表現出一種規律,那就是在相等的時間間隔內速度的增量保持不變.我們用符號形式反映出來,就是 Δv=aΔt.伽利略把這種運動又定義為勻加速運動.可見,在伽利略看來,勻速直線運動與勻加速直線運動是兩種不同的運動狀態,勻速直線運動可以不受力的作用,但自由落體是在重力的持續作用下,才會勻加速下落的.因此,伽利略揭示出:力是改變物體運動狀態的原因.

在確定了時間和速度的正比關系后,伽利略用幾何方法證明了自由落體運動的路程和時間的關系,他的證明過程大致如下:

如圖2所示,設物體從靜止開始下落,用豎直線 AB表示時間.把AB等分成若干份,在各等分點上,作垂直于 AB的垂線,每一條垂線表示各時刻的速度值,其數值 v=at按的假設增加.到了 B點,物體所用時間為 t,速度值為at.連接這些垂直線段的頂點便是 AC.則三角形ABC的面積即為物體在AB時間內做勻加速運動所走過的路程.此路程為

圖2

以上是伽利略的自由落體定律.按照伽利略的觀點,一切物體下落的速度與其重量無關,在真空中都以同樣的加速度下落.

3 運動的合成——拋體運動

有了慣性運動思想和自由落體運動的性質,伽利略擴大了他的研究范圍,開始討論拋體運動.伽利略認為拋體的運動具有勻速運動和自然加速運動的復合運動的性質.他在其著作《關于兩門新科學的對話》中談到:“設想任意一個質點沿水平面無摩擦地投擲;如果這個平面是無限的,這個質點將沿平面作均勻的和永恒的運動.如果這個平面是有限的或被提高了的,則運動質點(我們想象它有重量)就將穿過平面的邊界,在它原先所作的勻速的、永恒的運動外,由于自身的重量而獲得一個向下運動的傾向,以至于所產生的筆者稱之為拋射的運動是一種水平勻速運動和另一垂直自然加速運動的復合.”[3]并證明了“由一個水平勻速運動與一個垂直自然加速運動復合而成的拋射運動描繪的路徑是一條半拋物線.”證明過程大致如下:

如圖3所示,令ab是一條臺高的光滑水平線,讓一物體從a到b做勻速運動,到b點時,又突然在其自身重量的作用下,獲得一個沿垂直向下的自然加速運動.延長ab到k,令 bk代表時間軸,bn代表路程軸.因為物體的慣性運動,它在水平方向保持其勻速運動,將bk分成相等的時間間隔bc、cd、de和cp等.由于物體在豎直方向上作自由落體運動,其路程依 s=變化.若當物體到達c點時,下落的距離是 ci,那么到達d時,下落的距離是 df,df=4ci,到達e點時,下落的距離是9ci,到達 p點時,下落的距離是16ci,以此類推,連接 bifhm,就是一條半拋物線.

圖3

伽利略就這樣用新觀念解決了多少世紀遺留下來的拋物體的曲線問題.

把拋體運動看作是水平的勻速運動和豎直向下的自然加速運動的合成后,伽利略認為,拋體運動的速度也應該具有復合性質,它應該是兩個分速度合成的總效應.于是他又用幾何方法證明了以下命題:

當一個物體的運動是由水平的勻速運動和垂直方向的自然加速運動合成時,則合速度的平方等于兩個分速度的平方之和.這是伽利略的又一重大發現.

伽利略把運動同物體的本質屬性分離開來,通過對拋體速度的討論,不僅改變了自亞氏以來人們思想中固有的錯誤觀念,而且揭示出自然界運動所遵循的簡單性法則——運動的獨立性和疊加性.由于運動的獨立性,所以運動與運動不會相互影響.這樣一來,一個物體可以同時具有幾個運動,合運動的結果遵從純粹的幾何學法則.相反,每一種運動也可以遵從相同的規則分解為若干個分運動.

伽利略的工作并沒有到此為止,他又通過物體的平拋運動,深入到大炮發出的拋射體,那是一條拋物線.他把沿各種不同傾角θ發出的拋射體的軌跡的射程(幅度)和高度一一計算出來,并制成精細的表格.計算結果證明,對于一定的初速度,當 θ=45°時,射程最大.并揭示出,若初速度不變,仰角比45°增大或減少一個相等角度的拋體,其射程相等.

“近代物理學是隨著伽利略的著作而誕生的.”[4]伽利略通過上面的工作,不僅建立了一門新的涉及一個古老課題的科學,正確解決了拋體問題,而且還為人們提供了新的理論、新的思想.他所運用的方法和手段正向他所預言的那樣,不僅對那個時代的科學家和科學思想產生了巨大的影響,也為之后的牛頓力學的建立奠定了基礎.

1 伽利略.關于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話.周煦良等譯.北京:北京大學出版社,2006.

2 亞里士多德.物理學.徐開來譯.北京:中國人民大學出版社,2003.

3 伽利略.關于兩門新科學的對話.武際可譯.北京:北京大學出版社,2006.

4 科瓦雷.伽利略與17世紀的科學革命.世界哲學.1994(04).