解四階拋物型方程的高精度顯式差分格式

張星，單雙榮

（華僑大學數學科學學院，福建 泉州 362021）

解四階拋物型方程的高精度顯式差分格式

張星，單雙榮

（華僑大學數學科學學院，福建 泉州 362021）

對四階拋物型方程ut+uxxxx=0，構造一個新的三層顯式差分格式，其穩定性條件和局部截斷誤差階分別為r=τ/h4≤1/8和O（τ2+h6），其結果優于其他四階拋物型方程的結果.數值例子表明，理論分析是正確的，該格式是有效的.

四階拋物型方程；高精度；顯式差分格式；穩定性；截斷誤差

1960年，Саулъев［1］對四階拋物型方程（初邊值問題）

構造了一個顯式格式，但其局部截斷誤差階僅為O（τ+h2），精度較低；然后，又提出兩個隱式差分格式，其局部截斷誤差階分別為O（τ2+h2）和O（τ2+h4），但需解線性方程組，計算量太大.文［2-3］分別得到一個顯式差分格式，文［2］的穩定性條件和截斷誤差階分別為r=τ/h4＜1/8和O（τ2+h4），而文［3］的結果是r≤1/16和O（τ2+h6）.此外，文［4］得到了四階拋物型方程的隱式格式，但計算量較大.本文構造了一個新的三層顯式差分格式.

1 差分格式的構造

設問題（1）的解u（x，t）充分光滑，分別用τ，h表示時間t及空間x方向的步長，用表示u（jh，nτ）的差分逼近.網域由點集（xj，tn）（j=0，1，…，M；n=0，1，2，…）組成，其中xj=jh，tn=nτ，h=1/M，并設r=τ/h4為網格比.用含參數具有對稱形式的差分方程

逼近微分方程（1）.式（2）中，Ci（i=0，1，…，6）為待定參數.

當微分方程（1）的解充分光滑時，有

將式（2）中各節點上的u在網點（xj，tn）處進行Taylor展開，且兩邊同時乘以1/h4，整理可得

利用式（3），當以下條件

同時成立時，差分格式（2）的截斷誤差階可達O（τ2+h6）.解方程組（4）可得C0=C1/r，C2=-4C1，C3=6C1-2C1/r，C4=-C1，C5=4C1，C6=C1/r-6C1.

將以上各參數值代入式（2）中，可得三層顯式差分格式為

其局部截斷誤差為O（τ2+h6）.

2 差分格式穩定性

引理1 即Mille準則［5］，實系數二次方程Ax2+Bx+C=0（A＞0）的兩個根按模小于等于1的充要條件：A-C≥0，A+B+C≥0，A-B+C≥0.

定理1 當0＜r≤1/8時，格式（6）至少在Forsythe-Wasow［6］意義下條件穩定.

上式中，A=1，B=r（4cos2α-2）-8rcosα+6r-2，B=-［r（4cos2α-2）-8rcosα+6r-1］.

下面驗證特征方程（7）是否滿足引理.首先，A=1＞0成立；其次，對任意r＞0，均有

當0＜r≤1/8時，有

因此，當0＜r≤1/8時，滿足引理的條件1，Von Neumann條件成立.所以，格式（6）至少在Forsythe-Wasow［6］意義下條件穩定.

3 數值例子

解四階拋物型方程的混合問題

其精確解為u（x，t）=e-tsinx.邊界條件的處理與文［1］相同，即采用中心差商代替微商.于是，有=對于初始條件的處理，則用直接轉移法，可得=sinjh，（j=0，1，…，M；n=0，1，2，…）.

所構造的顯格式（6）是三層格式，啟動值除了初始層網格函數值以外，還需用其他方法先算出第1層網格函數值.為了方便，按精確值代替第1層的值進行計算（實際計算可用同精度的兩層隱格式計算第1層的值）.當h=π/10時，利用格式（6）進行求數值解，不同網格比r的精確解比較，如表1所示.

表1 格式（6）的數值結果對應值Tab.1 Corresponding value of Numerical results of scheme（6）

華僑大學數學科學學院曾文平教授給予的悉心指導，特此致謝.

［1］САУЛЪЕВК.拋物型方程的網格積分法［M］.袁兆鼎，譯.北京：科學出版社，1963：143-152.

［2］曾文平.解四階拋物型方程的高精度顯式差分格式［J］.華僑大學學報：自然科學版，1997，18（2）：122-127.

［3］單雙榮.解四階拋物型方程的高精度差分格式［J］.華僑大學學報：自然科學版，2003，24（1）：11-15.

［4］林鵬程.解四階拋物型方程的絕對穩定高精度差分格式［J］.廈門大學學報：自然科學版，1994，33（6）：756-759.

［5］MILL ER J J H.On the location of zeros of certain classes of polynomials with application to numerical analysis［J］.J Inst Math Appls，1971，8（3）：394-406.

［6］矢島信男，野術達夫.發展方程の數值分析［M］.東京：巖波書店，1977：46-232.

［7］RICHTMYER R D，MORTON K W.Difference method for initial-value problems［M］.2nd ed.New York：Wiley，1967：59-91.

Explicit Difference Scheme of High Accuracy for Solving Four-Order Parabolic Equation

ZHANG Xing，SHAN Shuang-rong
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In this paper，a three-level explicit difference scheme is proposed for solving four-order parabolic equationut+uxxxx=0.The scheme meets a stability condition ofr=τ/h4≤1/8 and shows a local truncation error ofO（τ2+h6）.It is showed that the scheme is effective and the analysis of stability is right by a numerical example.

four-order parabolic equation；high accuracy；explicit difference scheme；stability

O 241.82

A

1000-5013（2010）06-0703-03

（責任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

2008-11-23

單雙榮（1956-），男，教授，主要從事微分方程數值解的研究.E-mail：shansr@hqu.edu.cn.

國務院僑辦科研基金資助項目（04QZR09）