矩形隧道中的多波模傳播特性

霍 羽 徐 釗 鄭紅黨

(中國礦業大學信息與電氣工程學院,江蘇徐州221008)

1.引 言

在礦井隧道這種復雜特殊的受限空間里,受隧道截面尺寸、傳播頻率、天線極化、隧道壁反射、隧道壁粗糙度、傾斜度等綜合因素的影響,電磁波傳播特性有別于地面情況[1-6],而隧道內電磁波傳輸理論的發展較為緩慢,所得結論還存在爭議。

上世紀70年代,Marcatili、Emslie等研究認為在隧道中傳播的電磁波,當其波長遠小于隧道截面尺寸時,可將隧道視作有損耗的介質波導,并分析了隧道內電磁波傳輸的波模方程[1-2]。

文獻[2]推導出基模作用下的電磁波衰減公式,據此推斷,電磁波傳播損耗隨頻率的升高而降低,并最終收斂于零。此外,隧道壁粗糙度對電磁波傳播特性的影響在低頻時較為嚴重,而傾斜度的影響在高頻時較為嚴重。

然而文獻[7]在對平面導波的波模方程求解分析以及仿真時,認為粗糙度對電磁波傳播特性的影響在較高頻率時會增大,但是總體衰減仍然隨頻率的升高而減少;而且認為粗糙度對水平極化波的影響更大。

此后四五十年,在相關的大部分理論研究中,所得結論卻更傾向于文獻[2][8-12]。

不過,上述研究都因高次模的傳播損耗較大,而將其忽略,只針對基模進行分析,忽略了多波模的共同作用,因而所得結論值得商榷。

文獻[5]曾對隧道內電磁波傳播模式進行了討論,提出理論分析中應考慮多波模的共同作用。

文獻[13]采用了幾何光學的方法,由于多波模在傳播中所起的作用近似于多徑傳播,點源的場是通過直接射線和反射射線疊加的結果,通過對兩種不同頻率下電磁波的相對時延進行仿真分析,得出受粗糙度影響高頻信號的衰減大于低頻信號的結論,顯然,這與上述結論均有相悖之處,但是缺少進一步的理論證明。

綜上所述,僅用基模來分析隧道內電磁波的傳播特性不夠準確。本文在研究較高次波模影響的基礎上,推導出多波模綜合作用下的衰減公式,建立了多波模傳輸理論,通過理論分析,仿真比較,所得結論與以往分析有所不同,但與已有測量數據[3,10,14],及幾何光學的仿真結論相一致,對隧道內傳統波模理論進行了修正。

2.矩形隧道多波模理論

假設在空直的礦井隧道內,主隧道橫截面為矩形,寬為a,高為b,采用直角坐標系,原點位于隧道橫截面中心,x,y,z分別沿隧道的寬度、高度和長度方向,如圖1所示。兩側壁的相對介電常數為ε1,頂底兩壁的相對介電常數為ε2.

圖1 隧道模型

隧道內,只有直射波和掠射波才可以實現遠距離傳輸[1]。如果接收機靈敏度所允許的最高次模為(),則被接收到的總波模數M為

設發射機發射功率恒定,平均分配給各次波模。(m,n)次模的衰減常數為L(m,n),將發射功率歸一化,則電磁波傳播的衰減常數為

下面分別討論電磁波傳播時的反射損耗特性,由隧道壁粗糙度和傾斜度引起的散射損耗特性。暫不考慮天線在隧道內的插入損耗。

2.1 隧道壁反射引起的傳播損耗

2.1.1 單波模作用下的損耗

根據馬卡梯里理論,波導中傳輸的主要模式為:水平極化波與垂直極化波。首先分析水平極化波Eh的各場量表達式,由麥克斯韋方程與邊界條件[2]

式中:m為波模在水平方向的半波數;n為波模在垂直方向的半波數。

kx、ky、k z滿足色散條件

根據公式(5)、切向電場與切向磁場連續的邊界條件可以求出kz

式中,k z的虛部表示了沿隧道傳輸方向的衰減。則(m,n)模式水平極化波Eh的反射損耗(dB)為

同理,可以計算出(m,n)模垂直極化波Ev的反射損耗

2.1.2 多波模作用下的損耗

根據隧道內電磁波能遠距離傳輸的條件,這里把掠射角作為選擇高次模的依據。

假設(m,n)次波模入射到兩側壁和上下兩壁的掠射角分別為 φ1和 φ2,則有[11]

把公式(4)、(5)代入式(9)

電磁波入射到隧道側壁和頂底壁時,假設接收機靈敏度所允許的最大掠射角分別為φ1max和φ2max,由公式(10),可以得到滿足條件的最高次模為

代入到公式(1),則被接收到的總波模數M為

模式數目與頻率平方成正比,高次模的影響隨頻率的升高而增強。

將公式(7)、(11)和(12)代入式(2)得到水平極化波Eh的反射損耗

同理,可得垂直極化波Ev的反射損耗

電磁波反射損耗與頻率成反比。

2.2 隧道表面粗糙度造成的散射損耗

2.2.1 單波模作用下的損耗

根據Rayleigh判據,假設隧道壁粗糙度服從均值為0,方差為σ2高斯分布,當入射波以一定掠射角φ掠入射到隧道壁時,入射波與反射波的相位差為Δφ=2kσsinφ,如果 Δφ＞π/2,即,則隧道表面是粗糙的。根據定義,可以推斷,電磁波頻率越高,波長越短,由隧道壁粗糙造成的散射損耗應越強。

首先,推導單次波模的粗糙度損耗公式。

反射波強度I與入射波強度I 0的比值為[15]

R0為不考慮粗糙度影響時,入射波的反射系數。因此,由粗糙度引起的損耗因子為

把式(10)代入式(16),可以分別得到(m,n)波模在側壁和頂底壁上經歷一次反射后的粗糙度衰減因子

假設(m,n)模式的電磁波經過傳播距離z后,在兩側壁上共反射了 N 1次,在頂底壁上共反射了N2次,則[2]

根據公式(10)、(17)和(18),可推導出傳播距離z后的損耗因子

將公式(19)用dB表示

正如公式(20)所示,如果僅考慮給定的單一模式,很容易錯誤地認為粗糙度對電磁波衰落特性的影響隨頻率的升高會減少,衰減值與頻率成反比。但是,當考慮了多波模的綜合作用后,結果將截然相反。

2.2.2 多波模作用下的損耗

將公式(11)、(12)和(20)代入式(2)得到由隧道壁粗糙度造成的散射損耗

根據公式(21),給定掠射角臨界值后,由粗糙度引起的衰落隨頻率的升高而增大,與根據粗糙度定義得出的推論結果相一致。

2.3 隧道壁傾斜造成的散射損耗

2.3.1 單波模作用下的損耗

實際的礦井隧道,頂壁和底壁可能存在大范圍的傾斜,假設傾斜角度為θ(rad),則電磁波在側壁和頂底壁的功率耦合因子g1、g2分別是[2]

根據公式(10),(18)和(22),(m,n)模式的電磁波經過傳播距離z后的損耗因子為

用d B表示

對于單波模電磁波,由隧道壁傾斜度引起的損耗與頻率成正比,而可考慮的波?？倲狄搽S頻率的平方增長,所以,傾斜度的影響在高頻時明顯。

2.3.2 多波模作用下的損耗

將公式(11)、(12)和(24)代入式(2)得到由多波模綜合作用下的散射損耗

3.多波模傳播特性仿真

假設一個寬為4 m,高為3 m的矩形空直隧道內,隧道壁的相對介電常數為10。壁表面的粗糙度標準方差σ=0.0749,傾斜度為1°。收發機距離為300 m。

1)反射損耗特性

圖2比較了基模和多波模綜合作用下,因反射引起的傳播損耗隨頻率的變化曲線。圖2(a)顯示,隨頻率的增加,基模的水平極化波與垂直極化波衰減系數收斂于零,文獻[2,8-12]據此判斷了電磁波的衰落特性。但由圖2(b)可以看出這一結論不夠準確,隨頻率的升高,在多波模的綜合作用下,電磁波經反射造成的損耗逐漸減小,但最終收斂于一個大于零的穩定值。

因為波模數目隨頻率的平方而增長,導致反射損耗始終存在。所以在分析隧道電磁波傳輸時,考慮一些次數較低的高次波模是必須的。

此外,仿真隧道的截面寬度大于高度,垂直極化波的衰減值略大于水平極化波,這一結果與文獻[3]的測量結果一致。

2)粗糙度造成的散射損耗特性

圖3仿真了由隧道壁粗糙度造成的傳播損耗隨頻率的變化曲線。由圖可以直觀地看出基模和電磁波整體傳播特性的顯著差異。在高頻處,隧道壁粗糙度對傳播特性的影響不是減小至零,而是增強,驗證了幾何光學分析法的仿真結果[13]。這與文獻[2]的結論“粗糙度對電磁波傳播特性的影響在低頻時較為明顯”相悖。

在公式(20)中,粗糙度造成的散射損耗與其模式次數m和n的三次方成正比,而待考慮高次模的數量又與頻率的平方成正比,使得散射損耗隨頻率增長的趨勢必然遠大于單波模損耗下降的趨勢。

圖3 隧道壁粗糙表面造成的散射損耗與頻率的變化曲線

3)傾斜度造成的散射損耗特性

圖4為隧道壁傾斜度影響下的電磁波衰減隨頻率的變化曲線。受多波模的作用,傾斜度的影響隨頻率的增強趨勢更顯著。當然,在高頻時,傾斜度比粗糙度的影響大得多。

4)矩形空直隧道內的傳播損耗

矩形空直隧道內的傳播損耗為電磁波反射損耗、隧道壁粗糙度及傾斜度造成的散射損耗之和。

圖5給出了電磁波傳播損耗隨頻率的變化曲線。不難發現,矩形空直隧道內,電磁波的最佳傳播頻段在500～1500 MHz之間,與文獻[10,14]根據測量數據所得的分析結果相一致。

圖5 電磁波傳播損耗隨頻率的變化曲線

4.結 論

針對矩形空直隧道,首先定義了電磁波傳播中應考慮波模的個數和最高次數,然后推導出多波模綜合作用下的電磁波衰減公式,建立了多波模傳輸理論。通過理論分析與仿真比較,得出結論:

1)高次模對電磁波傳播特性的影響隨頻率的升高而增大,不可忽略。

2)在多波模的共同作用下,水平極化波和垂直極化波的衰減值及其差值隨頻率的升高而減小,并收斂在穩定值。

3)隧道壁傾斜度、粗糙度對電磁波傳播特性的影響都在高頻時明顯,傾斜度的影響相對更大。

4)對隧道內的電磁波傳播,500～1500 MHz是比較理想的低衰減頻段,該結論對隧道等有限空間通信頻率的選擇具有一定的參考價值。

綜上所述,電磁波傳播特性與基模特性之間存在很大的差異。上述結果與實際測量結果相一致,并在理論上驗證了幾何光學仿真結果的正確性,修正了傳統只依靠單模分析的電磁波傳輸理論,對井下通信與控制系統的建立具有重要意義。

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