基于Morlet小波變換的MPSK信號調制識別

崔 琛， 李 輝， 余 劍

（電子工程學院，安徽 合肥 230037）

0 引言

調制方式是通信信號的一個重要特征，其基本任務是在多信號環境與由噪聲干擾的條件下確定出接收信號的調制方式和信號的其它參數，從而為進一步的分析處理信號提供依據[1]。在通信對抗偵察中，調制識別可以為解調器正確選擇解調算法提供依據，最終獲得有用的情報信息；在通信對抗干擾中，調制識別有助于選擇最佳干擾方式，也有助于設計干擾抵消算法，抑制和破壞敵方通信，同時保證友方通信。

MPSK信號是常用的數字信號調制方式之一。文獻[1]中采用判決理論方法，通過對相位似然比函數進行冪級數展開近似，得到準對數似然比分類準則，但該方法只能分類BPSK與QPSK信號。文獻[2]中利用Tikhonov函數近似相位的概率密度函數，通過推導證明了相位的偶數階統計矩是隨M單調遞增的函數，以此為基礎文中提出了一種基于相位的偶數階統計矩識別MPSK信號的方法，文中仿真結果表明，利用相位的8階矩，在信噪比為0 dB時，識別正確率為0.9，在信噪比為2 dB時，識別正確率約為0.98。文獻[3]中利用傅立葉級數近似相位的概率密度函數，證明了相位的偶數階統計矩是隨 M 單調遞增的函數，與文獻[2]中的方法相比，有更好的識別概率，而且計算更簡單，文中仿真表明在錯誤識別概率為 0.01時，與文獻[2]中的方法相比所需信噪比下降2 dB。文獻[4]中在文獻[2]的基礎上，在 M =1 ,2,4,8的條件下對由 Tikhonov函數近似得到的相位概率密度函數進一步化簡，由化簡得到的公式提出了一種次優的識別算法，與文獻[2]中的方法相比，有更好的識別概率，文中仿真結果表明，在正確識別率為0.9時，所需信噪比下降約2.5 dB。

文獻[2-4]中直接利用Hilbert變換或IQ正交兩路信號提取瞬時相位，本文利用Morlet小波變換提取瞬時相位，通過推導可知，由Morlet小波變換得到的瞬時相位概率密度函數與利用 Hilbert變換得到的瞬時相位概率密度函數有相同的形式，因此可以通過Tikhonov函數或傅立葉級數近似相位的概率密度函數，然后由文獻[2-3]中提出的相位偶數階統計矩或文獻[4]中提出的次優算法識別 MPSK信號。與文獻[2-4]中利用Hilbert或IQ提取瞬時相位相比，通過Morlet小波變換噪聲得到了抑制，MPSK信號獲得了信噪比增益，因此利用Morlet小波變換有更好的識別概率。

1 MPSK信號的Morlet小波變換與信噪比增益

Morlet小波為解析小波，其表達式為：

其中， ()gt為高斯窗：

高斯窗 ()gt的Fourier變換 ()Gω為：

由高斯函數的性質，定義g(t)的支撐集為[-4 σ,4σ]， G (ω)的支撐集為[-4/σ, 4 /σ]。

Morlet小波的基函數ψ (a,b)(t )為：

其中，a與b分別為Morlet小波的尺度參數與平移參數。

基函數ψ(a,b)(t)的Fourier變換ψ(a,b)(ω)為：

其中， |ψ (a,b)(ω) |的支撐集為如果＞＞ 1 ，則 |ω |＞ω0時有G(ω)≈ 0 。因此，Morlet小波可看成是近似解析的。通常選取ω0=5，σ≥1。

對MPSK信號：

其中，W Ts(a,b)、ξ(b)分別為信號s(t)與噪聲ε(t)的Morlet小波變換。

當(k - 1)T ≤t ＜ kT 時，MPSK的 Morlet小波變換WTs(a,b)的表達式為：

其中， θ =φi+θc。令b =n Ts，其中 n =1 ,2,…, N ，N為抽樣點數， Ts為抽樣周期，則對PSK信號：

其中，|W Ts( a,n Ts)|為信號的小波模，φs為s(t)信號的瞬時相位。

在一個碼元周期內MPSK信號的小波模為恒定值，瞬時相位為線性相位、初始相位與調制相位的和，瞬時相位中包含了MPSK信號的有用信息。在碼元跳變處，由于相位的突變，小波模有較大的峰值。

輸入噪聲ε(t)為高斯過程，而Morlet小波可等效為一線性時不變系統，則輸出噪聲ξ(b)也是一高斯隨機過程，其功率譜密度為：

從式（11）中可以看出，輸出噪聲()bξ的功率譜密度為高斯型的，不再是白的。

選取尺度參數 a =ω0/ωc，即ωc=ω0/a ，此時PSK信號的載波位于Morlet小波濾波器的中心，ξ(b)的功率為：

其中Bε為()tε的半帶帶寬，而()xΦ的定義為：

Φ( x )的值可查表得到。

假定信號 s (t)的半帶帶寬為B，則當 a =ω0/ωc，σ=4 /aB ，Bε=B 時，輸出噪聲ξ(b)的功率為：

輸入信噪比為：

輸出信噪比為：

MPSK信號通過Morlet小波變換的信噪比增益Gain為：

即MPSK信號通過Morlet小波變換后約有6.5 dB的增益。

注意這是載波位于 Morlet小波濾波器的中心時所得到的最大增益，此時Morlet小波的頻率分辨率最高，時間分辨率最低。在實際的應用中要與時間分辨率折中考慮。

2 Morlet小波變換后瞬時相位的概率密度函數

通過中值濾波器濾除在碼元跳變處小波模的峰值，則WTx(a,b)是一恒包絡正弦波信號與窄帶高斯過程的和。令：

則 W Tx(a,b)可寫為：

WTx(a,b)可寫為模與相位的形式：

由推導可知，φ的概率密度函數 ()fφ為：

定義0γ為：

則式（17）可化為關于0γ的形式：

其中()Qx的定義為：

則()fφ可近似為Tikhonov函數的形式：

其中， I0(x)為零階修正貝賽爾函數。

比較式（26）與文獻[2]中的式（10）可知，式（26）與文獻[2]中的式（10）有相同的形式，只是在式（26）中，γ0為Morlet小波變換后的信噪比，因此可以利用文獻[2,4]中提出的方法識別 MPSK信號，也可以利用傅立葉級數近似式（24），從而利用[3]中提出的偶數階統計矩識別MPSK信號。由第1節中的分析可知，信號通過Morlet小波變化后獲得了信噪比增益，因此與文獻[2-3]中直接利用Hilbert或IQ正交兩路提取瞬時相位相比，通過Morlet小波變換得到的瞬時相位更精確，從而有更好的識別正確率。

這里利用文獻[4]中的方法為例識別MPSK信號。 首先提取信號的瞬時相位，然后計算lα，α=0 ,1,2,3來識別MPSK信號，其中lα的定義為：

其中0=α，對應CW信號，1=α，對應BPSK信號，2,3α=以此類推。則最大的lα對應的M即為信號PSK的階數。下面通過仿真驗證。

3 計算機仿真結果分析

在本節中，給出了利用Morlet小波變換的相位信息進行MPSK信號調制方式識別的計算機仿真結果。仿真條件：抽樣速率 fs=1 ，載波頻率 fc=0.1，碼元周期 T =126，碼元個數為50，噪聲為窄帶高斯噪聲，帶寬與信號相同。尺度參數a取為8，σ取為2。仿真結果如圖1所示，仿真結果表明，同樣的識別正確率，利用Morlet小波與利用Hilbert法相比，所需信噪比要低約3 dB。

圖1 識別正確率隨信噪比變化曲線圖

4 結語

本文針對MPSK信號的分類問題，給出了MPSK信號經Morlet小波變換后相位的概率密度函數。受加性高斯白噪聲污染的MPSK信號經Morlet小波變換后，相位的概率密度函數與利用 Hilbert變換得到的相位概率密度函數有相同的形式，因此可以利用文獻[2-4]中提出的方法識別MPSK信號。由于Morlet小波對噪聲有良好的抑制作用，因此與直接利用Hilbert變換或IQ正交兩路相比，得到的瞬時相位更精確。仿真表明，采用文獻[4]中的次優識別算法，在正確識別率為0.9時，采用Morlet小波變換，所需信噪比低約3 dB。提高抽樣速率，增加抽樣點數，可以得到更好的識別結果。

[1] Kim K, Polydoros A. Digital Modulation Classification:The BPSK Versus QPSK Case[J]. Proc.MILCOMM, 1988, 2(10): 431-436.

[2] Soliman S S, Hsue S Z. Signal Classification Using Statistical Moments[J]. IEEE Trans COMM, 1992, 40(05): 908-916.

[3] Yawpo Yang,Samir S Soliman. An Improved Moment-based Algorithm for Signal Classification[J]. Signal Processing, 1995(43):231-244.

[4] Yawpo Yang,Samir S Soliman. A Suboptimal Algorithm for Modulation Classification [J]. IEEE trans AAES, 1997, 30(01):38-45.