流體運動的幾類模型

孟 飛

南京郵電大學理學院，江蘇南京 210003

流體運動的幾類模型

孟 飛

南京郵電大學理學院，江蘇南京 210003

流體力學是一門重要的學科，描述流體運動通常有幾種方法，本文主要介紹了描述流體運動常用的幾種數學模型，分析了它們的原理，并討論了它們的優缺點。

流體力學；連續介質；分子動力學；Boltzmann方程

流體力學是一門研究流體宏觀運動的學科。雖然流體的微觀運動在時間和空間上都非常復雜，具有不均勻性、離散型、隨機性，但是流體的宏觀運動一般總是呈現出均勻性，連續性，確定性。流體的宏觀運動和其他性質是流體分子微觀運動的平均結果。在連續介質假設基礎上，流體的宏觀運動可以用Navier-Stokes方程來描述，盡管連續介質是一種假設，但由于在很多情況下這一假設都可以成立。所以這種觀點已經被流體力學廣泛地采用，并獲得了很大的成功；另一方面，近些年，人們提出從微觀的角度來理解宏觀流體力學的概念和現象，能夠深刻地揭示宏觀現象的本質，對于更好的認識這些現象具有重要的意義。

本文著重介紹下通常研究流體力學的幾種數學模型，分析一下它們的理論及優劣。

首先，我們先來看大家所熟悉的流體運動的連續模型，在這里，流體可以看作是充滿整個流場的連續介質，可以在流場中的每一個空間點定義留意的密度、速度、溫度，壓力等物理量，并建立一系列的偏微分方程來描述流體的運動。連續介質假設是流體力學中的一個基本假設，是對流體結構的一種近似，當研究對象的尺度比粒子結構尺度大得多時，這一假設就成立，這一假設對于日常生活和工程中的絕大多數情況是合理的，依賴于這一假設，研究獲得了很大的成功，比如飛機在空氣中的運動，輪船在水中的運動，由于其特征尺度遠大于粒子的結構尺度，所以，空氣和水都可以被認為是連續介質，但是對于一些特殊情況，比如血液在動脈中的運動，高空稀薄氣體中物體的運動時，就不能當做連續介質。此外由于描述此運動的Navier-Stokes方程的復雜性，除了少數非常簡單的情況，一般情況是得不到方程的解析解，所以，以傳統的解方程的方法來解決流體問題暫時是行不通的，所以利用計算機利用數值方法找近似解是常見的方法，這就是計算流體力學，隨著計算機技術和相關數學的發展，計算流體力學的應用也越來越廣泛，現在很多工業部門及研究單位，這是采用得比較普遍的一種方法，而且隨著計算機的發展，相應的也出現了很多應用軟件，可以這樣說，以往通過理論和實驗解決不了流體的問題，現在很大程度上可以通過計算機去解決。

其次，我們再來了解下從微觀方面來描述流體運動的分子動力學模型，因為從物理上來說，流體是由分子構成的，流體的宏觀運動時微觀分子熱運動的平均結果，如果我們知道了分子的微觀運動，通過統計平均這種方法就可以得到流體的宏觀物理量。分子動力學模型可以是確定性的，也可以是隨機性的。在分子動力學模型中，分子遵循經典的牛頓運動方程，所以，通過求解方程就可以確定任意分子在任意時刻的速度和位置。由于分子動力學模擬是基于分子最基本的運動規律，所以原則上可以模擬任意流體系統。利用計算機對這種模型進行模擬是其一個重要的特點，由于計算機的飛速發展，這種模型也得到了很大的發展，它也應用于物理、生物、化學等各個學科上，雖然分子動力學模擬方法有這樣的優點，但由于在模擬過程中，對一個流體系統而言，其分子的數量非常巨大，而且在每一個步長中，每個分子的新位置和新速度都要重新計算，所以這需要很大的計算量和存儲量，因此，這種模型現在只能用于二維運動，對于三維復雜流動進行模擬幾乎是不可能的，它的進一步發展及推廣決定于計算機的發展。

第三，類模型是從介觀的角度來描述流體，稱為氣體動理論。而此時我們用Boltzmann方程來描述流體，這個方程是統計力學中描述非平衡態分布函數演化規律的方程，這個方程的基本想法是不去確定每個分子的運動狀態，而是求出每一個分子處在某一狀態下的概率，通過統計方法得到系統的宏觀參數，Boltzmann方程是基于二體碰撞，分子混沌性假設及沒有外力的影響而得到的，但這個方程也是一個非常復雜的積分微分方程，所以直接求解也不可能。因此，人們提出了很多的簡化的模型，比如對碰撞算子做一些近似，如著名的BGK模型，這個近似使得碰撞算子線性化，從而簡化方程，利用這個模型來求解流體的宏觀物理量的方法我們稱為格子Boltzmann方法，實際上，格子Boltzmann方程可以看做是連續的Boltzmann的方程的一種特殊的離散格式，在格子方法中，流體被抽象為大量的微觀粒子，并且根據一些簡單的方式在規則的格子上碰撞和遷移，通過粒子運動進行統計，就可以得到流體的宏觀特性。從離散的網格說，這種方法具有Euler方法的特性，從離散的粒子來說，這種說法又有Langrange方法的特性，而且，格子方法還具有一些常規數值方法所沒有的優點，如物理圖像清晰，邊界條件處理簡單，程序易于實施，計算具有并行性，所以，從格子Boltzmann方法剛誕生起，就引起了物理學家，數學家，計算機學家和其他領域的科學家的關注，現在它被認為是最有前途的數值模擬方法之一。格子Boltzmann方法除了在一般的流體力學中有比較好的應用外，在多相流、滲流、粒子懸浮流等相關領域也得到了相關的應用，所以，也必將成為大家研究的熱點。

[1]何雅玲，王勇，李慶.格子方法的理論及應用.科學出版社.

[2]郭照立，鄭楚光，李青，王能超.流體動力學的格子Boltzmann方法.湖北科學技術出版社.

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1674-6708（2010）24-0134-01