基于Y型陣的互耦矩陣與DOA的同時估計方法

吳彪，陳輝,2，胡曉琴

（1. 空軍雷達學(xué)院 重點實驗室，湖北 武漢 430019；2. 信息綜合控制國家重點實驗室，四川 成都 610036）

1 引言

空間譜估計是陣列信號處理的一個重要研究方向，其大多數(shù)經(jīng)典的算法，如MUSIC[1]等均是針對等距均勻線陣（ULA）提出并進行討論的。然而，均勻線陣的最大缺點就是只能提供 0°到 180°范圍內(nèi)的估計，而且由方向圖可知其分辨力在線陣法線方向最高，而在軸線方向最差，所以實際的有效范圍只有 120°，且只能提供一維角信息；均勻圓陣雖然可以提供 0°到 360°全方位、無模糊的二維角信息，且任何方向上都具有近似相同的估計精度和分辨力，但其陣列流型不具備均勻線陣的Vandermonde矩陣形式，這就使得基于均勻線陣的許多優(yōu)良算法不能直接應(yīng)用于均勻圓陣；面陣的陣元數(shù)較多，計算量較大，結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜；L型陣[2]具有均勻線陣和平面陣的特點，結(jié)構(gòu)簡單，而且對于均勻線陣的研究成果可用于L型陣，但L型陣和十字陣共同存在的不足是信源DOA方向接近兩臂延長方向時，可能會出現(xiàn)前后向模糊[3]（即把方位角誤認為其補角），這是陣列結(jié)構(gòu)本身的固有缺陷，雖然可以通過減小陣元間距解決這一問題，但陣列孔徑也會同時減小，而且互耦效應(yīng)也會增加。Y型陣兼有L型陣和圓陣的特點，與L型陣相比，Y型陣可以提供0°到360°全方位、無模糊的二維角信息，任何方向上具有相同的陣列孔徑；與圓陣相比，Y型陣的波束寬度更窄，CRB更低，具有更高的分辨精度，與前面幾種陣列結(jié)構(gòu)相比，Y型陣在角度一致性、陣列孔徑和陣元數(shù)方面是個較好的折中。此外，Y型陣列能夠靈活擴展孔徑，陣元間的互耦效應(yīng)較小，且在低仰角時不存在前后向模糊[3]。雖然Y型陣作為一種陣列結(jié)構(gòu)已經(jīng)出現(xiàn)，并實際應(yīng)用于巨型孔徑的光學(xué)天文望遠鏡及射電天文望遠鏡中，但在陣列信號處理等領(lǐng)域討論較少。文獻[2]中針對L型陣所提出了2-D角估計方法，但沒有考慮模型誤差的影響。文獻[3]討論了Y型陣列的DOA估計，但用的是矩量法補償陣元間的互耦，而矩量法有一些固有的缺點。

早期的陣列校正是通過對陣列流型直接進行一系列的測量和內(nèi)插，但這種方法的效果不太明顯，不滿足實時性要求。矩量法[4]（MoM）可以嚴(yán)格計算出任意幾何形狀下陣列的互耦矩陣，但缺點是陣元的電磁參數(shù)會隨著環(huán)境的改變而改變，影響整個系統(tǒng)的工作效率。自校正[5,6]（self-calibration）或在線[7]（on-line）校正算法將互耦的補償問題轉(zhuǎn)化為一個陣列參數(shù)的估計問題，從而實現(xiàn)DOA和互耦矩陣的聯(lián)合估計，但這類方法通常需要求解一個多維的非線性優(yōu)化問題，且全局收斂性往往無法得到保證，因此這種方法的容許度較小。文獻[8]利用ML-EMSGA的修正遺傳算法實現(xiàn)了互耦條件下最大似然估計中似然函數(shù)的多維參數(shù)估計問題，具有全局收斂的優(yōu)點。文獻[9]利用MP算法估計互耦條件下信源DOA，運算量小，且估計相干源時無需空間平滑，但互耦的補償用的是矩量法。文獻[10]基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到了互耦矩陣的快速計算方法，與傳統(tǒng)的矩量法相比，這種算法速度快，實時性強，但不能用于非均勻陣列，而且對于復(fù)雜環(huán)境中線陣的校正需要借助輔助信號源。文獻[11]通過設(shè)置適量的輔助陣元實現(xiàn)了互耦條件下的DOA估計，但只是針對ULA，其他形狀陣列的輔助陣元如何設(shè)置沒有討論。本文提出的自校正算法把DOA和互耦系數(shù)聯(lián)合估計問題化為級聯(lián)估計問題，將多維的非線性搜索降為二維搜索，從而避免了多維搜索帶來的龐大運算量和迭代中的全局收斂性問題，且無需輔助信源和任何互耦信息。該方法不僅可以估計Y型陣中線陣內(nèi)的互耦，還可以估計線陣間的互耦。仿真實驗證明了本文所提算法具有運算量小、估計精度高的特點。

2 數(shù)據(jù)模型

2.1 Y型陣列互耦分析

本文中設(shè)置的Y型陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示，由3個夾角為120°均勻線陣組成，端點處共用一個陣元。設(shè)公共陣元位于原點處（O點），陣列位于xoy平面上，其中一個陣位于x軸，另2個陣與x軸正方向的夾角為120°，3個陣的陣元數(shù)分別為M1、M2和M3，則總陣元數(shù)M=M1+M2+M3-2，陣元間距為d1、d2和d3。假設(shè)d1=d2=d3=d=λ/2，3個陣的陣元數(shù)相等，M1=M2=M3=M。

圖1 Y型陣列結(jié)構(gòu)（水平放置）

假設(shè)C為整個Y型陣列的互耦矩陣

其中，D為陣M×M維線陣內(nèi)的互耦矩陣，B為M×M維線陣間的互耦矩陣。理想情況下，陣列流型A反映的是陣列在信號方向的空間響應(yīng)。由于互耦的影響，A不能反映陣列在信號方向的真實空間響應(yīng)，導(dǎo)致估計性能下降甚至失效。某些互耦系數(shù)還會使某一方向的導(dǎo)向矢量是其他幾個方向?qū)蚴噶康木€性組合，從而產(chǎn)生偽峰[11]。

設(shè)均勻線陣內(nèi)的互耦自由度為p，則第一行的系數(shù)矢量可表示為

由文獻[3,12]可知線陣內(nèi)的互耦矩陣D可由首1的p維矢量d唯一表征。

其中，Toeplitz( z, z)表示由矢量z組成的對稱Toeplitz矩陣。M×M維矩陣B為對稱矩陣，但不具有Toeplitz性，所以其陣列結(jié)構(gòu)與D不同，其中第i行，第j列元素Bij可用式(4)描述。

其中，di,j為第i個陣元與第j個陣元的距離，p'=(p-1)d+ε，ε為大于0小于d的常數(shù)，該式表示線陣間的陣元間距大于p'時，其互耦效應(yīng)為0，該值的大小要根據(jù)Y型陣列的具體結(jié)構(gòu)合理確定。

B2是一個第一行和第一列均為0的對稱矩陣，它的結(jié)構(gòu)及非零元素的個數(shù)都沒有很明顯的規(guī)律，只能根據(jù)p值、值和Y型陣列結(jié)構(gòu)具體分析。設(shè)[B2]p×p為B2的前p行和前p列組成的矩陣，其余元素為0。這里只給出p=3，=1時的情況。

2.2 互耦存在時的數(shù)據(jù)模型

如圖1所示，假設(shè)原點O為參考點，入射信號為窄帶遠場信號，方位角和俯仰角分別為θi和φi，其中i=1,2,…,N，N為信號源數(shù)。設(shè)第k個陣元的坐標(biāo)為(xk,yk)(k=1,2,…,3M)，則

所以第k個陣元相對于參考陣元的相位差為

其理想的陣列流型表示為

其中，

當(dāng)陣元間距過小或信號頻率較高時，陣元間會發(fā)生電磁耦合效應(yīng)，且陣元間距越小，互耦效應(yīng)越嚴(yán)重。則受到噪聲擾動后的陣列接收的快拍數(shù)據(jù)可表示為

式中，3M×N維矩陣A(θ, )φ滿足無秩3M-3模糊，S(t)為N×K維入射信號矢量，3M×K維陣列噪聲矢量為N(t)，K為快拍數(shù)。信號和陣列噪聲均假定為相互獨立的零均值平穩(wěn)Gauss序列。互耦矩陣C維數(shù)為3M×3M，具體表達式由式(1)～式(6)給出。

陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可表示為

由子空間理論的知識可知互耦存在時的MUSIC算法為

3 Y型陣互耦自校正算法

3.1 算法原理

為推導(dǎo)方便，設(shè)(θ, φ)=(θi, φi),i=1,2,…,N，相應(yīng)地，βj=βj,i,j=1,2,…,3M，對于互耦不存在時的導(dǎo)向矢量a(θ, φ)，可以分為

其中，

由式(1)可得存在互耦時的導(dǎo)向矢量。

由于D為帶狀、對稱的Toeplitz矩陣，所以通過矩陣運算可表示為

由上節(jié)的互耦分析可知線陣間的互耦矩陣B可以分解為B1和B2，則

由矩陣運算可得

T3是一個M×維的重構(gòu)矩陣。由于矩陣B2的結(jié)構(gòu)及非零元素的個數(shù)都沒有很明顯的規(guī)律，只能根據(jù)p值、值和Y型陣列結(jié)構(gòu)具體分析，所以M×維矩陣也沒有很明顯的規(guī)律，只能根據(jù)矩陣B2的具體結(jié)構(gòu)具體分析。設(shè)[T3]p×p表示T3的前p行和前列組成的矩陣，其余元素為0，不表示出來。由式(6)可得

將重構(gòu)矩陣T1, T2, T3代入式(19)得

由子空間理論有

本文定義如下優(yōu)化問題來對方位、俯仰參數(shù)和互耦系數(shù)進行聯(lián)合估計。

由于互耦系數(shù)不全為 0，即c≠0，式(33)成立的充要條件是矩陣 Q ( θ , φ)為奇異矩陣。當(dāng)p+≤3M-2-N，且陣列導(dǎo)向矢量 a ( θ ,φ,c)滿足無秩3M-3模糊時，通常情況下(p +) ×(p +)矩陣Q ( θ , φ)是滿秩的，當(dāng)且僅當(dāng)(θ , φ)取為信號的真實方位角和俯仰角時才會出現(xiàn)秩損，使其變?yōu)槠娈惥仃嚒；诖嗽砜梢缘玫揭环N將方位、俯仰估計與互耦系數(shù)估計“去耦”的參數(shù)級聯(lián)估計方法。

通過式(35)和式(36)先估計出信號的方位角和俯仰角。

或

其中，λmin[·]為求矩陣最小特征值的算子，det[·]為求矩陣行列式的算子。再利用估計出的方位角和俯仰角 (,)得到互耦系數(shù)。

其中，emin[·]為求矩陣最小特征值對應(yīng)特征矢量子。

3.2 算法步驟

根據(jù)以上的分析過程，現(xiàn)將Y型陣列的互耦自校正算法總結(jié)如下：

3) 根據(jù)式(21)～式(23)計算重構(gòu)矩陣T1；

4) 根據(jù)式(27)計算重構(gòu)矩陣T2；

6) 根據(jù)式(29)計算重構(gòu)矩陣T；

7) 構(gòu)造空間譜估計器；

或

8) 根據(jù)式(38)或式(39)搜索譜峰，得到方位角和俯仰角的估計值 ??(θ, )φ；

9) 根據(jù)式(37)得到互耦系數(shù)的估計值?c。

通過分析發(fā)現(xiàn)必須同時校正線陣內(nèi)和線陣間的互耦才能正確估計DOA。線陣內(nèi)是一均勻線陣，其互耦矩陣D是一帶狀、對稱的Toeplitz矩陣，線陣間互耦矩陣B是一對稱矩陣。基于這些特點，通過矩陣運算，將耦合的角度參數(shù)和互耦系數(shù)去耦，把聯(lián)合估計問題化為先估計DOA，再估計互耦系數(shù)的級聯(lián)估計問題。這樣的最大優(yōu)點就是無需求解高維的非線性優(yōu)化問題，只需進行二維搜索就能解決Y型陣列的二維參數(shù)及互耦系數(shù)的估計問題。

另外，當(dāng)線陣內(nèi)的互耦矩陣自由度p=1時，D為單位陣，B1除了第一行第一列的元素為1外，其他均為0，B2為全零矩陣，本文提出的算法退化為無誤差時的二維MUSIC算法。

3.3 算法的模糊性分析

陣列流型是陣列對空域觀察區(qū)間內(nèi)單位功率信源響應(yīng)的集合，它與陣列幾何結(jié)構(gòu)和陣列各種電磁參數(shù)有著密切關(guān)系，是陣列本身固有的一種性質(zhì)，具體算法對于這類參數(shù)的模糊估計是無能為力的，只有通過陣列結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計或?qū)﹄姶艆?shù)進行某種數(shù)值約束[12]。理想均勻線陣在無互耦和其他參數(shù)擾動情況下，其導(dǎo)向矢量是理想的Vandermonde矢量，它滿足陣列流型無模糊的充要條件是陣列間距小于等于半波長。互耦存在時，由于互耦參數(shù)與理想導(dǎo)向矢量耦合，陣列流型幾何性質(zhì)發(fā)生了變化，此時陣列流型保證無模糊的條件很難進行理論分析，下面給出經(jīng)過大量仿真實驗得出的結(jié)論。

假設(shè)均勻線陣不存在模糊（即陣元間距小于等于λ/2），互耦自由度p,滿足下列條件：

4 仿真實驗

Y型陣的陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示，共有22個陣元，陣元間距均為半波長。p=3，= 1 ，d = [ 1,0.7821+0.258 3i,- 0 .547 6 + 0.246 9i]T， b = [ 0.652 4-0.2478i]T，互耦系數(shù)是隨機選取的，噪聲為零均值的高斯白噪聲，2個信號源為非相干源，方位角分別為 20°和 40°。

仿真1：Y型陣列的互耦自校正算法的空間譜曲線。在快拍數(shù)為100，信噪比為10dB的條件下，圖 2(a)為互耦未補償和互耦已知時的 MUSIC算法以及本文提出的SAY算法（最小特征值法，SAYE和行列式法，SAYD）空間譜曲線的比較。圖 2(b)給出了只校正線陣內(nèi)互耦時的譜，此時，式(29)中的是維數(shù)為M×的全零矩陣。

圖2 空間譜曲線

圖2（a）表明互耦存在時，MUSIC算法失效，而本文提出的算法和互耦已知時的MUSIC算法均可以準(zhǔn)確地估計信號的DOA。圖2（b）表明只校正線陣內(nèi)的互耦，無法獲得理想的效果，只有同時校正線陣內(nèi)和線陣間的互耦時，才能得到理想的估計性能。

仿真2：方位角估計性能隨信噪比變化的曲線。快拍數(shù)為100時，比較SAYE、SAYD算法和互耦已知時的MUSIC算法與信噪比的關(guān)系。每個信噪比做100次Monte-Carlo仿真實驗，比較DOA估計的成功概率和均方根誤差（RMSE）與信噪比的關(guān)系，并在圖3(a)和圖3(b)中分別給出了兩者的變化曲線。2個信號源DOA的估計值與真實值的誤差均在0.5°內(nèi)時視為成功。

圖3(c)給出了互耦已知MUSIC算法、SAYE算法與互耦已知和互耦未知時的 CRB隨信噪比的變化曲線。

圖3 估計性能與信噪比關(guān)系

圖3(a)～圖3(c)說明了SAYE算法和SAYD算法的性能曲線非常接近。SAY算法的估計性能要稍差于互耦已知時的MUSIC算法，但當(dāng)信噪比變大時，三者的曲線基本重合，性能趨于一致。這表明了互耦未知的條件下，本文所提算法也可以獲得較高的估計性能。

仿真3：互耦系數(shù)的估計性能。參數(shù)設(shè)置同仿真2。表1給出的是SAYE算法在不同信噪比條件下，通過100次Monte-Carlo仿真實驗，其中互耦系數(shù)為

互耦系數(shù)矢量的相對校正誤差定義為

從表 1和圖 4(a)、(b)中可以看出信噪比大于15dB，快拍數(shù)大于100時，Y型陣列的 ρcoupling很小，并且隨著信噪比的增加， ρcoupling逐漸趨近于零，即互耦系數(shù)矢量的估計值逐漸趨于真值。

表1 互耦系數(shù)估計值與信噪比的關(guān)系

圖4 估計性能與快拍數(shù)關(guān)系

5 結(jié)束語

本文針對Y型陣列的特殊結(jié)構(gòu)，對互耦矩陣進行了詳細分析，建立了互耦條件下的數(shù)據(jù)模型，并基于子空間原理，提出了一種基于Y型陣列互耦條件下非相干源的DOA估計及互耦自校正算法。該算法把相互耦合的DOA和互耦系數(shù)的聯(lián)合估計問題轉(zhuǎn)化為“去耦”的級聯(lián)估計問題，避免了傳統(tǒng)自校正算法運算量大，全局收斂性無法保證等問題，很好地解決了Y型陣列的互耦問題。理論分析和仿真結(jié)果均表明了本文提出的自校正算法的DOA估計不需要互耦矩陣的任何信息，具有估計精度高、分辨力強等特點，并且在DOA估計的同時，還可以精確地估計出互耦矩陣，從而實現(xiàn)Y型陣列的自校正，具有較大的實際意義。

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