微元法在新課程標準教材中的體現

王勝利

(河南省宜陽第一高級中學,河南宜陽 471600)

在復雜的物理過程中,某一物理量可能一直都在變化著,這種情況下,把整個過程分割為許多小過程或把研究對象分割成大量的微小單元,只要分割后的過程或單元足夠小,對這種微小過程或單元,就可以把變化的量看作恒量來處理,從而使問題得到解決,這就是微元法.這種以大化小,以恒代變的思維方法,是物理學先人首創的解決連續變化問題的科學思維方法.新課程標準與原教學大綱相比,最顯著的變化是課程目標發生了根本改變,課程的功能由過去單純強調知識與技能轉向同時關注學生學習的過程與方法、情感態度與價值觀.這一變化在新課程標準教材中有所體現,其中微元法就是一例.

1 微元法在教學內容中的體現

(1)瞬時速度.“……平均速度只能粗略地描述運動的快慢.為了使描述精確些,可以把Δt取得小一些,物體在從t到t+Δt這樣一個較小的時間間隔內,運動快慢的差異也就小一些.Δt越小,運動的描述就越精確.如果Δt非常非常小,就可以認為表示的是物體在時刻t的速度,這個速度叫做瞬時速度.”

圖1

(2)勻變速直線運動的位移.該節教材是教師培養學生掌握微元法的最好素材.教材首先指出勻速直線運動的位移在v-t圖像中如何表示,接著通過一個紙帶問題,討論怎樣估算做勻變速運動的小車,在某段時間內運動的位移,并類比勻速直線運動得出這種估算方法也可以用 v-t圖像表示[圖1(甲)],進而指出“上面的做法是粗糙的.為了精確一些,可以把運動過程劃分為更多的小段…….”[圖1(乙)]最后進行概括總結“可以想象,如果把整個運動過程劃分得非常非常細,很多很多小矩形的面積之和就能非常準確地代表物體的位移了.這時,“很多很多”小矩形頂端的“鋸齒形”就看不出來了,這些小矩形合在一起成了一個梯形OABC.此梯形的面積就代表做勻變速直線運動的物體從 O(此時速度是 v0)到 t(此時速度是 v)這段時間間隔的位移.”[圖1(丙)]整節教材內容的處理將微元思想體現得淋漓盡致,學生在學到知識的同時也掌握了用微元法處理問題的方法.

(3)曲線的切線.如圖2所示,過曲線上 A、B兩點作直線,這條直線叫做曲線的割線.設想B點逐漸向A點移動,這條割線的位置也就不斷變化.當B點非常接近A點時,這條割線就叫做曲線在 A點的切線.

(4)重力的功.教材首先研究物體豎直向下運動時,重力做的功;接著研究物體沿著傾斜直線向下運動重力做的功;最后研究物體沿任一路徑運動重力做的功,如圖 3所示,“我們把整個路徑分成許多很短的間隔,

圖2

圖3

由于每一段都很小,因而可以近似地看作一段傾斜的直線.設每段小斜線的高度差分別是

則物體通過每段小斜線時重力所做的功分別為

物體通過整個路徑時重力所做的功,等于重力在每小段上所做功的代數和,即

這里的分析表明,物體運動時,重力對它做的功只跟它的起點和終點的位置有關,而跟物體運動的路徑無關,功的大小等于物重跟起點高度的乘積 mgh1與物重跟終點高度的乘積 mgh2兩者之差.

此外,探究性課題“探究彈性勢能的表達式”,做一做“用傳感器觀察電容器的充電和放電”也都是培養學生掌握微元法的極好素材,在實際教學過程中應很好地加以利用.

2 微元法在教材習題中的體現

(1)選修3-2第14頁第7題.1831年10月28日,法拉第在一次會議上展示了他發明的圓盤發電機.它是利用電磁感應的原理制成的,是人類歷史上的第一臺發電機.據說,在法拉第表演他的圓盤發電機時,一位貴婦人問道:“法拉第先生,這東西有什么用呢?”法拉第答道:“夫人,一個剛出生的嬰兒有什么用呢?”圖4是這個圓盤發電機的示意圖:銅盤安裝在水平的銅軸上,它的邊緣正好在兩磁極之間,兩塊銅片C、D分別與轉動軸和銅盤的邊緣接觸.使銅盤轉動,電阻中就有電流通過.

圖4

(1)說明圓盤發電機的原理.

(2)圓盤如圖示方向轉動,請判斷通過R的電流方向.

解析:(1)如果我們將圓盤沿半徑方向分割為很多狹窄的金屬條(圖5),則每根金屬條就會轉動切割磁感線產生感應電動勢,轉動的圓盤可以看作無數多個相同的電源并聯在一起,根據右手定則知道,圓盤的邊緣(即銅片D)是電源的正極,圓盤轉軸(即銅片 C)則是電源的負極.由于電源與所接電阻R構成閉合電路,所以銅盤轉動時,回路中就會有電流通過.這就是圓盤發電機的工作原理.

(2)通過上面的分析可以知道,圓盤如圖示方向轉動時,通過電阻的電流方向應該從下向上.

假設銅盤轉動的角速度為 ω,銅盤的直徑為D,則每根金屬棒轉動切割磁感線產生的電源電動勢大小為.

圖5

無數多根金屬棒并聯后,電源電動勢仍為

電源內阻為

由于金屬棒是無數多根,即n→∞,故 r→0.

根據閉合電路歐姆定律,通過電阻 R的電流大小為

(2)選修 3-2第29頁 3題.在科技館中常看到這樣的表演:一根長1 m左右的空心鋁管豎直放置[圖 6(甲)].把一枚磁性很強的小圓柱形永磁鐵從鋁管上端放入管口,圓柱直徑略小于鋁管的內徑.根據一般經驗,小圓柱自由落下1 m左右的時間不會超過0.5 s,但把小圓柱從上端管口放入管中后,過了許久它才從鋁管下端落出.小圓柱在管內運動時,沒有感覺到它跟鋁管內壁發生摩擦,把小圓柱靠著鋁管,也不見它們相互吸引.是什么原因使小圓柱在鋁管中緩慢下落呢?如果換一條有裂縫的鋁管[圖6(乙)],圓柱在鋁管中的下落就變快了.這又是為什么?

圖6

解析:我們假想將鋁管分割成許許多多小鋁環,如圖6(丙)所示.當小圓柱形永磁鐵在鋁管中下落時,對于其上的小鋁環 A而言,小圓柱遠離 A,對于其下的小鋁環 B而言,小圓柱靠近 B,小鋁環 A的磁通量減小,小鋁環B的磁通量增加,小鋁環A、B中會有感應電流產生,感應電流的磁場就要阻礙每個小鋁環磁通量的變化,這樣小鋁環 A對小圓柱有引力作用,小鋁環B對小圓柱有斥力作用.由此可知,小圓柱在鋁管中下落時,小圓柱上方的鋁管對其不停施加引力,下方的鋁管對其不停施加斥力,造成小圓柱在鋁管中緩慢下落.如果鋁管有裂縫,鋁管內不會形成感應電流,鋁管對小圓柱不會產生磁力作用,自然小圓柱下落就變快了.

3 用微元法解決教材中的兩個問題

(1)第二宇宙速度

在地球表面發射出去的人造天體能夠擺脫地球引力的羈絆而環繞太陽運行所必須具有的速度叫做第二宇宙速度,也叫脫離速度,其大小為 11.2 m/s.這一數值是怎樣得到的?

如圖7所示,設地球的質量為M,半徑為 R,將一質量為 m的人造天體以初速度v0沿半徑方向發射出去,人造天體先后經過相距很近兩點 A、B,如果 A點距地心的距離為r,B點距地心的距離為r+Δr,在這個很小的區間Δr上,萬有引力對人造天體做的功為

圖7

圖8

因此,人造天體從地球表面到脫離地球,萬有引力對人造天體做的功為

(2)示波器中的鋸齒形掃描電壓的有效值

第2個等份時間內產生的熱量為……

第n個等份時間內產生的熱量為

設此交變電壓的有效值為 U,則有

解得

總之,微元法是我們研究解決物理問題的重要方法之一,在新課改理念日益深入人心的今天,我們在教學實踐中,不僅要關注學生對知識的學習,更要關注學生對處理問題方法的掌握,著力培養學生解決問題的能力.