利用x-t圖線巧解物理難題數例

謝恩東

(安慶市第一中學,安徽安慶 246000)

圖像法是高中物理處理問題一種基本方法,利用圖像解題直觀,物理過程清晰明確.利用物體的運動圖像求解運動規律是處理運動學問題的常用方法.提到圖像法,我們很容易想到物體運動的v-t圖像,而 x-t圖線卻在教學中很少用到.但是合理使用 x-t圖線,也能幫助我們解決一些較為復雜的問題,尤其在多物體、多過程的勻速直線運動中.以下例題重點分析如何利用 x-t圖線巧妙解決物理中難題.

例1.某人以 v0=30 m/s的速度每隔1 s向上拋出一球,設各球在空中相遇但不相碰,則從拋出第1個球開始計時,在哪些時刻第1個球與其他球在空中相遇?

解析:小球拋出后在豎直方向做勻減速運動,其位移與時間的關系為 x=v0t-以后拋出的小球運動規律與第1個小球的運動規律相同,在同一坐標軸作每個小球的圖線,如圖1所示,圖線的交點 A、B、C、D、E表示兩小球相遇的時刻.由圖線的對稱性,不難求出第一個球與各球相遇的時刻分別為3.5 s、4 s、4.5 s、5 s和 5.5 s.

例2.(2001年上海高考題)如圖2(a)所示是在高速公路上用超聲波測速儀測量車速的示意圖,測速儀發出并接收超聲波脈沖信號,根據發出和接收到的信號間的時間差,測出被測車輛的速度.圖2(b)中 P1、P2是測速儀發出的超聲波信號,n1、n2分別是 P1、P2由汽車反射回來的信號.設測速儀勻速掃描,P1、P2之間的時間間隔 Δt=1.0 s,超聲波在空氣中傳播的速度是v=340 m/s,若汽車是勻速行駛的,求:(1)汽車在接收到P1、P2兩個信號之間的時間內前進的距離;(2)汽車的速度.

圖1

圖2

解析:從圖2(b)中可以看出 P1P2對應的長度為30格,即每格對應因此 P1n1、n1n2和P2n2對應的時間間隔分別為0.4 s、0.9 s和0.3 s.根據題意作超聲波和汽車的位移-時間圖線,如圖3所示,P1B和P2C分別為超聲波P1、P2的圖線,AC為汽車的圖線,其中P1A的長度表示初始時刻測速儀與汽車的距離.B、C兩點表示兩列超聲波遇到汽車,兩列超聲波反射后的圖線為Bn1和 Cn2.設超聲波和汽車的速率分別為 v1和 v2,由x-t圖線物理意義可知:

圖3

由幾何關系可得

結合以上關系,代入數據可得:

汽車在接收到P1、P2兩個信號之間的時間內前進的距離 BF=17 m,汽車的速度 v2=17.9 m/s2.

例3.(2004年江蘇高考題)如圖4所示,聲源 S和觀察者 A都沿x軸正方向運動,相對于地面的速率分別為 vS和vA.空氣中聲音傳播的速率為 vP,設vS＜vP,vA＜vP,空氣相對于地面沒有流動.

圖4

(1)若聲源相繼發出兩個聲信號.時間間隔為Δt,請根據發出的這兩個聲信號從聲源傳播到觀察者的過程.確定觀察者接收到這兩個聲信號的時間間隔Δt′.

圖5

(2)請利用(1)的結果,推導此情形下觀察者接收到的聲波頻率與聲源發出的聲波頻率間的關系式.

解析:(1)聲源、觀察者和聲波都是勻速運動,考慮采用x-t圖線.如圖5所示,先作聲源S的x-t圖線OC,圖線與橫軸的夾角為θS;聲源在相隔均為Δt的O、A、B和C時刻發出聲波,聲波的 x-t圖線分別為圖中OE、AF、BG和CH,4條圖線與橫軸的夾角均為θP;觀察者的 x-t圖線用DH表示,OD長度表示初始時刻聲源和觀察者的距離,直線DH與橫軸的夾角為θA.在 x-t圖像中,兩圖線的交點表示兩物體相遇,從圖中可以看出觀察者在E、F、G和H時刻接收到聲波,4者中相鄰的時間間隔(可用線度 EP的長度表示)即題中所求的Δt′.

由圖線x-t的物理意義可知

在圖中作輔助線EQ∥OA,由幾何關系可知

解(1)～(5)式可得

(2)設聲源發出聲波的振動周期為 T,由以上結論,觀察者接收到的聲波振動的周期為由此可得,觀察者接收到的聲波頻率與聲源發出聲波頻率間的關系為(收稿日期:2009-12-14)