軸承零件圓輪廓最小二乘圓誤差的Newton迭代法修正

張 慧，宋曉波，李文超，溫朝杰

(洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039)

在軸承套圈溝道或鋼球等圓輪廓的接觸式測量中，對采樣點進行評定時，最小二乘圓法是目前通用的評定方法，此方法計算簡便但存在一定的誤差。為使評定結果更加精確，更逼近真實值，現采用Newton迭代法對最小二乘圓法評定結果進行修正。

1 圓輪廓的最小二乘圓通用算法

在軸承零件圓輪廓的實際測量過程中，得到的一系列測量點(xi,yi)，按照圓的標稱形式進行最小二乘圓的優化計算，可以得到圓輪廓半徑和圓心的坐標[1-2]。

如圖1所示，傳感器實際測量出來的一系列測量點組成樣本集(xi,yi)，i=1,2，…,N。

圖1 最小二乘圓示意圖

樣本集(xi,yi)中點到圓心的距離為di,則：

(1)

采用最小二乘法直接分析圓的輪廓，在對各未知參數求偏導后，無法求解，為了計算方便，可以取點(xi,yi)到圓心距離與圓半徑的平方差：

(2)

(3)

(4)

(5)

k2=N∑xiyi-∑xi∑yi，

(6)

(7)

(8)

但用最小二乘圓法對圓輪廓的采樣點進行評定時，不同的儀器各自存在不同的問題。

(1)對于圓度儀、圓柱度儀和溝曲率儀等儀器采用極坐標對圓輪廓進行測量評定時，采用的是采樣點到圓心的距離與圓半徑的平方差的平方，而不是兩者差的平方，因此增加了距離與半徑之和的權重，計算結果則必然使半徑變小，圓心位置發生偏移。

(2)對于輪廓儀等儀器采用直角坐標對圓輪廓進行測量評定時，采用的是采樣點到圓邊緣的距離；而根據最小二乘法的定義應該是實測值與相應圓上點的理論值之間的誤差。因此，以此距離代替誤差必然會帶來分析結果的誤差。

2 Newton迭代法對最小二乘圓誤差的修正

現針對上述兩種問題，分別提出不同的修正方法。

2.1 問題1的修正

根據圓的方程，點(xi,yi)到圓心的距離與半徑的差為：

(9)

按照Newton迭代法[3]，則有：

(10)

(11)

(12)

ΔA=Ak+1-Ak

(13)

ΔB=Bk+1-Bk

(14)

ΔR=Rk+1-Rk

(15)

取(6)～(8)式中的(A,B,R)為計算的初值(A0,B0,R0)，根據測量需要的精度，計算(ΔA，ΔB，ΔR)即可。

2.2 問題2的修正

根據圓的方程R2=(xi-A)2+(yi-B)2有：

在直角坐標系中，誤差為：

(16)

2.2.1 球體的修正

測量球體等凸面向上的圓形輪廓時：

(17)

按照Newton迭代法，則有：

(18)

(19)

(20)

2.2.2 溝道的修正

測量溝道等凸面向下的圓形輪廓時：

按照Newton迭代法，則有：

(22)

(23)

(24)

同樣，取(6)～(8)式中的(A,B,R)為計算的初值(A0,B0,R0)，根據測量需要的精度，計算(ΔA，ΔB，ΔR)即可。

3 結束語

利用極坐標的儀器采用最小二乘圓法對圓輪廓進行測量評定時，如果不進行修正，因為圓心位置的偏離和半徑的計算誤差，會導致圓度誤差的評定出現偏差，圓度值越大或工件偏心越大，誤差就越大，特別是偏心帶來的圓度誤差在進行精密測量時有時可以達到5%～15%。采用玻璃半球對儀器的精度進行評定時，雖然圓度值很小(0.05 μm以內)，但不同的偏心值仍可造成10%左右的誤差；采用橢圓標準件對儀器進行放大倍數的校正時，不同的偏心值甚至會造成15%～20%的測量誤差(多次測量的重復性)，給儀器的校準及評定帶來問題。通過Newton迭代法修正后，圓度值呈現一定的變化，最終趨于穩定，可以將重復性誤差控制在0.1%～1%以內，相應提高了儀器的精度。

利用直角坐標的儀器采用最小二乘圓法對圓輪廓進行評定時，測量誤差會呈現S形的變化。不僅圓心位置和評定半徑發生變化，誤差的本身也出現變化，從而整個圓輪廓的半徑一致性也變差。通過Newton迭代法的修正可以消除部分S形誤差(因為測桿的物理因素以及上下坡等因素也會帶來部分S形誤差)，并可將同測量段的半徑和圓心位置一致性穩定在0.5%～1%以內。